1. (Unesp 2003) Cinco cidades, A, B, C, D e E, são interligadas por rodovias, conforme mostra

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Rita Beltrão Angelim
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1 GEOMETRIA PLANA: SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS 2 1. (Unesp 2003) Cinco cidades, A, B, C, D e E, são interligadas por rodovias, conforme mostra a figura. A rodovia AC tem 40km, a rodovia AB tem 50km, os ângulos x, entre AC e AB, e y, entre AB e BC, são tais que senx = 3/4 e seny = 3/7. Deseja-se construir uma nova rodovia ligando as cidades D e E que, dada a disposição destas cidades, será paralela a BC. a) Use a lei dos senos para determinar quantos quilômetros tem a rodovia BC. b) Sabendo que AD tem 30 km, determine quantos quilômetros terá a rodovia DE. 16/01/2010 9:44 pag.1

A rodovia AC tem 40km, a rodovia AB tem 50km, os ângulos x, entre AC e AB, e y, entre AB e BC, são tais que senx = 3/4 e seny = 3/7.

2 2. (Uerj 2001) A figura acima representa um quadrado ABCD e dois triângulos eqüiláteros equivalentes. Se cada lado desses triângulos mede 2 cm, calcule o lado do quadrado ABCD. 16/01/2010 9:44 pag.2

3 3. (Ufg 2005) Em um jogo de sinuca, uma bola é lançada do ponto O para atingir o ponto C, passando pelos pontos A e B, seguindo a trajetória indicada na figura a seguir. 16/01/2010 9:44 pag.3

4 Nessas condições, calcule: a) o ângulo em função do ângulo š; b) o valor de x indicado na figura. 4. (Unicamp 2003) Uma caixa d'água cúbica, de volume máximo, deve ser colocada entre o telhado e a laje de uma casa, conforme mostra a figura adiante. Dados: åæ = 6m åè = 1,5m èî = 4m. a) Qual deve ser o comprimento de uma aresta da caixa? b) Supondo que a altura máxima da água na caixa é de 85% da altura da caixa, quantos litros 16/01/2010 9:44 pag.4

casa, conforme mostra a figura adiante. Dados: åæ = 6m åè = 1,5m èî = 4m.

5 de água podem ser armazenados na caixa? 5. (Unifesp 2005) Um observador, em P, enxerga uma circunferência de centro O e raio 1 metro sob um ângulo š, conforme mostra a figura. a) Prove que o ponto O se encontra na bissetriz do ângulo š. b) Calcule tg(š), dado que a distância de P a O vale 3 metros. 16/01/2010 9:44 pag.5

raio 1 metro sob um ângulo š, conforme mostra a figura.

6 6. (Unifesp 2006) Em um dia de sol, uma esfera localizada sobre um plano horizontal projeta uma sombra de 10 metros, a partir do ponto B em que está apoiada ao solo, como indica a figura. Sendo C o centro da esfera, T o ponto de tangência de um raio de luz, BD um segmento que passa por C, perpendicular à sombra BA, e admitindo A, B, C, D e T coplanares: a) justifique por que os triângulos ABD e CTD são semelhantes. b) calcule o raio da esfera, sabendo que a tangente do ângulo BÂD é 1/2. 16/01/2010 9:44 pag.6

Sendo C o centro da esfera, T o ponto de tangência de um raio de luz, BD um segmento que passa por C, perpendicular à sombra BA,

7 7. (Fuvest 2005) Na figura abaixo A, B e D são colineares e o valor da abscissa m do ponto C é positivo. Sabendo-se que a área do triângulo retângulo ABC é 5/2, determine o valor de m. 16/01/2010 9:44 pag.7

8 8. (Ufg 2006) Em um sistema de coordenadas cartesianas são dados os pontos A(0, 0), B(0, 2), C(4, 2), D(4, 0) e E(x, 0), onde 0 < x < 4. Considerando os segmentos BD e CE, obtêm-se os triângulos T e T, destacados na figura. Para que a área do triângulo T seja o dobro da área de T, o valor de x é: a) 2 - Ë2 b) 4-2Ë2 c) 4 - Ë2 d) 8-2Ë2 e) 8-4Ë2 16/01/2010 9:44 pag.8

Considerando os segmentos BD e CE, obtêm-se os triângulos T e T, destacados na figura.

9 9. (Fuvest 2003) O triângulo ABC tem altura h e base b (ver figura). Nele, está inscrito o retângulo DEFG, cuja base é o dobro da altura. Nessas condições, a altura do retângulo, em função de h e b, é dada pela fórmula: a) (bh)/(h + b) b) (2bh)/(h + b) c) (bh)/(h + 2b) d) (bh)/(2h + b) 16/01/2010 9:44 pag.9

Nessas condições, a altura do retângulo, em função de h e b, é dada pela

10 e) (bh)/[2(h + b)] 16/01/2010 9:44 pag.10

11 10. (Fuvest 2004) Um lateral L faz um lançamento para um atacante A, situado 32m à sua frente em uma linha paralela à lateral do campo de futebol. A bola, entretanto, segue uma trajetória retilínea, mas não paralela à lateral e quando passa pela linha de meio do campo está a uma distância de 12m da linha que une o lateral ao atacante. Sabendo-se que a linha de meio do campo está à mesma distância dos dois jogadores, a distância mínima que o atacante terá que percorrer para encontrar a trajetória da bola será de: a) 18,8m b) 19,2m c) 19,6m d) 20m e) 20,4m 16/01/2010 9:44 pag.11

12m da linha que une o lateral ao atacante.

12 11. (Fuvest 2005) Na figura, ABC e CDE são triângulos retângulos, AB = 1, BC = Ë3 e BE = 2DE. Logo, a medida de AE é a) (Ë3)/2 b) (Ë5)/2 c) (Ë7)/2 d) (Ë11)/2 e) (Ë13)/2 16/01/2010 9:44 pag.12

13 12. (Mackenzie 2003) Na figura, se AB = 5 AD = 5 FB, a razão FG/DE vale: a) 3 b) 4 c) 5 d) 5/2 e) 7/2 16/01/2010 9:44 pag.13

14 13. (Puc-rio 2005) No triângulo ABC temos AB=5, BC=9 e AC=10. Se P é o ponto médio de AB e Q é o ponto médio de BC, então o comprimento PQ é: a) 4 b) 5 c) 8 d) 3 Ë2 e) 9 16/01/2010 9:44 pag.14

15 14. (Ufc 2002) Na figura a seguir, os triângulos ABC e AB'C' são semelhantes. Se AC = 4. AC' então o perímetro de AB'C' dividido pelo perímetro de ABC é igual a: a) 1/8 b) 1/6 c) 1/4 d) 1/2 e) 1 16/01/2010 9:44 pag.15

16 15. (Ufg 2005) Em um terreno triangular, com 1200 m de área, um dos lados mede 60 m. Deseja-se construir, nesse terreno, um galpão, cuja base retangular tem 504 m de área, conforme a figura a seguir. Se os vértices da base do galpão estão sobre os lados do terreno, o menor perímetro possível da base do galpão, em metros, é a) 90 b) 92 c) 100 d) 110 e) /01/2010 9:44 pag.16

17 16. (Ufg 2005) Uma fonte luminosa a 25 cm do centro de uma esfera projeta sobre uma parede uma sombra circular de 28 cm de diâmetro, conforme figura a seguir. Se o raio da esfera mede 7 cm, a distância (d) do centro da esfera até a parede, em cm, é a) 23 b) 25 c) 28 d) 32 e) 35 16/01/2010 9:44 pag.17

18 17. (Ufmg 2002) Em determinada hora do dia, o sol projeta a sombra de um poste de iluminação sobre o piso plano de uma quadra de vôlei. Neste instante, a sombra mede 16m. Simultaneamente, um poste de 2,7m, que sustenta a rede, tem sua sombra projetada sobre a mesma quadra. Neste momento, essa sombra mede 4,8m. A altura do poste de iluminação é de a) 8,0 m b) 8,5 m c) 9,0 m d) 7,5 m 16/01/2010 9:44 pag.18

Simultaneamente, um poste de 2,7m, que sustenta a rede, tem sua sombra projetada sobre a mesma quadra.

19 18. (Ufrn 2000) Considerando-se as informações constantes no triângulo PQR (figura abaixo), pode-se concluir que a altura PR desse triângulo mede: Obs.: Todas as medidas se referem à mesma unidade de comprimento a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 16/01/2010 9:44 pag.19

20 19. (Ufrs 2001) Na figura abaixo AB, CD e EF são paralelos, AB e CD medem, respectivamente, 10 cm e 5 cm. O comprimento de EF é a) 5/3. b) 2. c) 3. d) 10/3. e) 4. 16/01/2010 9:44 pag.20

21 20. (Ufrs 2004) Na figura 1, BC é paralelo a DE e, na figura 2, GH é paralelo a IJ. Então, x e y valem, respectivamente, a) ab e a/b. b) ab e b/a. c) a/b e ab. d) b/a e ab. e) a/b e 1/b. 16/01/2010 9:44 pag.21

22 21. (Ufsm 2002) No triângulo proposto, M, M, Mƒ,... são os pontos médios dos segmentos AC, MC, M C,..., respectivamente, e N, N, Nƒ,... são os pontos médios dos segmentos BC, NC, N C,..., respectivamente. Continuando indefinidamente esse processo de obter segmentos e sabendo que AB mede 1, a soma das medidas dos segmentos M N, M N, Mƒ Nƒ,... é a) 8/3 b) 4 c) 2 d) 1 e) 1/2 16/01/2010 9:44 pag.22

23 22. (Unesp 2004) Um observador situado num ponto O, localizado na margem de um rio, precisa determinar sua distância até um ponto P, localizado na outra margem, sem atravessar o rio. Para isso marca, com estacas, outros pontos do lado da margem em que se encontra, de tal forma que P, O e B estão alinhados entre si e P, A e C também. Além disso, OA é paralelo a BC, OA = 25 m, BC = 40 m e OB = 30 m, conforme figura. A distância, em metros, do observador em O até o ponto P, é: a) 30. b) 35. c) 40. d) 45. e) /01/2010 9:44 pag.23

24 16/01/2010 9:44 pag.24

25 GABARITO 1. a) BC = 70 km b) DE = 42 km 2. 2 (3 - Ë3) cm 3. a) = 2š b) x = 0,5 m 4. a) 1,2m b) 1468,8 litros 5. a) Para provarmos que o ponto O se encontra sobre a bissetriz do ângulo š, devemos mostrar que os ângulos OPT e OPS são congruentes. De fato: Como PS e PT são segmentos tangentes à circunferência de centro O e raio 1, com 16/01/2010 9:44 pag.25

26 origem no mesmo ponto (P), PS = PT. Por LLL, os triângulos retângulos OTP e OSP são congruentes. Logo, = = š/2 e, desse modo, OP é bissetriz do ângulo š. b) tg š = (4Ë2)/7 6. a) Como AD é tangente à esfera no ponto T, o ângulo CTD (CTD = CTA) é reto. Temos ainda que o triângulo ABD é retângulo. Observando que os ângulos BAD e TCD são congruentes, concluímos que os triângulos ABD e CTD são semelhnates por ALA. b) 10 [(Ë5) - 2] m 16/01/2010 9:44 pag.26

27 7. m = 2 + [(5Ë2)/2] 8. [B] 9. [D] 10. [B] 11. [C] 12. [B] 13. [B] 14. [C] 15. [B] 16/01/2010 9:44 pag.27

28 16. [A] 17. [C] 18. [B] 19. [D] 20. [A] 21. [D] 22. [E] 16/01/2010 9:44 pag.28

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