Gráfico: O gráfico de uma função quadrática é uma parábola. Exemplos: 1) f(x) = x 2 + x /2 1 3/2 2. 2) y = -x

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1 Engenharia Civil/Mecânica Cálculo 1 1º semestre 2015 Profa Olga Função Quadrática Uma função f : R R chama-se função quadrática quando existem números reais a, b e c, com a 0, tais que f(x) = ax 2 + bx + c para x R. São exemplos de funções quadráticas: 1) f(x) = x 2 4x + 2 2) f(x) = 3x 2 x 3) f(x) = x 2 4. Gráfico: O gráfico de uma função quadrática é uma parábola Exemplos: 1) f(x) = x 2 + x x / /2 2 f(x) 2) y = -x x y

2 Observe que; 1) as abscissas dos pontos onde a parábola intercepta o eixo Ox são as raízes da função 2) A ordenada do ponto de intersecção da parábola com o eixo Oy é o valor do coeficiente c da função 3) O eixo de simetria é a reta vertical que passa pelo vértice da parábola Concavidade da parábola: O coeficiente a da função quadrática determina qual é a concavidade da parábola. Demonstra-se que: a>0 concavidade para cima a<0 concavidade para baixo Raízes ou zeros de uma função quadrática f(x)= ax 2 + bx + c ax 2 + bx + c = 0 = b 2 4.a.c x = b 2a >0 x 1 x 2 ( duas raízes reais distintas) = 0 x 1 = x 2 ( duas raízes reais iguais ) < 0 não existe raiz real. Exemplos: 1) f(x) = 2 x 2-3x + 1 = (-3) = 9 8 = x = = x 1 = = x 2 = = = Portanto as raízes da função são: 1 e 2 1 2) f(x ) = 4x 2 4x +1 = ( -4)

3 = = 0 b x 1 = x 2 = = = = 2a Existe apenas uma raiz com multiplicidade 2( raiz dupla) 3)f(x) = 2x 2 + 3x + 4 = = 9 32 = (- 23) Como em R não existe a raiz quadrada de número negativo, essa função não tem raiz real. Graficamente, as raízes ou zeros de função são as abscissas dos pontos onde o gráfico intercepta o eixo Ox.. Logo, conhecendo a concavidade da parábola e as raízes da função, podemos esboçar o seu gráfico.vamos resumir da seguinte forma: Seja f(x) = ax 2 + bx + c uma função quadrática: 1) > 0 2) = 0 3) < 0

4 Vértice da parábola; V ( x v, y v ) O vértice de uma parábola é o ponto de menor ordenada( mínimo) se a >0 ou é o ponto de maior ordenada(máximo) se a<0. Demonstra-se que: x v = b 2a e y v = 4a Conjunto imagem da função quadrática: Se a > 0 I m = { y R / y } 4a Se a < 0 I m = { y R / y } 4a

5 Estudo da variação do sinal da função quadrática: 2) > 0 x =x 1 ou x = x 2 y = 0 x =x 1 ou x = x 2 y = 0 x < x 1 ou x > x 2 y > 0 x < x 1 ou x > x 2 y < 0 x 1 < x < x 2 y < 0 x 1 < x < x 2 y > 0 2) = 0 x =x 1 = x 2 y = 0 x =x 1 = x 2 y = 0 x x 1 y > 0 x x 1 y < 0 3) < 0 x R y >0 x R y <0

6 Exercícios: 1) Faça o esboço do gráfico das seguintes funções: a) y = x 2 6x + 9 b) y = - x 2 + 2x + 8 c) y = - x 2 + 2x 2 2) Ache as raízes( quando houver) e, a seguir, faça a variação de sinal das seguintes funções quadráticas: a) y = x 2 + x + 2 b) y = 9x 2 6x + 1 c) y = - 4x 2 d) y = -2x 2 + x -3 e) y = 1 x 2 f) y = x 2 + 3x g) y = - x 2 + 2x -1 3) Determine o conjunto imagem das funções do exercício anterior 4) Em cada uma das funções abaixo, determine os valores de x R tais que y > 0 a) y = x 2-5x + 4 b) y = x 2 x + 5 c) y = x 2 + 4x + 4 d) y = -x 2 + x + 6 e) y = - 4x 2 + 4x -1 f) y = - x 2 + x -1 5) Dada a função f(x) = x 2-2x -3, determine os elementos de f de modo que: a) x = -2 b) x = 4 c) x = -1 d) x = 3 e) f(x) = 0 f) f(x) = 12 g) f(x) = -4 h) f(x) = -5

7 6) Em cada item é dado o gráfico cartesiano de uma função quadrática f(x) = ax 2 + bx + c. Determine os sinais de a, b, c e. 7) Dado o gráfico cartesiano da função f(x) = ax 2 + bx + c., determine f nos casos: 7) Dada a função f(x) = x 2 2x 8, determine: a) o ponto onde o gráfico de f corta o eixo das ordenadas ( x = 0) b) os pontos onde o gráfico de f corta o eixo das abscissas ( y = 0) c) o vértice da parábola d) o valor máximo ou o valor mínimo e) os valores de x de modo que f(x) >0 f) os valores de x de modo que f(x) 0 g) o conjunto imagem de f 8) Dar o valor máximo ou o valor mínimo e o conjunto imagem da função f nos casos: a) f(x) = 2x 2 4x -1 b) f(x) = 2x 2 8x c) f(x) = - 2x 2 + 3x -2 d) f(x) = - 3x 2 6x + 1 e) f(x) = 4x f) f(x) = 2x 2 4x = 4

8 9) Determine o conjunto S dos valores de x de modo que f(x) 0 nos casos: a) f(x) = 2x 2 + x -15 b) f(x) = -9x x 36 c) f(x) = - x 2 3x + 3 d) f(x) = 25x 2 30 x ) Determine o conjunto S dos valores de x de modo que f(x) < 0 nos casos: a) y = x 2 + 6x -7 b) y = 16 x 2 8x + 1 c) y = - 2x 2 + 7x d) y = 2x 2 x + 1 e) y = - x 2 + x -2 11) Num mesmo plano cartesiano fazer os gráficos de f(x) = x 2 4x + 3 e g(x), em cada caso: a) g(x) = - f(x) b) g(x) = f(x) -2 c) g(x) = f(x+3) d) g(x) = 2 f(x) e) g(x) = f(-x) f) g(x) = f( x-1) Resolver os seguintes problemas de aplicações de funções afins e funções quadráticas: 1) Carlos trabalha como disc jockey(dj) e cobra uma taxa fixa de R$100,00 mais R$20,00 por hora, para animar uma festa. Daniel, na mesma função, cobra uma taxa fixa de R$ 55,00 mais R$35,00 por hora. Qual é o tempo máximo de duração de uma festa, para que a contratação de Daniel não fique mais cara que a de Carlos. 2) O custo mensal total de fabricação de um certo produto é igual à soma de um valor fixo de R$700,00 com o custo de produção de R$0,60 por unidade fabricada no mês. Cada unidade é vendida por R$1,00. De acordo com as informações, analise as afirmações abaixo: a) O custo de produção de 150 unidades é R$90,00 b) Em um mês que foram fabricadas 200 unidades, o custo total mensal foi de R$820,00 c) Em um mês que foram fabricadas 2000 unidades, o lucro foi de R$150,00 d) Em um mês, para não haver prejuízo, devem ser vendidas, no mínimo, 1750 unidades.

9 3) Durante as férias, uma locadora de automóveis lançou a seguinte promoção para a diária do aluguel de um carro: Para distâncias de até 120 km é cobrada uma taxa fixa e mais p reais por km rodado. Qualquer km excedente tem desconto de 20% sobre p. Sabendo que dois clientes rodaram em um dia, respectivamente, 80 km e 180 km e que o primeiro pagou R$57,20 a menos que o segundo, determine: a) o valor de p b) o valor da taxa fixa. 4) Um retângulo tem dimensões(em cm) expressas por x+3 e 3x -1. a) Encontre a expressão que define a sua área em função de x b) Para que valor de x a área do retângulo é 77 cm 2? 5) Para a fabricação de bicicletas, uma empresa comprou unidades do produto A, pagando R$96,00, e unidades do produto B, pagando R$84,00. Sabendo que o total de unidades compradas foi de 26 e que o preço unitário do produto A excede em R$2,00 o preço unitário do produto B, determine o número de unidades de A comprados. 6) Uma bola, lançada verticalmente para cima, a partir do solo, tem sua altura h ( em metros) expressa em função do tempo t( em segundos)decorrido após o lançamento pela lei: h(t) = 40 t 5 t 2.Determine: a) a altura em que se encontra a bola, 1s após o lançamento b) 0(s) instante(s) em que a bola se encontra a 75 m do solo c) A altura máxima atingida pela bola d) O instante em que a bola retorna ao solo. 7) Um pesticida foi ministrado a uma população de insetos para testar a sua eficiência. Ao proceder ao controle da variação da população de insetos em função do tempo, em semanas, conclui-se que o tamanho da população é dado por: F(t) = -10 t t a) Determine o intervalo de tempo em que a população de insetos ainda cresce. b) Na ação do pesticida, existe algum momento em que a população de insetos é igual a à população inicial?quando? c) Entre quais semanas a população de insetos seria exterminada. 8) Suponha que, certo dia, em que o preço unitário de venda de um sorvete era x reais, foram vendidas 20 x unidades, 0<x<20, Se, nesse dia, o custo de fabricação de cada unidade desse sorvete era de R42,00, quantas unidades teriam que ser vendidas para que o lucro do fabricante fosse o maior possível? 9) Uma bala é atirada de um canhão (como mostra a figura) e descreve uma parábola de equação y = - 3x x (sendo x e y em metros). a) Determine a altura máxima atingida pela bala b) O alcance do disparo.

10 10) Seja x a quantidade de produtos fabricados por uma empresa. A parábola R e a reta C, conforme figura abaixo, são os gráficos das funções R(x), que representa a receita da empresa, e C(x), que representa o custo de produção e comercialização do produto. a) Qual é a equação da reta que define o custo C? b) Qual é a função que representa o lucro da empresa sabendo que a função receita é dada pela lei R (x) = - x x? c) Qual o lucro máximo obtido pela empresa? d) Determine os valores de x para os quais a empresa obtém lucro. C R 500