quociente razão. mesma área a partes de um tablete de chocolate

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Otávio Castilhos Martini
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1 1 As sequências de atividades Vamos relembrar, Como lemos os números racionais?, Como escrevemos os números racionais?, As partes das tiras de papel, Comparando e ordenando números racionais na forma decimal e Comparando e ordenando números racionais na forma fracionária foram organizadas na publicação Recuperação Matemática Módulo II Números Racionais, Operações e Resolução de Problemas para que os alunos possam atingir as Expectativas de Aprendizagem abaixo: a. ler, escrever, representar e comparar números racionais na forma decimal; b. resolver situações-problema que envolvam números racionais com significado de parte/todo, quociente e razão; c. ler, escrever, representar e comparar números racionais na forma fracionária; d. reconhecer que os números racionais podem ser expressos na forma fracionária e decimal, estabelecendo relações entre essa representações. A intenção é partir do conhecimento prévio dos alunos sobre os números racionais para ajudá-los a: compreender por que o conjunto dos números naturais não é suficiente para a resolução e para a representação de todos os problemas envolvendo divisão equitativa ou medidas; comparar e ordenar números racionais na forma fracionária e na forma decimal; saber quais são os diferentes significados atribuídos aos números racionais; compreender por que, nem todo conceito e procedimento matemático válido para os números naturais, são válidos para os números racionais. Comentários sobre algumas atividades do Módulo / Recuperação Matemática: I) Atividade 5, página 10. Esta atividade envolve diferentes significados associados aos números racionais: relação parte/todo, quociente e razão. Após os alunos resolverem as situações do modo que julgarem mais adequado (desenho, esquema...) e socializarem as resoluções, você pode aproveitá-las para associar todas as situações à escrita 2/5 e, coletivamente, sintetizar quais são as semelhanças e as diferenças entre as quatro situações: todas as situações podem ser representadas por meio do número racional 2/5; as situações a e b indicam uma relação entre uma quantidade de partes (2) e o total de partes de um todo (5);

Matemática Módulo II Números Racionais, Operações e Resolução de Problemas para que os alunos possam atingir as Expectativas de Aprendizagem abaixo: a.

2 2 a situação c representa o quociente entre dois números inteiros (2 e 5); a situação d indica uma comparação entre duas quantidades (2 e 5), em que a escrita 2/5 representa uma razão. Durante a realização da síntese é fundamental os alunos: a) perceberem e registrarem em seus cadernos que, em situações envolvendo a relação parte/todo de uma figura geométrica plana, as partes precisam ter a mesma área (resolução I) e, não necessariamente, a mesma forma e o mesmo tamanho (resolução de Pedro) e que, nem sempre, as partes consideradas precisam estar uma ao lado da outra (resolução II). Se não surgirem resoluções para a situação a com as características acima, parta das resoluções dos alunos para mostrá-las, conforme ilustração a seguir: b) se conscientizarem de que as representações dos inteiros na situação a podem variar: figuras planas ou não-planas (quadrados, retângulos, paralelepípedos...), porém, em todas elas, existe uma relação entre partes de um todo e este todo: o número 2 indica quantas partes de um tablete de chocolate foram usadas para fazer um doce; o número 5 indica em quantas partes iguais foi dividido um tablete de chocolate; nesta situação os números 2 e 5 representam partes de um tablete de chocolate, isto é, são da mesma natureza; c) notarem que a situação b também envolve a relação parte/todo, mas existem diferenças entre ela e a situação a. Na primeira situação, se o todo for representado por uma figura geométrica plana (quadrado, retângulo, hexágono, círculo...) sempre será possível dividi-lo em 5 partes iguais. Na segunda situação, para representar dois quintos dos alunos de uma turma que faltaram em determinado dia, é preciso que o total de alunos seja um número múltiplo de 5. Se isso não acontecer, é impossível solucionar a situação b:

precisam ter a mesma área (resolução I) e, não necessariamente, a mesma forma e o mesmo tamanho (resolução de Pedro) e que, nem sempre, as partes consideradas precisam estar uma ao lado da outra

3 3 Você pode aproveitar as resoluções dos alunos da situação b para ajudá-los a compreender melhor a relação parte/todo aplicada em grandezas discretas*: não importa a quantidade de elementos em cada grupo. É fundamental que o total de alunos seja dividido igualmente em cinco partes iguais: 2 em cada grupo em um total de 10 alunos ou 4 em cada grupo em um total de 20 alunos; também não importa o modo como os alunos estão dispostos em cada grupo, pois deve-se levar em consideração a quantidade de elementos em cada grupo e não a disposição espacial dos elementos no grupo; independente do múltiplo do número 5 que indica o total de alunos da turma, o número 2 representa quantos grupos de alunos faltaram devido à chuva e o número 5 representa em quantos grupos com a mesma quantidade de alunos a classe foi dividida. Do mesmo modo como ocorreu na situação a, os números 2 e 5 representam algo que possui a mesma natureza: 2 e 5 representam grupos de uma turma de alunos. d) notarem que na situação c foi realizada uma divisão em partes iguais de duas folhas entre cinco grupos de alunos. Caso os alunos tenham dificuldade em compreender, que nesta situação, o significado associado ao número racional 2/5 não é o mesmo das situações anteriores, você pode alterar a quantidade de folhas para 15, 10 ou 5. Após discutir as resoluções das três situações acima, ajude os alunos a entender que, na situação d, o número 2/5 representa o resultado, ou o quociente, da divisão 2 5:

É fundamental que o total de alunos seja dividido igualmente em cinco partes iguais: 2 em cada grupo em um total de 10 alunos ou 4 em cada grupo em um total de 20 alunos; também não importa o modo

4 4 Nessa situação o número 2 indica o dividendo da divisão 2 5 e também, a quantidade de folhas distribuídas pela professora. Por sua vez, o número 5 indica o divisor da divisão 2 5 e também, a quantidade de grupos de alunos. Na situação d não importa se cada grupo é formado pelo mesmo número de alunos, o que é importa é que cada grupo receba a mesma parte de folha. Diferente do modo como ocorreu nas situações a e b, na situação c, os números 2 e 5 representam grandezas de naturezas diferentes: o número 2 representa folhas e o número 5, grupos de alunos. e) perceberem que a situação d envolve a comparação entre duas quantidades: total de pares de meias brancas e o total de pares de meias em uma gaveta: Para saber mais sobre os diferentes significados associados aos números racionais, ler o texto Obstáculos e diferentes significados: alertas importantes no ensino e na aprendizagem de números racionais e inteiros negativos publicado nas páginas 103 e 104 do documento Orientações Curriculares e Proposição de Expectativas de Aprendizagem para o Ensino Fundamental ciclo II: Matemática. *uma grandeza é contínua quando é formada por um número infinito de elementos (pontos) e que admite, teoricamente, divisibilidade infinita (pedaço de corda, segmento de reta, um sólido geométrico, um polígono...); * uma grandeza é discreta quando é formada por um número finito de elementos (conjunto contável) que não podem ser quebrados (conjunto de pessoas).

Na situação d não importa se cada grupo é formado pelo mesmo número de alunos, o que é importa é que cada grupo receba a mesma parte de folha.

5 5 II) Atividade 6, página 11. A intenção é que, por meio da realização desta atividade, os alunos percebam que nem todo conhecimento válido no conjunto dos números naturais é válido para o conjunto dos números racionais. Se tiver alunos que estejam de acordo com a afirmação a, peça-os para justificarem a sua decisão. Depois, peça a eles para observarem o quadro da atividade 2 da página 16. Ajude-os a perceber que, em um mesmo inteiro, quanto maior o número de partes iguais nas quais ele é dividido, menor é a fração que representa cada parte. De acordo com o quadro ½ > 1/10. Se tiver alunos que estejam de acordo com afirmação b, oriente-os a representar os números racionais na forma decimal em um quadro semelhante ao da atividade 1 da página 8 do Módulo II. III) Atividade 7, página 11. Essa atividade possibilita aos alunos retomar e/ou aprofundar o conceito prévio que eles possuem sobre número racional com o significado de relação parte/todo, o mais explorado em livros didáticos. Auxilie-os a compreender que no item a é dado o inteiro e pede-se, a representação de ¼ desse inteiro, e que no item b, ocorre o contrário. No momento de socialização das resoluções, faça um painel com as diferentes soluções apresentadas pelos alunos, pedindo a eles para validá-las, identificar quais precisam ser revistas e, se necessário, dar dicas para corrigi-las. Ao organizar as aprendizagens dos alunos garanta algumas ideias importantes: no item a: o inteiro deve ser dividido em partes de mesma superfície e, não necessariamente, de mesma forma e mesmo tamanho: Se for preciso, apresente aos alunos resoluções semelhantes à indicada pela letra d, e peça-os para justificar por que também está correta. no item b: o inteiro deve ter superfície equivalente a quatro vezes a área do quadrado:

Se tiver alunos que estejam de acordo com a afirmação a, peça-os para justificarem a sua decisão. Depois, peça a eles para observarem o quadro da atividade 2 da página 16.

6 6 Se os alunos apresentarem soluções semelhantes às indicadas pelas letras a e b, apresente as demais e peça aos alunos para analisá-las. IV) Atividade 8, página 11. Essa atividade permite aos alunos refletirem sobre situações nas quais os números naturais não são suficientes para representar, numericamente, as respectivas soluções. Após a socialização das resoluções, produza junto com os alunos um texto que organiza e sistematiza as aprendizagens... Existem situações nas quais: não é possível subdividir ou quebrar os elementos de uma coleção de objetos (situação b); o resto obtido após a divisão de uma coleção de objetos em partes iguais, influencia e/ou altera a resposta (situação c); o resto pode ser subdividido até terminar todos os elementos de uma coleção de objetos (situações d, e); os números naturais não são suficientes para registrar as soluções de situações semelhantes à d e à e, motivos pelos quais foi criado e organizado o conjunto dos números racionais.

Após a socialização das resoluções, produza junto com os alunos um texto que organiza e sistematiza as aprendizagens.

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