PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO

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1 (Tóp. Teto Complementar) PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO 1 PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO Este teto estuda um grupo de problemas, conhecido como problemas de otimização, em tais problemas, quando possuem soluções, é sempre possível encontrar uma função onde uma vez determinado o valor mínimo ou máimo absoluto da função, também chamados de valores ótimos, obtém-se a solução do problema. Os problemas de otimização deste teto são eemplos simples de um grupo tratado na vasta área de Matemática Aplicada chamada de Programação Matemática, esta área é subdividida em outros ramos, como por eemplo: Programação Linear, Programação Quadrática, Programação Inteira, etc. Os eemplos seguintes ilustram problemas de otimização e procedimentos usados para resolver tais problemas. Eemplo Resolvido 1. Encontrar o número positivo que somado com o inverso do seu quadrado, dê o menor valor possível. encontrando o valor de que minimiza a função definida por S() = + 1 Solução. Seja um número arbitrário, então 1 é o inverso do seu quadrado. Assim, o problema fica resolvido, Como S () = 1, tem-se S ( ) = 0 para = e S ( ) não eiste para = 0, mas apenas é valor crítico de S, pois 0 não pertence ao domínio de S. Sendo S ( ) < 0 para 0< < e S ( ) > 0 para >, S é decrescente no intervalo ( 0, e crescente no intervalo, + ), logo S tem valor mínimo absoluto em =, portanto este é o número procurado.. Eemplo Proposto 1. Mostrar que seu inverso é o menor valor possível. é o número positivo que somado com o dobro do Eemplo Resolvido. Se numa indústria forem produzidas de 00 a 0 unidades de uma peça, haverá um rendimento semanal de $540,00 por cada unidade. Entretanto se forem produzidas mais de 0 peças, o rendimento semanal em cada peça será reduzido em $,00 por cada peça a mais. Determinar o maior rendimento semanal da indústria. Solução. Considere a quantidade de peças produzidas semanalmente e R o rendimento semanal da indústria. Logo, se 00 0 então R() = 540 e se >0 o rendimento de cada peça será 540 ( 0), isto é,

2 (Aula 7) TESTES PARA EXTREMOS LOCAIS, CONVEXIDADE, CONCAVIDADE E GRÁFICO [ ] R( ) = 540 ( 0) = 1000 se > 0. Observe que pois 00 pela formulação do problema e Assim, resumindo tem-se 540 se 00 0 R( ) = 1000 se 0< 500, logo R ( ) = 0 para = 50 e R ( ) não eiste para =0, ou seja, estes são os 00, 500. Como valores críticos de R em [ ] R( 00) = , R( 0) = 1400, R( 50) = e R( 500) = 0, o maior rendimento semanal para a indústria é de $15.000,00 e é atingido quando forem produzidas 50 peças. Eemplo Proposto. Numa ecursão, cada pessoa pagará $800,00 se forem no máimo 0 pessoas. Entretanto, se forem mais de 0 pessoas, será reduzido $10,00 do valor por cada pessoa ecedente. Provar que deverão ir 55 pessoas na ecursão, para que haja lucro máimo. É comum haver na relação em que aparece a variável que deverá ser minimizada ou maimizada, mais de duas variáveis; neste caso, usando outras relações que também são dadas pelo problema, é mais conveniente eplicitar a variável (que deverá ser minimizada ou maimizada) como função de uma única variável, através da eliminação das variáveis ecedentes. Por eemplo, se num problema aparece uma relação envolvendo as variáveis, y e z, onde y deverá ser minimizada ou maimizada, então o problema terá que fornecer outra relação envolvendo apenas e z, a fim de dar meios para colocar y como função apenas de ou somente de z. Eemplo Resolvido. Achar os pontos sobre a curva y= mais próimos do ponto (0,). Y y = d (,y) O X Solução. Para resolver o problema, deve-se encontrar o ponto (, y ) sobre a curva, tal que a distância d= + (y ) de ( 0, ) a (, y ) seja mínima. Substituindo = y, acha-se d como função apenas de y, assim

3 (Tóp. Teto Complementar) PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO d(y) = y + (y ). Tem-se d (y) = y y+ (y ), logo d ( y) = 0 para y =, como d é derivável, este é seu único valor crítico. Sendo d ( y) < 0 para y< e d ( y) > 0 para y >, d tem mínimo local em também é mínimo absoluto. Portanto, como y= corresponde a =±, os pontos (, ) e ( ) curva y =., estão mais próimos de ( 0, ) do que qualquer outro ponto sobre a Observe que, considerando D y = [ d y ] ( ) ( ), que o valor que minimiza d é o mesmo que minimiza D e os cálculos usando a função D são mais simples. Veja o eercício 1 do eercitando do tópico 1 desta aula. Eemplo Proposto. Mostrar que a origem é o ponto da curva ponto (0,1). y= mais próimo do Eemplo Resolvido 4. Determinar as dimensões do retângulo de maior área, que pode ser inscrito no círculo de raio igual a. Y (,y) Solução. Considere o círculo com centro na origem. Se (, y ) está sobre a circunferência de centro em ( 0, 0 ) e raio, então e y são as dimensões de um retângulo inscrito no círculo, logo sua área é O X A = 4 y. Como + y = 9, esta relação em e y permite epressar a área do retângulo em função apenas de ou de y. Substituindo y, obtém-se Sendo A() = 4 9. A () = 6 8 9,

4 4 (Aula 7) TESTES PARA EXTREMOS LOCAIS, CONVEXIDADE, CONCAVIDADE E GRÁFICO tem-se A ( ) = 0 para =± e A () não eiste se ou. Observe que 0< <, a fim de que A( ) seja a área de algum retângulo inscrito no círculo, assim Substituindo é o único valor crítico de A, o qual dá o máimo absoluto de A. = na equação + y = 9, encontra-se retângulo procurado é um quadrado de lados iguais a. y=. Portanto, o Eemplo Proposto 4. Provar que o triângulo isósceles de maior área que pode ser inscrito num círculo de raio, é eqüilátero de lados iguais a. Eemplo Resolvido 5. Um muro com m metros de altura é paralelo a uma parede e está à distância d metros da mesma. Se um refletor deve ser colocado no solo, a fim de atingir a parede com um raio luminoso; encontrar o ponto em que o refletor deve ser colocado, para que o raio luminoso tenha o menor comprimento possível e o comprimento do raio. Solução. Sejam à distância do refletor até a parede e y a altura em que o raio luminoso atinge a parede. Então, o comprimento c do raio luminoso é c= + y. Como o triângulo de lados d e m é semelhante ao triângulo de lados e y, tem-se c d = m. y y d m -d Substituindo y desta última relação em c= + y, acha-se c como função só de, isto é, m c() = +. d então Seja C( ) = [ c( ) ] (veja observação após a solução do eemplo pág. 1), ( d) m d C () =, ( d) logo C ( ) = 0 para =0 e = d+ dm problema eige que > d, d+ dm e C ( ) não eiste para = d. Como o é o único valor crítico de C, no qual C tem o seu

5 (Tóp. Teto Complementar) PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO 5 valor mínimo absoluto. Portanto, c tem mínimo absoluto em d+ dm, isto é, o refletor deve ser posto a dm metros do muro, para que o raio luminoso tenha o menor comprimento possível que é de ( ) dm c d 1+ m + m d m m + = d ( ) metros. Eemplo Proposto 5. Um fio de comprimento C vai ser cortado em duas partes, uma será dobrada na forma de circunferência e a outra na forma de triângulo eqüilátero. Mostrar que a circunferência deverá ter πc 9+ π de comprimento e o triângulo para que a soma das áreas das figuras seja menor possível. 9 C de perímetro, 9+ π EXERCITANDO 1. Encontre o número negativo que somado com o seu inverso, seja o maior valor possível.. Determine as dimensões do retângulo de maior área possível com 4 cm de perímetro.. Encontre os dois números cuja soma seja igual a 1 e o produto seja maior possível. 4. Seja R a região limitada pela parábola y= e a reta y=4. Determine as dimensões do triângulo com base paralela ao eio X, de maior área possível e que pode ser inscrito na região R. 5. Encontre os pontos da curva dada, mais próimos do ponto indicado: (a) y= 1, A(, ); (b) y = 1, A( 0, 4). 6. Mostre que a elipse de maior área circunscrita num retângulo de base e altura iguais a 4 e, respectivamente, tem semi-eios iguais a e. Sugestão: use que a área da elipse de semi-eios a e b é igual a πab. 7. Ache as dimensões do retângulo de maior área que pode ser inscrito num semicírculo de raio igual a. Resolver o problema trocando o semicírculo por uma semi-elipse de semi-eios a e b. 8. Determine o triângulo isóscele de maior área inscrito num círculo de raio igual a. Resolver o problema trocando o círculo por uma elipse de semi-eios a e b, sendo o lado do triângulo, diferente dos outros dois, paralelo a um dos eios da elipse. 9. Considere uma reta contendo ( 11, ) e interceptando os semi-eios positivos. Ache a reta

6 6 (Aula 7) TESTES PARA EXTREMOS LOCAIS, CONVEXIDADE, CONCAVIDADE E GRÁFICO de forma que a área do triângulo determinado pela reta e os eios coordenados seja mínima. Mostre que essa é a reta contendo (1,1) que está à distância máima da origem. 10. Um teto vai ser impresso numa folha de papel retangular com a cm, as margens inferior e superior terão b cm e as margens laterais c cm. Ache as dimensões da folha de papel, para que a área a ser impressa seja maior possível. 11. Um retângulo está inscrito num triângulo de base b e altura h. Se esse retângulo é o de maior área possível e tem um lado sobre a base do triângulo, determine suas dimensões, quando o triângulo é: (a) Eqüilátero (b) Retângulo; (c) Qualquer. 1. Um terreno retangular vai ser murado pelo seu proprietário e um de seus vizinhos vai pagar um dos lados. Se as despesas são de $8,00 por metro para o lado paralelo ao do vizinho e $5,00 por metro para os lados restantes, ache as dimensões do terreno de maior área possível que pode ser murado pelo proprietário com $800, Uma janela terá a forma retangular encimada por uma semi-elipse. Se p e h são o perímetro da parte retangular e a altura máima da janela, respectivamente, determine as dimensões do retângulo e o semi-eio vertical da semi-elipse, para que penetre o máimo de luz pela janela. 14. Uma pessoa encontra-se numa embarcação a 8 km do local mais próimo de uma praia e ele deseja chegar a um lugar da praia distante 08 km de onde se encontra. Se a embarcação desenvolve 6 km h e a pessoa pode andar 8 km h, determine onde ela deve desembarcar na praia para chegar ao menor tempo possível. 15. Considere um fio na forma de Y suspenso nos pontos A e B, se a distância de A até B é de d metros e a etremidade inferior do fio está h metros da reta contendo A e B, determine o fio de menor comprimento possível. 16. Quais são as dimensões de uma lata cilíndrica com tampa de menor área possível e que tenha volume igual a V. 17. Ache as dimensões do cilindro circular reto de maior volume possível, que pode ser inscrito num cone cuja base tem raio e altura iguais a r e h, respectivamente. 18. Encontre as dimensões do cilindro circular reto de área máima, que pode ser inscrito numa esfera de raio igual a r. 19. Determine as dimensões do cone de máimo volume, que pode ser inscrito numa esfera de raio igual a r. 0. A resistência de uma viga, cuja seção transversal será retangular, devera variar na razão direta da raiz quadrada da largura pela altura. Se a viga deverá ser serrada de um

7 (Tóp. Teto Complementar) PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO 7 tronco de árvore cilíndrico, ache as dimensões da seção transversal da viga mais resistente possível. 1. Uma indústria deseja fazer embalagens na forma de caia: (a) Se as partes laterais e o fundo serão feitos com uma lâmina quadrada de 0 cm de lados, cortando quadrados iguais nos cantos e dobrando os lados, ache o comprimento do lado do quadrado que deve ser cortado, para que seja obtido uma embalagem de maior volume possível; (b) Se as caias terão tampa e serão feitas da mesma forma e com a mesma lâmina de (a), só que cortando retângulos iguais em cada canto, encontre as dimensões do retângulo que deve ser cortado, para que seja obtida uma embalagem de maior volume possível; (c) Se as caias não terão tampa e serão feitas com uma lâmina quadrada, cortando quadrados iguais nos cantos e dobrando os lados, determine o comprimento dos lados da lâmina e do quadrado a ser cortado, para que seja obtida uma caia de volume igual a V com o menor custo possível; (d) Se as caias terão tampa e serão confeccionadas com uma lâmina quadrada, cortando retângulos iguais nos cantos, determine o comprimento dos lados da lâmina e as dimensões do retângulo a ser cortado, para que seja obtida uma caia de volume igual a V com o menor custo possível.. Uma viga deverá passar horizontalmente por dois corredores que se encontram em ângulos retos e de larguras iguais aos valores a e b. Mostre que a maior viga deve ter comprimento igual a a 1+ ( b / a) + b 1+ ( a / b).. Uma viga de comprimento igual a c é arrastada por uma etremidade ao longo de um corredor de largura a e que se encontra com outro corredor perpendicularmente. Determine a menor largura do outro corredor para que a viga possa passar. 4. (Lei da Refração de Snell). Suponha que um raio de luz vai do ponto A ao ponto B, onde A e B estão em meios diferentes, e va e v B são as velocidades da luz nos dois meios. Se M é o ponto onde o raio de luz muda de meios, mostre que a luz percorre o caminho de A até B, no menor tempo possível se v B senα= va sen β, onde α está subtendido pelo raio de luz e a vertical por M no meio onde se encontra o ponto A e β está compreendido entre o raio de luz e a vertical por M no meio onde se encontra o ponto B. Mostre ainda a lei da refleão, isto é, o ângulo de incidência do raio luminoso é igual ao ângulo de refleão. RESPOSTAS (Eercícios Ímpares) 1. 1;. 6 e 6; 5. (a) ( 1, 1 ) se <0 e (, ) 7. e, e a e b ; 11 se >0, (b) ( ± ), ; 9. + y= ; 11. (a) b e h, (b) b e h, (c) b e h ;

8 8 (Aula 7) TESTES PARA EXTREMOS LOCAIS, CONVEXIDADE, CONCAVIDADE E GRÁFICO 1. As dimensões do retângulo são p h(8 π) + ; 4 (4 π) p πh e 4 (4 π) p + πh, 4 (4 π) 15. As partes iguais têm d m e a parte de baio h d m; 17. O raio é r e a altura é h ; 19. O raio é r e a altura é 4 r ; 1. (a) 5 cm, (b) 5 cm e 10 cm, (c) os lados da lâmina são e o semi-eio da elipse é V e os lados do quadrado são V, 4 (d) os lados da lâmina são 4 V + V 9, as dimensões do retângulo são V e V + V ; 9 9. ( ) + c c a a.