EXERCÍCIOS DE REVISÃO PFV - GABARITO

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1 COLÉGIO PEDRO II - CAMPUS SÃO CRISTÓVÃO III 1ª SÉRIE MATEMÁTICA I PROF MARCOS EXERCÍCIOS DE REVISÃO PFV - GABARITO 1 wwwprofessorwaltertadeumatbr 1) Seja f uma função de N em N definida por f(n) 10 n Escreva o conjunto domínio e o conjunto imagem desta função D(f) {0, 1,,,, 5} Im(f) {0,,, 6, 8, 10} Sendo uma função de N em N, não pode haver imagens negativas Logo o maior valor do domínio será 5, pois f(5) 10 (5) 0 Logo as respectivas imagens dos elementos do domínio são: f(0) 10 (0) 10; f(1) 10 (1) 8; f() 10 () 6; f() 10 () ; f() 10 () e f(5) 10 (5) 0 ) Considere a relação R {(, y) A B y ² } X e os conjuntos A {1,, } e B {0, 1,,,, 5, 6} a) Determine o conjunto R b) Determine domínio e imagem da relação R c) R é uma função de A em B? Justifique sua resposta Os valores de serão os elementos do conjunto A Os valores de y serão calculados e, se forem elementos de B, formarão o par ordenado (,y) de R 1 y (1) (1) 0 y () () 6 b) D(R) {1,, } Im(R) {0,, 6} a) y () () R {( 1,0 ); (, ); (,6) } c) Como todos os elementos de A se relacionaram com algum elemento de B e, além disso, cada elemento de A só relacionou-se com um único elemento de B, R é função de A em B ) Considere as funções com domínio nos números reais dadas por f ( ) ² + 5 e g ( ) + 9 f (0) + g(1) a) Calcule o valor de f (1) b) Determine o valor de tal que f() g() Calculando as imagens sob as funções e igualando as imagens de f e g, temos: f (0) (0) (0) f (0) + g(1) a) f (1) (1) (1) f (1) 7 7 g(1) (1)

2 b) f () g() ² ² ² + 0 1± 1 ()( ) () ) Considere a função 1± f ( ) ± 6 a) f ( 5) b) o elemento do domínio cuja imagem é igual a , definida em R { } Determine: Os valores são encontrados pela substituição ora no valor de, ora no valor de f() a ) f ( 5) ( 5) + f () b) f () ² 5) Considere as funções f e g definidas por f ( ) e g ( ) Determine o valor de f ( ) g() 1 ( ) f ( ) ( ) g() 1 1 6) Determine o domínio da função f ( ) 6 9 Há duas restrições na função O radicando no numerador não deve ser negativo e o denominador não deve ser nulo Estudando os casos e uniformizando as condições, temos: i) ii) Os valores que satisfazem ambas as condições devem ser maiores que : D(f) ] + [

3 7) Observe a função f cujo gráfico está representado abaio a) indique o domínio e a imagem de f b) indique os intervalos onde f é crescente e decrescente c) indique os intervalos onde f > 0 e f < 0 d) calcule o valor de f(0) + f() + f() + f(8) + f(1) + f() D ( f ) a) Os limites no eio X vão de 0 a Logo, [ 0,] limitado entre os valores -5 e 1 Logo, Im( f ) [ 5,1 ] O gráfico está verticalmente b) Os valores e 8 indicam locais onde o gráfico muda a direção Temos: i) a função é crescente no intervalo [,1] ii) decrescente nos intervalos [ 0,] e [ 1,] c) Os pontos onde a função intercepta o eio X representam as raízes, isto é, os pontos de ordenada nula ou ainda os pontos onde a função se anula A função é positiva, (gráfico acima do eio X), f > 0, ou negativa (gráfico abaio do eio X), f < 0 Temos:,,,8 i) f > 0 nos intervalos ] 0 [ e ] 8 [ ii) f < 0 no intervalo ] [ d) Identificando os valores no gráfico, temos: f ( 0) + f () + f () + f (8) + f (1) + f () ( 5) ) Observe o gráfico da função polinomial f : IR IR mostrado a seguir Responda: a) Qual imagem da função no intervalo [-, ]? b) Determine o valor da epressão: y f(f(-)) + f()

4 a) Observando o gráfico temos que: f(-) e f() - 6 Logo, Im(f) [- 6, ] b) Identificando os valores no gráfico, temos: f( ) f(f( )) f() 6 y ( 6) + ( 18) f() ( 6) 18 9) Dado o gráfico da função f mostrada, responda a) Qual o domínio e a imagem da função? b) Em que intervalos a função é crescente? c) Em que intervalo a função é decrescente? f (5) d) Qual o valor de? f ( ) f () Observando os valores mostrados no gráfico, temos: a) D ( f ) [,6] e Im( f ) [,] Repare que aparece o ponto (,) está aberto Esta condição evita que seja possua duas imagens, já que o ponto (, -) está no gráfico b) Em nenhum intervalo a função é crescente No intervalo ], 6] a função é constante c) A função é decrescente no intervalo [-, ] d) Identificando os valores no gráfico, temos: f (5) f ( ) f () 1 ( ) 10) A empresa de telefonia celular ABC oferece um plano mensal para seus clientes com as seguintes características: Para um total de ligações de até 50 minutos, o cliente paga um valor fio de R$0,00; Se os 50 minutos forem ecedidos, cada minuto de ecesso será cobrado pelo valor de R$1,50 (além dos R$0,00 fios)

5 a) Determine o valor pago por um cliente que utilizou o celular por 7 minutos em certo mês b) Em certo mês, utilizando o plano descrito acima, o valor a ser pago por um cliente foi de R$101,50 Determine quantos minutos foram utilizados a) Se o cliente utilizou 7 minutos, então foram ultrapassados (7 50) minutos Logo o cliente pagará: R $ 0,00 + R$1,50 R$0,00 + R$6,00 R$76, 00 b) Considerando t o número de minutos além dos 50 minutos, a equação que representa esta situação é R$101,50 R$0,00 + t R$1,50 Resolvendo, temos: 61,5 101, ,5 t 1,5 t 101,5 0 t 1,5 1min Logo, foram utilizados no total (50 + 1) 91 minutos 11) Um grupo de amigos decidiu fazer um churrasco para comemorar seus dez anos de formatura O local escolhido cobra um valor fio de R$ 00,00 pelo aluguel do espaço mais R$ 0,00 por pessoas presente a) Determine uma epressão que dê o valor total a ser pago y em função do número de presentes ao churrasco b) Todos os presentes vão dividir a conta igualmente Determine uma epressão que relacione o valor m pago por pessoas com o número de presentes ao churrasco c) Se cada pessoa presente teve que pagar R$ 8,00, calcule o número de pessoas que compareceu ao churrasco a) Ilustrando a situação: Se forem pessoas, o valor pago será () R$60,00 Observando que o valor pago é encontrado pela soma do valor fio com um múltiplo de 0, a epressão é: y() b) Novamente considerando situações, temos: i) Duas pessoas pagariam a conta, igualmente, de R$60,00, cada uma: (60/) R$10,00 No caso de m pessoas, cada pessoa pagaria o valor de y/ ou () m() c) O valor de R$8,00 corresponde a m() Substituindo na epressão anterior, temos: 5

6 00 + 0() pessoas 8 1) As três escalas mais usadas para medir temperaturas são Celsius ( C), Fahrenheit ( F) e Kelvin (K) As conversões podem ser feitas de acordo com as instruções da tabela abaio Celsius Fahrenheit Multiplicar os graus Celsius por 1,8 e somar Celsius Kelvin Somar 7 aos graus Celsius a) A água entra em ebulição aos 100ºC Qual é o valor correspondente a essa temperatura na escala Fahrenheit? b) Escreva uma sentença que epresse uma temperatura y na escala Fahrenheit em função da temperatura na escala Celsius c) Um termômetro indica uma temperatura de 68 F Converta essa temperatura em graus Celsius e em Kelvin a) Consultando a tabela observa-se que para representar uma temperatura medida em Celsius em Fahrenheit, basta utilizar a fórmula T F 1,8T C + No caso, temos: T F 1,8(100) ºF b) Observando a operação efetuada acima, temos: y() 1,8 + c) Aplicando sucessivamente as operações indicadas na tabela, temos: TF 68º 6 i) 68 1,8T C + 1,8T C 68 TC 0º C TF 1,8T C + 1,8 ii) T T K C 7+ T 0ºC C T K º K 1) (FGV) O gráfico da função f() m + n passa pelos pontos (-1,) e (,7) Determine o valor de m m( 1) + n m + n () m + n 6 1 i) n 1 n 7 m() + n m + n 7 m + n ii) m + m 6

7 1) O gráfico da função afim y a + b passa pelos pontos de coordenadas (,) e (,5) Determine os valores de a e de b a() + b a + b ( 1) a b 1 6a a 5 a( ) + b a + b 5 a + b b a + 15) Determine a lei da função afim cujo gráfico está representado abaio 6 a( 1) + b a + b 6 ( 1) a b 6 a() + b a + b a + b 8 a 8 a b 6 + a 6 + ( ) f () + 16) O gráfico abaio é da função de lei f ( ) b, onde b é um número real positivo 7

8 a) Determine o valor de b b) Calcule f ( ) 9 a) b Logo, f () 9 b b) f ( ) b 9 b ) O valor de um carro novo é de R$9000,00 e, com anos de uso, é de R$000,00 Supondo que o preço caia com o tempo, segundo uma linha reta, o valor de um carro com 1 ano de uso é: a) R$850,00 b) R$8000,00 c) R$7750,00 d) R$7500,00 e) R$7000,00 8

9 A informação indica que o carro novo (tempo de uso igual a zero) vale R$9000,00 e após anos (tempo de uso ) vale R$000,00 A situação está representada na figura Solução 1 Estabelecendo a semelhança entre os triângulos assinalados, temos: 9000 y 0 1 y y y y y y 1000 y ) Construa um esboço dos gráficos das funções quadráticas a seguir e indique o domínio e a imagem: a) f() + + ± ( 1)() ± 1 1 f() 0 D(f) IR f() + + : f(0) (0) + (0) + IM(f) ], ] b () 16 V ; ; ( 1; ) a a ( 1) ( 1) 9

10 b) f() 1 0 f() 0 ( ) 0 f() : f(0) (0) (0) 0 b ( ) V ; ; a a (1) (1) ( 1; 1) D(f) IR IM(f) [ 1, + [ 19) (PUC) Usando uma unidade monetária conveniente, o lucro obtido com a venda de uma unidade de certo produto é 10, sendo o preço de venda e 10 o preço de custo A quantidade vendida, a cada mês, depende do preço de venda e é, aproimadamente, igual a 70 Nas condições dadas, o lucro mensal obtido com a venda do produto é, aproimadamente, uma função quadrática de, cujo valor máimo, na unidade monetária usada, é: a) 100 b) 1000 c) 900 d) 800 e) 600 De acordo com as informações, o custo total da produção é C() 10(70 ), pois 10 é o preço unitário e (70 ) a quantidade produzida O total obtido pela venda do produto será V() (70 ) Sendo o lucro a diferença entre o valor arrecadado na venda e o custo, temos: L() L(máimo) y ( 70 ) 10 ( 70 ) V [600 ( 1)( 700)] [ ] a ( 1)

11 0) O número de jogos de uma competição com n participantes, onde cada participante joga contra cada um dos demais uma vez, é dada pela função n( n 1) ( n) f a) Determine o número de jogos de um campeonato com 10 participantes b) Se um campeonato disputado nesses moldes teve 1 jogos, qual foi o seu número de participantes? a) Com 10 participantes, n 10 Substituindo na função e calculando f(10), temos: 10(10 1) 10(9) 90 f (10) 5 Logo haverá 5 jogos b) Se há 1 jogos, então f(n) 1 Substituindo, temos: n(n 1) f(n) n(n 1) ( 1) ± 1 n n n n 0 n f(n) n 7 1± ± 169 1± 1 n 1 1 n 6 < 0 ( 1) (1)( ) (1) O número de participantes deve ser um número inteiro e positivo Logo havia 7 participantes 1) Uma bola, ao ser chutada num tiro de meta por um goleiro, numa partida de futebol, teve a altura de sua trajetória descrita pela equação h( t) t² + 8t (t 0), onde t é o tempo medido em segundos e h(t) é a altura da bola, em metros, no instante t Determine, após o chute: a) a altura máima atingida pela bola; b) o tempo que a bola leva para retornar ao solo a) A trajetória é uma parábola de concavidade para baio A altura máima será a ordenada do vértice: h 8 ( )(0) 6 yv 8m a ( ) 8 Ma b) O tempo total é o dobro do tempo levado até atingir a altura máima Logo, esse tempo é a distância entre as raízes: t + 8t 0 t( t ) Tempo total: (, ) 0 s d 1 t 0 0 t 11

12 ) O lucro mensal de uma empresa é dado pela lei: L ² + 0 5, onde representa a quantidade de peças a serem produzidas e L o valor do lucro, em milhares de reais a) Qual a quantidade ideal de peças a serem produzidas, para gerar o maior lucro possível? b) Qual o valor máimo possível para esse lucro? a) O gráfico da lei do lucro é uma parábola de concavidade para baio A quantidade de peças que gera o lucro máimo será a abscissa do vértice: b 0 v 15 peças a ( 1) Ma b) O lucro máimo será a ordenada do vértice: (0) L Ma y v ( 1)( 5) R$0000,00 a ( 1) ) Resolva as inequações abaio: + a) ( 1 )( 5 10) 0 1 f() 1 zeros : 1 0 g() zeros : Solução: ]-, 1/] [, + [ + 1 b) ( )( ) > f() g() ( + 1 )( ) zeros : ( + 1 )( ) 6 16 ( 8)( + ) )( + ) 0 zeros : ( 1

13 Solução: ]-, -[ ]-1, [ ]8, + [ 1