Pesquisa Operacional. Função Linear - Introdução. Função do 1 Grau. Função Linear - Exemplos Representação no Plano Cartesiano. Prof.

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1 Pesquisa Operacional Prof. José Luiz Prof. José Luiz Função Linear - Introdução O conceito de função é encontrado em diversos setores da economia, por exemplo, nos valores pagos em um determinado período de um curso. O valor a ser pago vai depender da quantidade de disciplinas que o aluno está matriculado. Imagine x o valor por disciplina e y o valor total a ser pago no período. Então, temos: y = f(x) y = número de disciplinas. x Função do Grau Denominamos função do primeiro grau a qualquer função f: R R, tal que: f(x) = ax + b (com a 0) O gráfico de uma função do grau é sempre uma reta inclinada que encontra o eixo vertical quando y = b. O valor constante b da expressão ax + b é chamado coeficiente linear. O coeficiente a da expressão ax + b é chamado coeficiente angular e está associado ao grau de inclinação que a reta do gráfico terá (na verdade o valor de a é igual à tangente de um certo ângulo que a reta do gráfico forma com o eixo horizontal). Função Linear - Exemplos Representação no Plano Cartesiano f(x) = x, onde a = e b = - f(x) = -x, onde a = - e b = f(x) = x/ + /, onde a = / e b = / Uma reta real é orientada a um eixo, e cada ponto está associado a um único número real. O ponto zero é chamado origem, portanto, qualquer ponto á direita de 0, o número será positivo; à esquerda, será negativo. E quando coincidir com o zero, será nulo. f(x) = x, onde a = e b = 0 origem

2 Plano Cartesiano Vamos imaginar um número P = -. Teremos OP = -. Agora vamos praticar: Para P = - teremos OP = - Para P = + teremos OP = + Plano Cartesiano Consideremos num plano α de dois eixos, x e y, perpendiculares em 0, um ponto A pertencente a α, existem apenas duas retas, r e s, que passam por A de modo que r // y e s // x. origem P = Eixos: X = eixo das abscissas y = eixo das ordenadas α = plano cartesiano Plano Cartesiano O plano cartesiano está dividido em quatro quadrantes: Plano Cartesiano - Exemplos Podemos então localizar os pontos A(,), B(-,), C(-,-), D(,-), E(,0) e F(0,): Funções crescentes e decrescentes O gráfico de uma função de grau y = ax + b, com a 0 é uma reta oblíqua aos eixos Ox e Oy. Exemplo : Funções Crescentes Quando aumentamos o valor de x, os correspondentes valores de y também aumentam. Dizemos, então, que a função y = x é crescente. Construir o gráfico da função y = x - X Y = x 0 - / 0

3 Exemplo : Funções Decrescentes Construir o gráfico da função y = - x + Funções Decrescentes Quando aumentamos o valor de x, os correspondentes valores de y diminuem. Dizemos, então, que a função y = -x + é decrescente. X Y = -x + 0 / 0 INEQUAÇÕES DO º GRAU INEQUAÇÕES DO º GRAU PESQUISA OPERACIONAL TÉCNICAS DE SOLUÇÃO PARA MODELOS DE PROGRAMAÇÃO LINEAR MÉTODO GRÁFICO Conceito: Consiste em representar num sistema de eixos ortogonais o conjunto das possíveis soluções do problema, ou seja, o conjunto de pontos (x, x) que obedecem ao grupo de restrições impostas pelo sistema em estudo. O desempenho do modelo é avaliado através da representação gráfica da função objetivo. As soluções são classificadas de acordo com sua posição no gráfico. Gráfico: A representação gráfica de uma equação linear com duas variáveis é uma reta. A representação gráfica de uma inequação linear com duas variáveis é um dos semiplanos definidos pela reta correspondente à equação. Exemplo : Representar graficamente a inequação: x + x 0 a) Construir a reta correspondente à equação x + x = 0 Precisamos de dois pontos: Fazendo x = 0, teremos x = 0 x = Fazendo x = 0, teremos x = 0

4 b. Testar a inequação: x + x 0 X Tomamos um ponto qualquer de uma das regiões limitadas pela reta, por exemplo o ponto (x = 0, x = ). Substituindo na inequação: ou 0 0, o que é verdadeiro, portanto a região das soluções da inequação é aquela que contém o ponto testado. 0 0 X Exemplo : Representar graficamente a solução do sistema: x + x x + x x 0 x 0 Solução: Vamos representar cada uma das retas correspondentes:. x + x = ; se x = 0 x = ; se x = 0 x =. x + x ; se x = 0 x = ; se x = 0 x = As restrições de não negatividade x 0 e x 0 representam o primeiro quadrante do gráfico das soluções. Verificar para cada reta qual a região que corresponde à solução da inequação. Para isso, escolhe-se um ponto fora das retas, por exemplo o ponto (, ).. x + x ; substituindo x =, x =, obtém-se: +., ou ; a desigualdade é falsa. Solução: região oposta. (Verificar flecha indicativa) Avaliação do objetivo Devemos agora avaliar o desempenho da função objetivo: Maximizar L = x + x na região de soluções do gráfico a seguir.. x + x ; substituindo x =, x =, obtém-se:. +, ou ; a desigualdade é verdadeira (Flecha indicativa da solução na região do ponto testado.) A região de soluções aparece sombreada no gráfico.

5 Solução: Escolhemos um valor arbitrário para L, por exemplo, o valor 0. A equação: 0 = x + x fornece o conjunto de pontos (x, x) que dão para L o valor 0. Vamos representar esses pontos:. Afastamento da origem. Retas Paralelas x + x = 0 Se x = 0, então.0 +.x = 0. Portanto, x = 0/ ou x = Se x = 0, então.x +.0 = 0, Portanto, x = 0/ ou x = Escolhemos um segundo valor para L, por exemplo, o valor, então: x + x = Graficamente teremos: Se x = 0, então.0 +.x =. Portanto, x = / ou x = Se x = 0, então.x +.0 =, Portanto, x = / ou x =, Verificamos do gráfico que:. À medida que atribuirmos valores a L, obtemos retas paralelas.. À medida que os valor de L aumenta, a reta se afasta da origem do sistema de eixos. Podemos concluir que pelo ponto P do gráfico, teremos a paralela de maior valor que ainda apresenta um ponto na região de soluções. Portanto, o ponto P é a solução que maximiza L na região de soluções dadas. Como P = (0, ) e L = x + x, substituindo x = 0 e x =, teremos: L =.0 +. ou L máximo = 0 Exemplo Resolver o problema de programação linear: Minimizar Z = x + x x + x x + x 0 Sujeito às restrições: x x 0 x 0 Solução: a. Construir a região de soluções das restrições:. x + x = Se x = 0, então 0 + x = ou x = Se x = 0, então x + 0 = ou x = REGIÃO DE SOLUÇÕES DAS RESTRIÇÕES A região resultante está sombreada na figura. Tomando-se o ponto (, ) para o teste da região de solução de cada uma das inequações, temos, substituindo os valores x = e x = :. x + x, então + 0 ou 0 A desigualdade é verdadeira, flecha em para a região do ponto testado.. x + x 0, então. + 0 ou 0 0 A desigualdade é verdadeira, flecha em para a região do ponto testado.. x substituindo x =, teremos. A desigualdade é verdadeira, flecha em para a região do ponto (, ).. x + x = 0. x = Se x = 0, então.0 + x = 0 ou x = 0 Se x = 0, então.x + 0 = ou x = 0/ ou x = A representação gráfica é uma reta paralela ao eixo x pelo ponto x = b. Avaliar o desempenho da função objetivo. Arbitraremos dois valores para Z, por exemplo: Z = e Z = Para Z =, teremos: x + x = Se x = 0, então.0 +.x = ou x = Se x = 0, então.x +.0 = ou x = Para Z =, teremos: x + x = Conclusão: Se x = 0, então.0 +.x = ou x = Se x = 0, então.x +.0 = ou x = À medida que diminuímos o valor de Z, obteremos retas paralelas mais próximas da origem. Portanto, o ponto da região de soluções com o menor valor de Z é o ponto (, 0). (Verificação no gráfico). Resposta: Ponto de Mínimo: x = ; x = 0. Valor mínimo =. +.0 = 0 Exemplo Resolver o problema de programação linear: MAX L = x + x Sujeito às restrições: x + x 0 x + x x 0 x 0 Solução: a. Construir a região de soluções das restrições:. x + x = 0 Se x = 0, então 0 + x = 0 ou x = 0 Se x = 0, então x + 0 = 0 ou x =. x + x = Se x = 0, então 0 + x = ou x = Se x = 0, então x + 0 = ou x = Ponto (, 0)

6 REGIÃO DE SOLUÇÕES DAS RESTRIÇÕES A região resultante está sombreada na figura. Tomando-se o ponto (, ) para o teste da região de solução de cada uma das inequações, temos, substituindo os valores x = e x = :. x + x 0, então ou 0. A desigualdade é falsa, implica que a solução é oposta ao ponto testado. Flecha em.. x + x, então + ou 0. A desigualdade é verdadeira. A solução é a região do ponto testado. Flecha em Para L =, teremos: x + x = Se x = 0, então.0 +.x = ou x = Se x = 0, então.x +.0 = ou x =, Conclusão: Examinando o gráfico, concluímos que L atinge o maior valor na região de soluções sobre a reta. Portanto, todos os pontos do segmento PQ são soluções ótimas do modelo. Por exemplo: O Ponto Q: x = ; x = 0. L =. +.0 = 0 b. Avaliar o objetivo na região de soluções: Arbitraremos dois valores para L, por exemplo: L = e L = Para L =, teremos: x + x = Se x = 0, então.0 +.x = ou x = Se x = 0, então.x +.0 = ou x = Ponto (, 0) Exercícios Propostos Resolver Graficamente o modelo de Programação Linear MAXIMIZAR LUCRO = x + x Sujeito a: -x + x x + x x + x x 0; x 0 X MAXIMIZAR LUCRO = x + x 0 0 X Exercícios Propostos Resolver Graficamente o modelo de Programação Linear MAXIMIZAR RECEITA = 0,x + 0,x Sujeito a: x + x x + x x 0; x 0 X MAXIMIZAR RECEITA = 0,x + 0,x 0 0 X

7 Exercícios Propostos Resolver Graficamente o modelo de Programação Linear MAXIMIZAR LUCRO = x + x X Sujeito a: x + x -x + x x + x x 0; x 0 0 MAXIMIZAR LUCRO = x + x 0 X Exercícios Propostos Resolver Graficamente o modelo de Programação Linear MINIMIZAR CUSTO = 0x + x Sujeito a: x + x 0 x + x 0 x + x x 0; x 0 X MINIMIZAR CUSTO = 0x + x 0 0 X Exercícios Propostos Resolver Graficamente o modelo de Programação Linear MINIMIZAR Z = x + x Sujeito a: -x + x x x x + x x + x 0 x 0; x 0 X MINIMIZAR Z = x + x 0 0 X

8 Exercícios Propostos Resolver Graficamente o modelo de Programação Linear Resolver o problema da lista. MÁXIMO LUCRO = x + x; Sujeito a: 0x + x 0 x + x x 0; x 0 X MÁXIMO LUCRO = x + x 0 0 X