Matemática. Resolução das atividades complementares. M5 Função polinomial do 1 o grau

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1 Resolução das atividades complementares Matemática M5 Função polinomial do o grau p. 8 O perímetro p de um quadrado é função linear de seu lado. Qual a sentença que define essa função? p 5 O perímetro de um quadrado é a soma dos seus quatro lados,. Portanto, p 5,. Sendo f() 5, determine: a) f() 7 b) f() c), de modo que f() f() 5 5 a) f() 5 5 () 5 7 f() 5 7 b) f() f() 5 5 c) f() Uma função linear é tal que f(). Determine f(). f() 5 a b Para b 5 f() 5 a f() 5 a() 5 a 5 f() 5 f() 5

2 O salário de um vendedor é calculado da seguinte forma: se sua venda for menor que R$,, ele receberá R$ 6,; se sua venda for igual ou maior que R$,, ele receberá os R$ 6, mais 5% do total de sua venda. a) Qual a sentença que define o salário s do vendedor em função da venda v? b) Quanto ele receberá se vender R$ 5,? R$ 5, Pelos dados, temos: a) s 5 6, se v, s 5 6,5v, se v > b) Para uma venda de R$ 5,, maior que R$,, então: s 5 6, Portanto, o vendedor receberá R$ 5,. s 5 6, se v s 5 6,5v, se v 5 Uma função polinomial do o grau é tal que f() f() e f() f(). Calcule f(). f() 5 a b f() f() 5 a b a b 5 b a 5 f() 5 f() a() b 5 a b a 5 Substituindo, temos: b () 5 b 5 b 5 Portanto, f() 5. f() 5 f() 5 6 Considere as funções f e g, de V em V, tais que f() m n, g() n m, f(n) g(m) e f(). Então: a) f() c) g() e) f() g() b) f() g() d) f() g() f() 5 m n; g() 5 n m f(n) 5 mn n; g(m) 5 nm m f(n) g(m) 5 mn n (nm m) 5 n m 5 f() 5 f() 5 m n 5 n m Daí, obtemos o sistema n m n n Substituindo, temos: m m. Então, f() e g(). a) (Falsa); f(). b) ( Verdadeira); f() g( ). c) (Falsa); g(). d) (Falsa); f() g( ). e) (Falsa); f() g( ).

3 7 Uma loja vai realizar uma promoção em que todos os produtos terão desconto de 7%. Nessa situação, o preço de promoção de cada produto é função do preço normal. Obtenha a sentença que permite calcular o preço de promoção p em função do preço normal. p 5,9 Seja o preço normal. p 5,7 p 5,9 p. 8 Esboce o gráfico da função f: V V, indicando os pontos onde ele intersecta os eios, sendo: a) f() c) f() b) f() d) f() para y a) y para y para y c) y para y para y y y y b) y para para y y d) y y para y para y

4 9 Sendo f() 5 m, determine o valor de m de modo que a intersecção do gráfico de f com o eio das abscissas seja o ponto de abscissa. 5 f() 5 5 m No eio das abscissas, y 5. Então, 5 m 5. Como a intersecção do gráfico com o eio das abscissas é um ponto de abscissa, temos: 5 () m 5 m 5 5 Construa o gráfico da função f de V em V dada por: a) f() 5, se, se b) f() 5, se., se, se < (I) a) f(), se. ( II) para y (I) y para y para y (II) y para y y, se (I) b) f() <, se. (II) para y (I) y para y para y (II) y para y y Desenhe o gráfico da função f de V em V dada por: f() 5, se, se, se, se < ( I) f(), se (II), se > ( III) para y (I) y para y para y (II) y para y para y para y (III) y para y y

5 O proprietário de uma padaria verificou que, no dia em que ele vende 5 pãezinhos, o custo desses pães é R$ 97,, e, no dia em que ele vende 7 pãezinhos, o custo é R$,. Admitindo que o custo C em função do número n dos pãezinhos produzidos é uma função cujo gráfico é formado por pontos que pertencem a uma reta, obtenha a sentença que epressa C em função de n. C 5,n De acordo com os dados, temos: 5 pães R$ 97, 7 pães R$, Se o gráfico é uma reta, então: C 5 na b a b 5 7 a b Resolvendo o sistema 5a b 97 ( ) 7a b 5a b 97 7a b Substituindo, temos: b 5. Então, C 5,n é a sentença que epressa C em função de n. a 6 a, Um laboratório farmacêutico determinou que a quantidade de um certo medicamento é função da massa corpórea da pessoa que deve tomá-lo. Para pessoas de a quilogramas foi obtido o gráfico ao lado. Obtenha a sentença que fornece a quantidade q do medicamento em função da massa corpórea m da pessoa. q m Observando o gráfico, temos: Para uma massa de kg, a quantidade de medicamento é 5 mg. Para uma massa de kg, a quantidade de medicamento é 8 mg. Como o gráfico é uma reta, podemos escrever: q 5 am b 5 5 a b 8 5 a b a b 5 ( ) a b 5 Resolvendo o sistema a b 8 a b 8 9a 5 Substituindo, temos: b 5. Portanto, a sentença que fornece a quantidade q do medicamento em função da massa corpórea m da pessoa é: q m. a

6 Determine o ponto de intersecção dos gráficos das funções f e g de V em V dadas por f() e g() 5. (, ) No ponto de intersecção dos gráficos, as retas possuem a mesma ordenada e a mesma abscissa. Assim: 5 Substituindo em qualquer uma das equações da reta, obteremos y. ( ) Portanto, o ponto de intersecção é P,. 5 Obtenha o conjunto imagem da função f: [, 5] V V, definida por:, se {y V y ou y } f(), se, se 5, se < < (I) f(), se < (II), se < 5 (III) Esboçando o gráfico da função, temos: para y (I) y para y para y (II) y para y para y (III) y para 5 y 5 Observando o gráfico e verificando a projeção de f sobre o eio y, temos: Im(f) 5 {y V < y < ou, y < } y

7 p. 7 6 Resolva as inequações: a) ( ) b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) e) 9 9 S 6 S 5 { V } c) ( ) ( ), ( ) S 6 d) 7 S 5 { V } a) ( ) S ς S 5 { V } b) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 9 ( ) 5 S { ς c) ( ) ( ) ( ) 6 6 S { ς d) S { ς ( ) e) ( ) ( ) S { ς

8 7 Resolva os sistemas: a) S b) c) ( ) ( ) 7 S 5 ( ) S ( ) 9 6 < < a).. < < ( S).. ( S ) S S S S S ( ) ( ) b) (S ) (S ) S S 9 6 S S Não eiste intersecção c) S. ( ) ( ) (S ) ( S ) S S 6 S S 6 S 6

9 8 Resolva: a) 6 5 S 5 { V 6 } b) S 5 { V } c) S 5 { V } a) 6 < 5 equivale ao sistema: (S) 6 < 5 < 9 < (S ) S 6 S S S 6 S 5 { V 6, < } b) equivale ao sistema: (S ) (S ) S S S S S 5 { V,, } c) < equivale ao sistema: < < > (S ) (S ) S S S S S 5 { V <, }

10 9 Obtenha o domínio da função f definida por: a) f() b) f() c) f() d) f() e) f() { V } { V } { } ς { V } ς e a) A função é definida para >. > < D(f) 5 { V < } b) A função é definida para > e para >. > > < (S ) e > > (S ) S S S S D(f) 5 { V < < } c) A função é definida para > e para. e D(f) e d) A função é definida para >, e para.. > > < (S ) e.. (S ) S S S S D(f) 5 { V, < } e) A função é definida para >, e para.. > (S ) e. (S ) S S S S D(f)

11 As empresas A e B pagam aos seus vendedores salários que são calculados pela função (S) da venda (v) efetuada. Em A, o valor de S é dado por S(v) 5,v e em B, S é calculado por S(v) 5 55,8v. a) Calcule os salários de um vendedor de A e de um vendedor de B em um mês em que eles não efetuem venda alguma. A: R$,; B: R$ 55, b) Qual deve ser o valor da venda para o salário de um vendedor de A ser maior que o salário de um vendedor de B? superior a R$ 75, empresa A S(v) 5,v empresa B S(v) 5 55,8v a) v 5 empresa A S(v) 5 R$, empresa B S(v) 5 55 R$ 55, Sem venda, o vendedor de A receberá R$,, enquanto o vendedor de B receberá R$ 55,. b) S A. S B,v. 55,8v,v,8v. 55,v. 5 v. 75 Portanto, para o salário de um vendedor de A ser maior que o de um vendedor de B, o valor da venda deverá ser maior que R$ 75,. Resolva a inequação 6. S 5 6 < equivale ao sistema: 6 9 < < 6 <. 9 (S) < (S ) S 9 S S S S 5 Não eiste intersecção

12 Seja n o menor número natural que satisfaz a desigualdade. Então, é correto afirmar: a) n 8 c) n é divisor de 5 e) n 7 b) n é divisor de d) n. O menor número natural que satisfaz. é zero. Determine o menor número inteiro tal que 7. 7 Pelos dados, devemos ter: 7. Então, o menor número inteiro que satisfaz a inequação é zero. zero Se, então está entre: a) e c) e e) e b) e d) e,, equivale ao sistema:. ( S) (S ) S S S S S S 5, Para obter, temos:,,,,. Então, está entre e.

13 5 Uma copiadora cobra de seus clientes R$, por página copiada. Caso o número de cópias ultrapasse 5, o preço será reduzido para R$,8 por cópia ecedente. Qual o número mínimo de cópias que devem ser tiradas para o custo ser superior a R$ 5,? 76 Esquematizando o problema, temos: 5 número de cópias ecedentes, 5,8. 5 5,8. 5,8.. 5 Portanto, o número mínimo de cópias ecedentes deve ser 6, e o total de cópias T p. 6 Estude os sinais da função f tal que: a) f() f() 5 ; f() ; f() b) f() 6 c) f() ( ) d) f() ( )( ) ( ) 5 f() 5 ; f() ; f() 5 f() 5 ; f() ; f() 5 f() 5 ; f() ; f() a) f() zero de f: a 5 5 f é decrescente c) f() 5 ( ) 5 5 zero de f: 5 5 a 5 f é crescente 5 f() 5, f().. f(), b) f() 5 6 zero de f: a 5 f é crescente 5 f() 5, f(),. f(). d) f() 5 ( ) ( ) ( ) zero de f: a 5 f é crescente 5 f() 5, f(),. f(). f() f(). f().

14 7 Considere a função polinomial do o grau definida por f() m( ) ( ). Determine m de modo que a função f seja crescente. m f() 5 m ( ) ( ) f() 5 m m 6 f() 5 (m ) m 6 Para que a função seja crescente, devemos ter a., ou seja, m.. Portanto, m.. 8 Determine m de modo que, sendo f() (m ) m, se tenha f() f(5). Para f(). f(5), teremos: (m ) m. (m ) 5 m m m. m 5 m 6m. m m p. 6 9 Resolva as inequações: a) ( )( ) S 5 { V, ou. } b) ( )( 6) S 5 { V ou 6} c) ( )( )( ) S 5 { V ou } a) ( ) ( ), Sejam f() 5 e g() 5. Estudando os sinais das funções, temos: f() 5 zero de f: a 5 f é crescente g() 5 zero de g: 5 5 a 5 g é decrescente Fazendo f() g(), temos: f() g() f() g() S ou

15 b) ( ) ( 6) > Sejam f() 5 e g() 5 6. Estudando os sinais das funções, temos: f() 5 zero de f: 5 5 a 5 f é crescente g() 5 6 zero de g: a 5 g é crescente 6 Fazendo f() g(), temos: f() g() 6 f() g() 6 S 5 { V < ou > 6} c) ( ) ( ) ( ) < Sejam f() 5, g() 5 e h() 5. Estudando os sinais das funções, temos: f() 5 zero de f: 5 5 a 5 f é crescente g() 5 zero de g: 5 5 a 5 g é decrescente h() 5 zero de h: 5 5 a 5 h é crescente Fazendo f() g() h(), temos: f() g() h() f() g() h() S 5 { V < < ou > } 5

16 Resolva: a) S 5 { V } b) 6 S 5 { V ou } c) S 5 { V ou } a) < Sejam f() 5 e g() 5. Estudando os sinais das funções, temos: f() 5 zero de f: 5 5 a 5 f é crescente g() 5 zero de g: 5 5 a 5 g é crescente Fazendo f() g() f() g() f() g(), temos: S 5 { V, < } b) > > > 6 > ; Sejam f() 5 6 e g() 5. Estudando os sinais das funções, temos: f() 5 6 zero de f: a 5 f é crescente g() 5 zero de g: 5 5 a 5 g é crescente Fazendo f() g(), temos: f() g() f() g() S 5 { V, ou > } 6

17 c) ; < Sejam f() 5 e g() 5. Estudando os sinais das funções, temos: f() 5 zero de f: 5 5 a 5 f é crescente g() 5 zero de g: 5 5 a 5 g é decrescente Determine o domínio da função de variável real dada por: a) f() b) f() c) f() ( ) ( ) d) f() Fazendo f() g(), temos: f() g() f() g() 5 S 5 { V < ou. } D(f) 5 { V } D(f) 5 { V } D(f) 5 { V ou } D(f) 5 { V ou 5} a) Pelos dados, devemos ter: > > D(f) 5 { V > } b) Pelos dados, devemos ter: > ; Sejam f() 5 e g() 5. Estudando os sinais das funções, temos: zero de f: 5 5 a 5 f é decrescente zero de g: 5 5 a 5 g é crescente Fazendo f() g(), temos: f() g() f() g() D(f) 5 { V, < } 7

18 c) Pelos dados, devemos ter: ( ) ( ) >. Sejam f() 5 e g() 5. Estudando os sinais das funções, temos: zero de f: 5 5 a 5 f é crescente zero de g: 5 5 a 5 g é crescente Fazendo f() g(), temos: f() g() f() g() D(f) 5 { V < ou > } d) Pelos dados, devemos ter: 5 > ;. Sejam f() 5 5 e g() 5. Estudando os sinais das funções, temos: zero de f: a 5 f é decrescente zero de g: 5 5 a 5 g é decrescente 5 Fazendo f() f() g(), temos: 5 g() f() g() D(f) 5 { V, ou > 5} 5 8

19 Resolva as inequações: a) ( ) S 5 { V } b) ( ) 5 S 5 { V } c) ( ). S 5 { V } d) ( ) S 5 {} a) Sabendo que potência de epoente ímpar tem o sinal da base, então: ( ),,, S 5 { V, } b) Reiterando que potência de epoente ímpar tem o sinal da base, temos: ( ) 5 > > > < S 5 { V < } c) A potência de epoente par é um número não negativo, qualquer que seja a base. Então, para que ( )., basta ser diferente de zero, ou seja,. S 5 { V } d) A potência de epoente par é um número não negativo, qualquer que seja a base. Então, ( ) < não poderá ser,, ou seja, poderá ser igual a zero: 5 5. S 5 {} 9