INTRODUÇÃO O sistema de coordenadas ao qual estamos acostumados é o sistema de coordenadas
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- Maria Fernanda Gama Azenha
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1 Encontro de Ensino, Pesquisa e Extensão, Presidente Prudente, 22 a 25 de outubro, ESTUDO DAS CÔNICAS USANDO COORDENADAS POLARES Tiago Santos Arruda 1, Bruno Rogério Locatelli dos Santos, Eugenia Brunilda Opazo Uribe Universidade Federal de Mato Grosso do Sul Campus de Três Lagoas. E mail: arrudatiago@live.com. 1 Bolsista Grupo PET Conexões de Saberes Matemática/CPTL/UFMS RESUMO O presente trabalho tem por objetivo apresentar o resultado de um estudo realizado sobre as cônicas em coordenadas polares. É apresentada uma introdução sobre coordenadas polares, sua relação com as coordenadas cartesianas e as vantagens encontradas em seu uso. É feita uma caracterização unificada da Elipse, Parábola e Hipérbole, isto é, das cônicas não degeneradas, com exceção da circunferência. A partir da caracterização feita é obtida a equação geral das cônicas em coordenadas cartesianas, para, em seguida, obter a equação geral das cônicas em coordenadas polares ou equação polar das cônicas, equivalente à equação geral em coordenadas cartesianas e que se baseia em uma característica comum a todas as cônicas: a excentricidade. Palavras chave: Coordenadas Polares, Cônicas, Elipse, Parábola, Hipérbole INTRODUÇÃO O sistema de coordenadas ao qual estamos acostumados é o sistema de coordenadas cartesianas, que estabelece uma correspondência entre os pontos de um plano geométrico e. Há outros sistemas de coordenadas que podem ser utilizados para localizar pontos num plano, o sistema de coordenadas polares é um deles. Este sistema representa um recurso importante, pois algumas curvas têm equações mais simples quando esse sistema é usado (Leithold, 1994). O objetivo do trabalho é obter a equação geral das cônicas em coordenadas polares a partir da caracterização unificada feita em coordenadas cartesianas. METODOLOGIA O trabalho foi desenvolvido em etapas, incluindo pesquisa bibliográfica, conceitos importantes, principais resultados e suas demonstrações, avaliados através de seminários de discussão e exercícios. RESULTADOS Para definir as coordenadas polares escolhemos um ponto O que chamaremos de pólo e uma reta orientada passando por ele, que chamaremos de eixo polar. No sistema de coordenadas polares
2 Encontro de Ensino, Pesquisa e Extensão, Presidente Prudente, 22 a 25 de outubro, um ponto no plano é localizado dando se a distância do ponto ao pólo, r O) e o ângulo,, entre os vetores OP e um vetor na direção e sentido do eixo polar, com a mesma convenção da trigonometria, ou seja, ele é positivo se medido no sentido anti horário a partir do eixo polar e negativo se medido no sentido horário a partir do eixo polar. As coordenadas polares de um ponto P do plano são escritas na forma ( r, ), Santos (2001). Figura 1 Supondo que o pólo e o eixo polar do sistema de coordenadas polares coincidem com a origem e o eixo Ox do sistema de coordenadas cartesianas, respectivamente (ver figura 1); podemos escrever uma relação entre as coordenadas cartesianas e as coordenadas polares, da seguinte forma, x r cos e y rsen, bem como, r x y, x cos, x y sen y, se x y 0. x y Utilizaremos as coordenadas polares para estudar as cônicas, já que para aquelas que não são circunferências a equação assume uma forma simples, se considerarmos o caso em que o foco está no pólo e a reta diretriz é paralela ou perpendicular ao eixo polar. As seções cônicas ou, simplesmente, cônicas são curvas geradas, na interseção de um cone circular reto com um plano. Se o plano que intersecta o cone passa pelo vértice, a secção obtida é uma cônica degenerada: um ponto, uma reta ou duas retas concorrentes; caso contrário, obtemos as chamadas cônicas não degeneradas: são elas a elipse, a parábola e a hipérbole.
3 Encontro de Ensino, Pesquisa e Extensão, Presidente Prudente, 22 a 25 de outubro, A elipse é a curva obtida pela interseção de um cone com um plano que não passa pelo vértice, não é paralelo a uma reta geratriz (reta que gira em torno do eixo do cone de forma a gerá lo) e que corta apenas uma das folhas da superfície. A parábola é a curva obtida pela interseção de um cone por um plano paralelo a uma reta geratriz do cone. A hipérbole é a curva obtida pela interseção de um cone por um plano paralelo ao seu eixo que não passa pelo vértice. Figura 2. Santos (2001) Caracterização das Cônicas Embora cada uma das seções cônicas possua uma equação que a caracterize, podemos mostrar que todas as cônicas não degeneradas, com exceção da circunferência, podem ser descritas de uma mesma maneira. Dados uma reta r e um ponto F não pertencente à reta. A elipse, a hipérbole e a parábola podem ser definidas como o lugar geométrico dos pontos cuja razão das distâncias ao ponto F e a reta r é uma constante real positiva que depende de cada curva. Esta constante será chamada de excentricidade (e). A reta r será chamada de diretriz e o ponto F dado será chamado de foco. r) e. (1) Considerando r a reta diretriz, F o foco e P um ponto qualquer da curva. Então, a definição acima pode ser interpretada geometricamente através da figura 3, onde, e e, são distintos e são as e1 e2 3
4 Encontro de Ensino, Pesquisa e Extensão, Presidente Prudente, 22 a 25 de outubro, 2010 excentricidades da elipse, hipérbole e parábola, respectivamente, satisfazendo 0 e 1 1, e 1 2 e e 1. 3 Figura 3 Equação Geral das Cônicas A partir da caracterização feita, podemos obter uma única expressão para as cônicas, chamada de Equação Geral das Cônicas. Para isto, consideremos o sistema de coordenadas cartesianas xoy, onde o eixo Oy coincida com a reta diretriz r e o eixo Ox seja a reta perpendicular a reta diretriz r passando pelo foco F. Consideraremos o foco como sendo F ( 2 p,0), onde p 0, de acordo com a figura 4. Figura 4 Consideremos um ponto qualquer P ( x, y) de uma das cônicas. Da definição apresentada em (1), temos que,
5 Encontro de Ensino, Pesquisa e Extensão, Presidente Prudente, 22 a 25 de outubro, 2011 r) e Como y ( x 2 p) e considerando ainda que ( r) x d, podemos escrever ( x 2 p) y e x. Assim, elevando ao quadrado ambos os membros obtemos ( x x 2 p) y e, ou ainda, (1 e ) x 4 px y 4 p 0 (2) que denominamos equação geral das cônicas em coordenadas cartesianas. Equação Polar das cônicas Uma vez obtida a equação geral das cônicas em coordenadas cartesianas, nosso objetivo agora é obter esta equação utilizando coordenadas polares. Para isto utilizaremos a equação (1) e consideraremos F o foco e d a reta diretriz de uma cônica C qualquer posicionada no sistema cartesiano xoy, de forma que d coincida com o eixo Oy e F (q,0) onde q 0. Consideraremos ainda, no mesmo sistema xoy, o eixo polar O x numa posição sobre o eixo Ox tal que o pólo O coincida com o foco F como mostrado na figura 5.
6 Encontro de Ensino, Pesquisa e Extensão, Presidente Prudente, 22 a 25 de outubro, 2012 Figura 5 Sendo P um ponto qualquer da cônica C com coordenadas polares ( r, ), definimos OF q e consideramos M e N, as projeções ortogonais de P sobre d e O x respectivamente. Obtemos assim, FM r cos. Sabendo que, r e r) N) q r cos, podemos substituir na equação (1), para obter r e q r cos que podemos reescrever na forma eq r, (3) 1 ecos com 2k, onde k um número inteiro para e 1. Esta equação representa a equação geral das cônicas em coordenadas polares e é equivalente a equação geral das cônicas em coordenadas cartesianas (equação 2). Observemos que a equação (2) foi determinada considerando o foco F com coordenadas cartesianas (q,0) onde q 0 no sistema xoy. Consideraremos agora a situação em que o foco e o pólo coincidem com a origem do sistema xoy e eixo polar sobre o eixo Ox. Podemos obter outras quatro equações polares para as cônicas, de maneira análoga a usada anteriormente,
7 Encontro de Ensino, Pesquisa e Extensão, Presidente Prudente, 22 a 25 de outubro, 2013 considerando o caso em que a diretriz é perpendicular ao eixo polar e o caso em que a diretriz é paralela ao eixo polar. Considerando o caso em que a diretriz d é perpendicular ao eixo polar, podemos ter duas situações, ela esta a direita ou a esquerda do eixo Oy, ver figura 6. Figura 6 Para este caso, obtemos a equação eq r, (4) 1 ecos para a qual, o sinal positivo ou negativo indicará se a reta diretriz está a direita ou a esquerda do eixo Oy, respectivamente. Considerando agora o caso em que a diretriz d é paralela ao eixo polar, podemos ter duas situações, ela esta acima ou abaixo do eixo Ox, conforme a figura 7.
8 Encontro de Ensino, Pesquisa e Extensão, Presidente Prudente, 22 a 25 de outubro, 2014 Figura 7 Para este caso, obtemos a equação eq r, (5) 1 esen para a qual, o sinal positivo ou negativo indicará se a reta diretriz está acima ou abaixo do eixo Oy, respectivamente. DISCUSSÃO O trabalho desenvolve um estudo na busca por uma equação geral das cônicas, os resultados são apresentados tanto para coordenadas cartesianas, como para coordenadas polares, evidenciando a simplicidade desta equação no caso das coordenadas polares, o que se traduz em vantagens para o uso das mesmas. CONCLUSÕES O estudo de coordenadas polares justifica se por representar um referencial no qual podem ser estudadas algumas curvas que seriam praticamente impossível estudar nas coordenadas retangulares devido a complexidade na hora de escreve las, tais curvas podem ser facilmente escritas usando o referencial das coordenadas polares.
9 Encontro de Ensino, Pesquisa e Extensão, Presidente Prudente, 22 a 25 de outubro, REFERÊNCIAS FRENSEL, K. Notas de Geometria Analítica. Departamento de Geometria. Instituto de Matemática. Universidade Federal Fluminense Disponível em: < Acesso em: 09/09/2012. LEITHOLD, L. O Cálculo com Geometria Analítica. 3ª. Ed. São Paulo: Harbra, LOPES, J. F. Cônicas e Aplicações f. Dissertação (Mestrado). Departamento de Matemática, Instituto de Geociências e Ciências Exatas, Universidade Estadual Paulista, Rio Claro. Mauri C. Nascimento Dep. De matemática FC Unesp/Bauru Coordenadas polares 10/11/2004 SANTOS, R. J. Seções Cônicas Departamento de Matemática ICEx. Universidade Federal de Minas Gerais. Disponível em: < Acesso em 13/09/2012.
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