Método dos mínimos quadrados - ajuste linear

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1 Apêndice A Método dos mínimos quadrados - ajuste linear Ao final de uma experiência muitas vezes temos um conjunto de N medidas na forma de pares (x i, y i ). Por exemplo, imagine uma experiência em que uma mola é calibrada com o objetivo de se obter sua constante elástica k. A mola está montada na vertical e tem um suporte na extremidade livre onde massas calibradas podem ser adicionadas. A tabela abaixo contém as medidas de variação de altura do suporte em função da massa colocada dentro dele. Em geral a calibração é feita com massas tais que a mola se mantenha num regime linear onde vale a lei de Hooke. Neste caso específico teríamos como modelo h = g k m (A.1) m(g) σ m (g) h (cm) σ h (cm) 15,0 0,1 10,0 0,5 0,0 0,1 11,4 0,5 5,0 0,1 13,5 0,5 30,0 0,1 18,5 0,5 35,0 0,1 0,1 0,5 40,0 0,1,0 0,5 Tabela A.1: Tabela com dados de calibração de uma mola O gráfico de h em função de m mostrado na figura A.1 sugere que a relação linear entre essas grandezas, equação (A.1) pode ser utilizada, mas como traçar a reta que melhor representa os pontos experimentais? O método dos mínimos quadrados propõe encontrar a melhor reta através de um processo de minimização das distâncias entre os pontos experimentais e a reta. O ponto de partida é o conjunto de pontos experimentais. Convenciona-se chamar de x i as medidas mais precisas que em geral são associadas a grandezas que podem ser controladas. No exemplo da calibração os valores das massas serão nossos x i s. As medidas de variação de h serão os y i s. Para verificar qual variável deve ser x, calculamos as incertezas relativas. Na caso 51

2 5 APÊNDICE A. MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS - AJUSTE LINEAR Figura A.1: Gráfico com os dados da tabela A.1 de m ela varia entre 0,3 e 0,7%. Para h a variação é entre 5 e %, ou seja, m é uma medida mais precisa que h nessa experiência. Na sua forma mais simples o método dos mínimos quadrados (MMQ) trabalha com as diferenças δy i = y i y(x i ), considerando que os valores de x i estão corretos. A melhor reta será calculada mantendo os valores experimentais para x, por isso é importante que o eixo x seja associado à grandeza mais precisa. A melhor reta tem o mesmo papel da média de um conjunto de medidas. Podemos interpretá-la como uma média bidimensional. Assim, num conjunto qualquer de pontos experimentais teremos valores positivos e negativos para δy i de forma simétrica com relação à reta. A figura A.(a) mostra uma reta qualquer traçada sobre os pontos. Note que embora dois pontos estejam praticamente sobre ela, os outros todos ficaram abaixo da reta. Claramente essa reta não serve. Encontrar a reta média significa encontrar valores de δy i y i y(x i ) tais que todos os pontos fiquem distribuídos da melhor maneira possível com relação à reta. Para expressar essa condição matematicamente, partimos da definição da grandeza χ (qui quadrado) para o conjunto de N pontos experimentais: χ (δy i ) = i [y i y(x i )]. (A.) i O MMQ propõe que a melhor reta seja aquela com coeficientes tais que χ seja mínimo. Seja y = ax + b uma reta qualquer. Se substituimos nessa equação de reta os valores experimentais x i teremos um conjunto de valores y(x i ). Escrevendo δy i em termos de a e b temos Logo δy i = y i (ax i + b) e (δy i ) = y i + b + a x i + abx i ax i y i by i χ (a, b) = yi + Nb + a N x i b (y i ax i ) a x i y i (A.3) Chamando de a e b os valores de coeficiente que minimizam χ, as condições de minimização são χ χ = 0 = 0. a b 7 de Janeiro de 015 a=a b=b

3 53 As expressões finais para os coeficientes são x b = i yi x i xi y i N x i ( x i ) e a = N x i y i x i yi N x i ( x i ) A figura A.(b) mostra a reta traçada com coeficientes calculados desta forma.!"#!"!# $ % (A.4) (A.5)! " Figura A.: Dados de calibração e o traçado de uma reta: (a) uma reta qualquer; (b) a reta que minimiza χ. Incertezas dos coeficientes Até agora não levamos em conta as incertezas dos pontos experimentais. No caso, como estamos considerando que os valores de x são conhecidos exatamente, precisamos levar em conta as incertezas em y. Vamos considerar o caso mais geral, em que cada ponto tem uma incerteza σ i no valor de y i. Para levar isso em conta, redefinimos a grandeza χ: ( ) ( ) χ δyi yi b ax i (a, b) = = (A.6) σ i σ i onde os desvios com relação à reta são ponderados por pesos iguais a (1/σ i ). Com a introdução dos σ i, a importância dos pontos no cálculo de a e b é diferente: pontos com incertezas grandes influenciam menos. As expressões para os coeficientes neste caso são onde b = S xxs y S x S xy = SS xx (S x ) S = a = SS xy S x S y 1 x i S x = (A.7) 7 de Janeiro de 015

4 54 APÊNDICE A. MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS - AJUSTE LINEAR S y = y i x i S xx = S xy = As incertezas de a e b são obtidas pela propagação de incertezas a partir da expressão (1.3). Como resultado final temos: σa = S e σ b = S xx (A.8) Avaliação do ajuste Depois de calculados os coefientes a e b precisamos saber se a escolha de uma reta foi adequada para descrever os pontos experimentais. Claro que uma avaliação visual é importante, mas muitas vezes precisamos mais que isso. Para estabelecer um critério quantitativo usamos o χ reduzido, definido como χ red = χ N = 1 N x i y i σ i ( ) δyi. (A.9) O denominador, N é o número de graus de liberdade ou o número de determinações independentes de δy i. Assim como na definição do desvio padrão (veja equação B.3), se temos N pontos no ajuste e dois coeficientes de ajuste, teremos N valores de δy i independentes, já que as expressões de a e b criam relações entre eles. Com esse denominador, se N =, temos uma situação indefinida, já que não tem sentido ajustar uma reta por dois pontos apenas. Para que χ red seja pequeno é preciso que de uma forma geral tenhamos δy i < σ i, ou seja, que os afastamentos com relação à reta sejam menores que as barras de erro. A estimativa correta de σ i é fundamental para esse critério. Se σ i estiver subestimado, os pontos experimentais terão uam dispersão grande em comparação e χ red será grande. Claro que também não podemos aumentar arbitrariamente os valores de σ i apenas para obter um valor pequeno para χ red. Finalmente podemos discriminar as seguintes situações: χ > 1 o modelo matemático proposto não está adequado, ou as incertezas foram red subestimadas. Neste caso os valores de δy i são maiores que as incertezas σ i. χ < 1 o modelo matemático proposto está adequado, ou as incertezas foram superestimadas. Neste caso as fltuações δy i com relação à reta ajustada são menores que as red incertezas σ i. χ red 1 certamente o modelo proposto não está adequado. Nete caso, as flutuações δy i serão muito maiores que as incertezas σ i. MMQ e o QtiPlot O MMQ é um método eficiente e robusto para ajustar retas a conjuntos de dados, mas realizar esses cálculos à mão ou numa calculadora comum pode ser bem trabalhoso. Felizmente atualmente todos os programas de gráficos incluem ajustes de diversos tipos. No QtiPlot nosso ponto de partida será uma tabela como a mostrada na figura A.3. Note que uma coluna foi adicionada e indicamos que nela entrariam os valores de σ y. Agora selecione as três colunas e 7 de Janeiro de 015 σ i

5 55 Figura A.3: Tabela para juste linear no QtiPlot escolha Plot Scatter. Você terá um gráfico com os pontos experimentais e suas barras de erro. Com o gráfico selecionado escolha Analysis Fit linear. O resultado pode ser visto na figura A.4(a). Note que os valores dos coeficientes aparecem com qualquer número de significativos e também não têm unidades. Para recobrar as unidades lembramos da associação x m(g) e y h(cm). Assim, [a] =cm/g e [b] = cm. Agora vamos aos valores. Começamos pelas incertezas, escrevendo-as com um algarismo significativo. σ a =, e 0 σ a = 0,0 cm/g σ b = 6, e 01 σ b = 0,7 cm Finalmente escrevemos corretamente os coeficientes e suas incertezas a = (0,5 ± 0,0) cm/g b = (1,6 ± 0,7) cm Observe que no quadro com os resultados do ajuste temos Chi^/doF = 3, e+00. A abreviatura dof vem de degrees of freedom, ou graus de liberdade, em inglês, logo este é o valor de χ. O valor um tanto alto vem da dispersão dos pontos com relação à reta. Para red poder estabelecer uma comparação, observe o baixo valor de χ red na figura A.4, onde os pontos estão bem sobre a reta ajustada. 7 de Janeiro de 015

6 56 APÊNDICE A. MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS - AJUSTE LINEAR *+,+-+.+/+*-,-. B:<:=9<o(4:4>=d?:@7A;:?:>B45 x(b(+3/,-3*,-.95,(5id(/3*3*-3*+,*9d,+ *(b(3-,s+.-*s+.39d,+(5id(-33,.s-+*/*9d,- +57Eī4>^(b(33*/*+,ṡ/+,95, :;^7<+ /*.,.,.+s+ KLMLNLOLPLKNMNO Ad=e3PfMOfPLeMOfPNWZML =L3PMeSNTKMeSNOWdMdgZL3TfPfPOPfLPNWdM =S3NMSfLONKSfLOTWZMLdgZO3fKMeLOTfTfPWZMN =M3ePKOMOSMOLfL +,+-,-3,3.,. LMLSNMNSTMTSOMOS A ^C8?<7>8o(*gD5x lmnmompmqmlonop E-(b(,3 Cz z}y ~z ym o GH4IJ6 /ƒx w x~ ˆ5 Š wœon /Žm3qnplulnpntnyo 4F6 4U ŒoŽm Žm3qny5n5nq3luloutlmnlynm ovwxyz{/w m Q4R6 mnmtonotunutpnpt Žt3onynm5no3unpt:omlqlyno4 6 r4s6 &'4()6 hi4jk6 VWXYZ[X\]^W_^` Vabcd Figura A.4: (a) Dados originais. Note que a flutuação dos pontos em relação à reta é maior que as barras de erro, levando a χ red > 1. (b) Os mesmos pontos mas com barras de erro duplicadas. Como agora a fltuação é um pouco menor que as barras de erro, temos χ red < 1. (c) Finalmente com um conjunto de pontos melhor, masia adequados ao modelo linear, mesmo com as barras de erro originais temos χ red 1 7 de Janeiro de 015