Título: Sistemas Lineares no CAp UFRJ: Interpretações Algébrica e Gráfica

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1 Autor Letícia Guimarães Rangel Co-autor(es): Fernando Celso Villar Marinho Lílian Káram Parente Cury Spiller Rita Maria Cardoso Meirelles Tipo de Pesquisa Ensino Médio Números e Operações Componente Curricular Matemática Tema: Sistemas Lineares Título: Sistemas Lineares no CAp UFRJ: Interpretações Algébrica e Gráfica Professor, quanto mais recursos para se entender um conceito, melhor. A proposta aqui é apresentar duas interpretações para os sistemas lineares com duas incógnitas: uma algébrica e outra gráfica. Assim, o estudante pode ter uma visão mais ampla e compreender melhor o conceito estudado. A partir da análise dessas duas interpretações, o estudante pode fazer conjecturas a respeito da relação existente entre os coeficientes das equações de um sistema e a sua solução, chegando até ao conceito de determinante de uma matriz 2 2.

2 Sistema Possível e Determinado (SPD) Um sistema linear é possível e determinado quando possui uma única solução. Um par ordenado (a,b) é solução de um sistema linear com duas incógnitas quando é solução de cada equação que compõe o sistema. Exemplo: é uma das infinitas soluções da equação é uma das infinitas soluções da equação, já que, já que Porém, o sistema linear possui apenas uma solução, que é o par ordenado. Graficamente, a solução do sistema linear é o ponto de interseção entre as retas correspondentes às equações do sistema. x 4y = 14 O ponto é a solução do sistema. 2x + 3y = 5

3 Sistema Possível e Indeterminado (SPI) Um sistema linear é possível e indeterminado quando possui infinitas soluções. Exemplo: As infinitas soluções da equação, são também soluções da equação, já que a 2ª equação é igual à primeira multiplicada por 3. (Você lembra que o conjunto solução de uma equação não muda quando multiplicamos ou dividimos a equação por qualquer número real diferente de zero?) Logo, o sistema linear possui infinitas soluções. Solução geral: Algumas soluções:,, Graficamente, a solução do sistema linear é composta por todos os pontos de interseção entre as retas correspondentes às equações do sistema. Como as duas equações representam a mesma reta, elas têm infinitos pontos em comum (todos os pontos da reta). 2x + 3y = 5 ou 6x + 9y = 15

4 Sistema Impossível (SI) Um sistema linear é impossível quando não possui solução. Exemplo: Não existe nenhuma solução em comum entre as infinitas soluções da equação e as infinitas soluções da equação. Logo, o sistema linear não possui solução. Solução: Graficamente, as retas correspondentes às equações do sistema linear são paralelas, por isso não há pontos em comum entre elas. x + y = 5 2x + 2y = 9

5 Exercícios: Dados os sistemas lineares a seguir: a) c) ½ 2x + 4 = y 7 + y = 4x ½ 3x y = 4 e) 9x 3y = 12 ½ x + y = 15 b) 2x + 3y = 21 ½ x = 4y d) x + 4y = 2 f) ½ x + 2y = 1 2x + 4y = 4 a) Resolva-os algebricamente. b) Resolva-os graficamente (se possível utilizando o software Winplot). c) Compare as soluções encontradas pelos dois métodos. Professor, após a realização desses exercícios, você pode levar seus alunos ao laboratório de informática e deixar que eles criem sistemas 2 2 livremente. Com o auxílio do software winplot, eles podem representar graficamente as equações dos sistemas criados e observar se são determinados, indeterminados ou impossíveis. Deixe que percebam como devem ser os coeficientes das equações para que essas três situações ocorram. A saber: Para que um sistema 2 2 seja determinado não deve haver uma proporcionalidade entre os coeficientes das equações. Exemplo: 2 1 6= 3 4 Para que um sistema 2 2 seja indeterminado deve haver uma proporcionalidade entre os coeficientes e termos independentes das equações. Exemplo: 2 6 = 3 9 = 5 15 Para que um sistema 2 2 seja impossível deve haver uma proporcionalidade entre os coeficientes, mas não entre os termos independentes das equações. Exemplo: 1 2 = 1 2 6= 5 9

6 Essas observações podem levar a um padrão que se repete e permite determinar a existência de uma solução única para um sistema. Tal padrão é definido como determinante de uma matriz 2 2. Observe: a x + b y = c a x + b y = c Considere o sistema de incógnitas x e y: Multiplicando a 1ª linha por b 2 e a 2ª por b1 e eliminando a incógnita y, temos: (a 1 b 2 a 2 b 1 )x = c 1 b 2 c 2 b 1. e uma expressão explícita para x = c 1b 2 c 2 b 1 a 1 b 2 a 2 b 1. Analogamente a expressão explicita para y = c 1a 2 c 2 a 1 a 1 b 2 a 2 b 1. Todo sistema 2 2 será possível e determinado se, e somente se, a 1 b 2 a 2 b 1 6= 0. A expressão a 1 b 2 a 2 b 1 só tem um valor diferente de zero quando não há proporcionalidade entre os coeficientes das equações do sistema. Definimos, então, o valor da expressão (a 1 b 2 a 2 b 1 ) como sendo o determinante da matriz A dos coeficientes do sistema: A a b e A A a b a b a b = det = = = a2 b2 a2 b2

7 Resolução dos Exercícios a) S = f(1; 3)g (1; 3) 2x + 3y = 11 x + y = 4

8 b) S = f(24; 9)g x + y = 15 2x + 3y = 21 (24; 9)

9 c) S = ½µ ¾ 1 2 ;5 2x + 4 = y µ 1 2 ; y = 4x

10 d) S = ½µ 1; 1 ¾ 4 x = 4y µ 1; 1 4 x + 4y = 2

11 e) S = f(x; 3x 4) jx 2 Rg Sistema Indeterminado 3x y = 4 9x 3y = 12

12 f) S = f g Sistema Impossível

13 O que o aluno poderá aprender com esta aula 1) Interpretar algebricamente e graficamente um sistema linear com duas incógnitas. 2) Um conceito matemático pode ter mais de uma representação. 3) Utilizar o software Winplot para representar gráficos. 4) Utilizar o software Winplot para fazer conjecturas a respeito da relação existente entre os coeficientes das equações de um sistema linear. 5) Relação entre o determinante da matriz dos coeficientes de um sistema linear e a existência ou não de uma única solução para esse sistema. Duração das atividades 06 aulas de 50 minutos Conhecimentos prévios trabalhados pelo professor com o aluno Gráficos de equações lineares. Estratégias e recursos da aula Se for possível, trabalhar a interpretação gráfica dos sistemas com o auxílio de um software. O software usado para construir os gráficos desta aula foi o Winplot. Recursos complementares(opcional) Avaliação A avaliação dever ser feita durante as aulas, observando as atividades realizadas em sala de aula e/ou laboratório de informática. Pode ser feita uma avaliação escrita solicitando que os alunos escrevam o que entenderam sobre a relação entre as interpretações algébrica e gráfica de um sistema linear, dando exemplos.