CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS

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1 GOVERNO DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO FUNDAÇÃO DE APOIO À ESCOLA TÉCNICA FAETEC ESCOLA TÉCNICA ESTADUAL SANTA CRUZ ETESC DISCIPLINA DE QUÍMICA EXPERIMENTAL Profs.: Ana Cristina, Denis Dutra e José Lucas Ano Letivo: 2010 CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS 1. GRÁFICOS A construção de gráficos com os dados experimentais é uma operação usada com muita freqüência, em virtude de estes serem muito úteis, pois: 1. Permite visualizar tendências com facilidade muito maior do que se teria apenas examinando os números em uma tabela; por exemplo, uma variável tende a crescer enquanto outra diminui; uma variável diminui rapidamente em uma região, mas diminui mais lentamente em outra região; uma variável tem um máximo em uma determinada região etc. 2. Pelos gráficos, percebe-se facilmente que a interdependência entre variáveis de fenômenos naturais é de natureza tal a resultar em curvas suaves (ou então retas) nos gráficos. Variações bruscas ou irregulares, em geral, indicam erros de medida (o chamado erro acidental) ou a existência de alguma variável que não está sendo controlada etc., o que permite que se possa obter melhores resultados refazendo as medidas de pontos duvidosos. 3. Em um experimento em que a relação entre duas variáveis deve produzir uma linha reta no gráfico, é comum encontrar pontos que não se alinham exatamente, mas que apresentam certa dispersão (para ambos os lados) em torno da reta "média" que se espera. Em geral, no gráfico pode-se ver com mais facilidade qual deve ser a reta "média" e quais pontos estão mais afastados ou mais próximos do esperado ou presumido*. Alguns exemplos podem esclarecer melhor esses aspectos. Considere, inicialmente, a Tabela 1, que contém os valores de densidade da água a várias temperaturas. Examine a tabela detidamente, tentando tirar conclusões sobre como é a variação, e você vai perceber o quanto é difícil, pelo exame de números, chegar a conclusões desse tipo. Tabela 1. Densidade da água ( ) a várias temperaturas (T). T / ºC / g/cm 3 T / ºC / g/cm 3 T / ºC / g/cm 3 0 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , * Na verdade, um tratamento estatístico dos dados experimentais pode localizar a reta que melhor se "encaixa" nos dados existentes com maior precisão do que o método visual. Tais métodos podem ser realizados pelos programas de computador que traçam gráficos.

2 / g.cm -3 FAETEC/ETESC Construção de Gráficos 2 Examine, agora, o gráfico da Figura 1, que corresponde aos valores da Tabela 1. Percebe-se, instantaneamente, que a densidade da água varia com a temperatura segundo uma curva com concavidade voltada para baixo, que a curva é suave e que ela tem um máximo próximo a 4 C. T / ºC Figura 1. Densidade da água ( ) a várias temperaturas (T). Em seguida, considere a Tabela 2, similar à Tabela 1, mas contendo a densidade do mercúrio e na qual um dos valores foi propositadamente escrito errado. Tente achar o número errado examinando somente a tabela e perceba como essa tarefa é aborrecida e cansativa. Considere ainda que você foi avisado de que havia um número errado; imagine a dificuldade que você teria para perceber o erro na tabela se você nem soubesse que existia um erro. Tabela 2. Densidade do mercúrio a várias temperaturas (com um ponto errado). T / ºC / g/cm 3 T / ºC / g/cm 3 T / ºC / g/cm , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Dirija-se, agora, à próxima página, em que você encontrará um gráfico (denominado Figura 2) feito com os dados da Tabela 2. Veja com que facilidade pode-se perceber que há um ponto errado e qual é este ponto. É evidente, também, que você perceberia instantaneamente o erro, mesmo que não soubesse de antemão de sua existência. Observe, também, que este erro não tem, necessariamente, que ser erro de medida experimental, mas pode ser erro de transcrição: uma pessoa, copiando dados de tabelas (principalmente se forem escritas a mão), facilmente lê seis onde está escrito zero, ou inverte dois algarismos etc. Os gráficos ajudam muito a localizar esses erros.

3 FAETEC/ETESC Construção de Gráficos 3 / g.cm -3 O ponto errado, obviamente, é o que corresponde a 18 C. O valor que consta na Tabela 2 (utilizado para traçar o gráfico) é 13, g/cm3, enquanto o valor correto seria 13, g/cm3. T / ºC Figura 2. Densidade do mercúrio a várias temperaturas (com um ponto errado). 2. COMO TRAÇAR BONS GRÁFICOS Um gráfico, normalmente, tem dois eixos onde são representados os valores de cada quantidade. No eixo horizontal (eixo x, representado na base do papel), denominado abscissa, é praxe representar a variável independente, isto é, aquela cujo valor é controlado pelo experimentador; no eixo vertical (eixo y, representado à esquerda do papel), denominado ordenada, é praxe representar a variável dependente, isto é, aquela cujo valor é medido experimentalmente (seu valor depende daquele fixado para a variável independente). Quando as duas quantidades são medidas experimentalmente, pode-se representar qualquer uma delas em qualquer dos eixos. Para traçar um bom gráfico, é importante que os seguintes pontos sejam observados: a) Comece por definir o tamanho aproximado de seu gráfico. Muitas vezes, não é necessário usar a folha inteira de papel milimetrado, que é muito grande, e pode resultar em grande dispersão de seus (poucos) pontos. É possível traçar bons gráficos em meia folha deste tipo de papel. b) Localize, em seguida, na sua tabela de dados, os valores máximos e mínimos de suas duas variáveis. A origem da escala de cada eixo (a que possui valor igual a zero) não precisa necessariamente aparecer no gráfico; a escala deve ser iniciada tomando-se um valor ligeiramente abaixo do valor mínimo medido e terminando num valor um pouco acima do valor máximo medido. Por exemplo, suponha que se tenha feito medidas de temperatura cujos valores encontram-se num intervalo que vai de 80 C a 125 C. Assim, a escala para representar tais valores deveria começar em 70 C ou 75 C e terminar em 130 C ou 135 C. c) Não se deve colocar setas para indicar o sentido de crescimento das quantidades representadas em cada eixo. Devem-se indicar, junto aos eixos, os símbolos das grandezas correspondentes divididos por suas respectivas unidades; isto porque os valores representados nos eixos devem ser números puros, isto é, a- dimensionais. Toda grandeza é igual ao produto entre um valor numérico e uma unidade (por exemplo, massa = 2 kg). Portanto, o valor numérico representando o eixo deve ser igual ao quociente grandeza / unidade (massa / kg). d) Deve-se indicar o que será representado no gráfico através de uma legenda.

4 FAETEC/ETESC Construção de Gráficos 4 e) A parte mais difícil vem agora: estabelecer as escalas em cada um dos dois eixos. Para começar, ignore totalmente os números que vêm marcados no papel. Eles nunca coincidem com os valores que você tem que usar, e devem ser tratados como se não existissem. Apenas conte os milímetros em cada eixo, para saber de quantos você dispõe. As escalas devem ser traçadas de maneira que: 1. Todos os pontos caibam no gráfico. 2. Em cada eixo, a distância entre o menor e o maior valor (dos pontos que você vai colocar no gráfico) deve ser de pelo menos 75% do tamanho total do eixo. 3. A escala deve ser legível, isto é, você tem que ser capaz de localizar qualquer valor na escala, não apenas aqueles que correspondem a seus pontos. Para satisfazer ao requisito 3, deve-se procurar estabelecer uma escala que coincida o mais possível com as linhas dos milímetros. Por exemplo: cada centímetro vale 100 g (assim, cada milímetro vale 10 g), ou cada 2 cm valem 100 g (assim, cada milímetro vale 5 g), darão boas escalas. Uma escala que já não seria tão boa, mas poderia ser aceitável, se necessário, seria aquela em que cada 3 cm valessem 100 g (cada 3 mm valeriam 10 g; e como é que se divide 3 mm em dez partes?); é comum que você acabe por concluir que, num caso assim, é melhor fazer o gráfico um pouco maior, fazendo cada 4 cm valerem 100 g. Seria totalmente descabida, porém, uma escala em que 13 mm valessem 10 g; neste caso, não há praticamente nenhuma coincidência das linhas com a escala, que se torna um absurdo ilegível sem nenhuma utilidade. f) Deve-se indicar cada ponto de cada curva lançada no gráfico por meio de pequenos círculos, quadrados, triângulos etc., usando, para cada curva, um único tipo de representação para os pontos. Cada curva deve ser traçada com distintas convenções (linhas contínuas, tracejadas, pontilhadas etc.). g) Ao se traçar uma curva, deve-se traçá-la de modo a representar a tendência média dos pontos (procedimento conhecido como interpolação); não se deve, a menos que assim solicitado, unir os pontos através de segmentos de retas (isto resulta num histograma). Tome como exemplo a Figura 1 deste texto. Vê como é fácil ler qualquer valor naquele gráfico? Faça os seus assim. Procure no seu livro-texto de Química as páginas 61 a 65 para melhor compreender este assunto. 3. COMO NÃO TRAÇAR BONS GRÁFICOS Seguem abaixo alguns exemplos de erros comuns na elaboração de gráficos. Figura 3. Alguns exemplos de gráficos com erros.

5 FAETEC/ETESC Construção de Gráficos 5 Figura 3 (continuação). Alguns exemplos de gráficos com erros. 4. INCLINAÇÃO DE RETAS EM GRÁFICOS DE DADOS EXPERIMENTAIS Você já sabe, de seus cursos de matemática, que a equação da reta tem a forma y = ax + b, sendo b o coeficiente linear (onde a reta corta o eixo y, ou o valor de y para x = 0) e a é o coeficiente angular, conhecido como inclinação da reta, e numericamente igual à tangente trigonométrica do ângulo que a reta forma com o eixo x (a = tg α, desde que as escalas nos dois eixos sejam idênticas). O coeficiente angular da reta mostra quanto a grandeza representada na ordenada varia ( y) por unidade de variação da grandeza representada na abcissa ( x). O cálculo do coeficiente angular é feito tomando-se dois pontos sobre a reta e calculandose a relação y/ x. Figura 4. Reta e seus parâmetros.

6 FAETEC/ETESC Construção de Gráficos 6 5. EXERCÍCIOS 1) (Enem/99) Para convencer a população local da ineficiência da Companhia Telefônica Vilatel na expansão da oferta de linhas, um político publicou no jornal local o gráfico I, abaixo representado. A Companhia Vilatel respondeu publicando dias depois o gráfico II, onde pretende justificar um grande aumento na oferta de linhas. O fato é que, no período considerado, foram instaladas, efetivamente, 200 novas linhas telefônicas. Analisando os gráficos, pode-se concluir que: (A) o gráfico II representa um crescimento real maior do que o do gráfico I. (B) o gráfico I apresenta o crescimento real, sendo o II incorreto. (C) o gráfico II apresenta o crescimento real, sendo o gráfico I incorreto. (D) a aparente diferença de crescimento nos dois gráficos decorre da escolha das diferentes escalas. (E) os dois gráficos são incomparáveis, pois usam escalas diferentes. 2) Um técnico preparou seis soluções aquosas de uma substância Z qualquer nas seguintes concentrações em g/l: 0,00; 2,00; 6,00; 10,00; 14;00; 18,00 respectivamente. A medida da absorbância de cada solução em um determinado comprimento de onda forneceu, respectivamente, os seguintes valores: 0,000; 0,173; 0,422; 0,702; 0,956; 1,248. A absorbância de uma amostra de concentração desconhecida deu um valor de 0,850. Faça o gráfico de concentração (no eixo x) contra absorbância (no eixo y), trace a melhor reta que passa pelos pontos coordenados e descubra a concentração de Z da amostra desconhecida. 6. BIBLIOGRAFIA CONSULTADA CONSTANTINO, M.G.; SILVA, G.V.J.; DONATE, P.M. Fundamentos de Química Experimental. São Paulo, Edusp, LENZI, E.; FAVERO, L.O.B.; TANAKA, A.S.; VIANNA FILHO, E.A.; SILVA, M.B.; GIMENES, M.J.G. Química Geral Experimental. Rio de Janeiro, Freitas Bastos, NÓBREGA, O.S.; SILVA, E.R.; SILVA, R.H. Química, volume único. São Paulo, Ática, ROCHA-FILHO, R.C.; BOCCHI, N.; SILVA, R.R. Introdução à Química Experimental. São Paulo, McGraw Hill, 1990.