Este material traz a teoria necessária à resolução das questões propostas.

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1 Inclui Teoria e Questões Inteiramente Resolvidas dos assuntos: Contagem: princípio aditivo e multiplicativo. Arranjo. Permutação. Combinação simples e com repetição. Lógica sentencial, de primeira ordem e de argumentação. Diagramas e estruturas lógicas Esta amostra é parte integrante do volume completo que consta de 80 questões apenas de Raciocínio Lógico e visa preparar para os principais concursos realizados no País. Este material traz a teoria necessária à resolução das questões propostas. Peça já o seu exemplar completo através do Prof. Marcelo Silva Todos os direitos reservados. Proibida a distribuição ou reprodução, ainda que parcial, dessa publicação sem autorização prévia.

2 O PRINCÍPIO ADITIVO Enunciamos abaixo o que chamamos de Princípio Aditivo: Se A e B são dois conjuntos disjuntos (conjuntos sem elementos em comum), com m e n elementos, respectivamente, então A e B possui m + n elementos. Para ilustrar o Princípio Aditivo, apresentamos alguns problemas abaixo. PROBLEMA 1 Numa caixa existem 20 bolas brancas e 15 bolas verdes. De quantas maneiras podemos selecionar 1 bola? Existem = 35 bolas. Logo, podemos selecionar 1 bola de 35 maneiras. PROBLEMA 2 Numa lanchonete há 6 sabores de doces e 4 sabores de salgados. Suponha que Sofia só pretenda comer um doce ou comer um salgado. Quantos são os possíveis pedidos que Sofia pode fazer? Ou Sofia escolhe um tipo de doce dentre os 6 ou 1 tipo de salgado dentre os 6. Portanto, Sofia pode fazer 10 pedidos diferentes. PROBLEMA 3 Dos 20 alunos de uma classe, 7 foram reprovados em Biologia, 8 em Química e 3 em Biologia e Química. O número de maneiras diferentes de escolher um aluno reprovado em Biologia ou em Química será igual a? Nesta situação, os eventos são: E 1 = {x ; x é reprovado em Biologia} e E 2 = {x ; x é reprovado em Química}. Atenção!!! Nesse caso, os eventos NÃO são mutuamente exclusivos (existe interseção entre eles), pois há alunos reprovados nas duas matérias. Aí, não simplesmente somamos as quantidades de elementos, somamos e subtraímos o número de elementos da interseção, conforme a fórmula: n E1 n E2 n E1 E 2 Solucionando o problema, temos:

3 n E n E n E E n E n E n E E O PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO Para ilustrar o Princípio Multiplicativo comecemos com o problema seguinte: PROBLEMA 4 Uma pessoa pode viajar no trecho Natal/Recife/Natal de ônibus, automóvel, avião, navio ou trem. Se o meio de transporte da ida não é o mesmo da volta, de quantas maneiras essa pessoa pode realizar a viagem? Se a pessoa for de ônibus, ela pode voltar de avião, navio ou trem, o que lhe fornece 3 maneiras distintas de fazer o percurso de ida e volta. Notando ônibus por O, avião por A, navio por N e trem por T, podemos indicar as 3 maneiras distintas de fazer o percurso por: (O, A), (O, N), (O, T) De maneira análoga, se a pessoa for de avião, há novamente 3 modos distintos de fazer o percurso de ida e volta: (A, O), (A, N), (A, T) Se a pessoa for de navio, há, também, 3 modos distintos de fazer o percurso de ida e volta: (N, O), (N, A), (N, T) Analogamente, se fizer o percurso de ida usando o trem: (T, O), (T, A), (T, N) Essas maneiras podem ser dispostas no seguinte quadro Observe que as possibilidades (O, O), (A, A), (N, N) e (T, T) não são possíveis, já que o

4 meio de transporte de ida não pode ser o mesmo meio de transporte de volta. O quadro acima mostra-nos, basta contar todas as possibilidades, que existem 4 x 3 = 12 maneiras distintas de viajar no trecho Natal/Recife/Natal, usando meios de transportes distintos para a ida e a volta. Podemos interpretar o problema da seguinte maneira: para a escolha do transporte de ida temos 4 opções distintas. Uma vez escolhido o transporte de ida, a escolha do transporte de volta pode ser feita de 3 maneiras distintas. Logo, o total de possibilidades é 4 x 3 = 12. O problema acima motiva um princípio básico da Análise Combinatória: o Princípio Multiplicativo, que enunciamos a seguir. PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO Se uma decisão d1 pode ser tomada de m maneiras e se, uma vez tomada a decisão d1, a decisão d2 puder ser tomada de n maneiras então o número de maneiras de se tomarem as decisões d1 e d2 sucessivamente é m.n PROBLEMA 5 Existem quantos números naturais com quatro algarismos ímpares distintos? Os algarismos ímpares são: 1, 3, 5, 7, 9. Um número com 4 algarismos é da forma: abcd. A escolha de um algarismo para ocupar a posição a pode ser feita de 5 maneiras. Uma vez escolhido o algarismo para a posição a, restam 4 possibilidades para a escolha do algarismo da posição b. Para a posição c, restam 3 possibilidades. Para a posição d restam 2. Pelo Princípio Multiplicativo, a quantidade de números de 4 algarismos ímpares distintos é: 5 x 4 x 3 x 2 = 120. PROBLEMA 6 (Prominp Cesgranrio Nov/2006) Seu Ernesto e filhos vendem planos de saúde por telefone. Esta semana, eles decidiram ligar somente para os telefones de sua cidade que começam por 259, e que não possuem algarismos repetidos. Se, na cidade de Seu Ernesto, os números telefônicos têm 8 dígitos, qual o número máximo de ligações que eles farão esta semana? Os números de telefones têm o seguinte formato:

5 2 5 9 _ - Dos dez algarismos disponíveis, Seu Ernesto não pode contar mais com três, pois não é permitido repetição: Assim para a quarta posição, temos 7 possibilidades de escolhas entre os algarismos restantes: _ - 7 alternativas (0, 1, 3, 4, 6, 7 ou 8) E assim, sucessivamente... 6 alternativas _ - 7 alternativas (0, 1, 3, 4, 6, 7 ou 8) Assim, pelo princípio multiplicativo, teremos 7x6x5x4x possibilidades. O número máximo de ligações será de Dica: Assim, fica claro que o grande detalhe em questões que envolvam um dos dois princípios acima (aditivo ou multiplicativo), é a correta escolha de qual deles usar. Portanto, tenha bastante calma na interpretação de cada questão.

6 PROBLEMA 7 Um alfabeto consiste de três letras: A, B, C. Nesta língua, uma palavra é uma seqüência arbitrária de não mais do que três letras. Quantas palavras existem nesta língua? Basta contar quantas palavras existem com uma, duas ou três letras e somar esses valores. Com uma letra existem 3 palavras: A, B e C. Com duas letras existem 3 x 3 = 9 palavras e com três letras existem 3 x 3 x 3 = 27 letras. Portanto, nesta língua existem = 39 palavras. PROBLEMA 08 Dispondo-se de 10 bolas, 7 apitos e 12 camisas, de quantas maneiras distintas estes objetos podem ser distribuídos entre duas pessoas, de modo que cada uma receba, ao menos, 3 bolas, 2 apitos e 4 camisas? Na distribuição das bolas, a primeira pessoa pode receber: 3 (esta é a quantidade mínima), 4, 5, 6 ou 7 (essa é a quantidade máxima possível para a primeira), pois a segunda pessoa tem de receber no mínimo 3 bolas. Isto é, existem 5 possibilidades de se fazer a distribuição das bolas. Na distribuição dos apitos, fazendo um raciocínio análogo (parecido), a primeira pessoa pode receber: 2, 3, 4 ou 5 deles (devem sobrar, no mínimo 2 apitos para a segunda pessoa, por isso que a primeira pessoa só poderá receber até 5 apitos). Isto é, existem 4 possibilidades. Para as camisas, a distribuição se dá com 5 possibilidades: a primeira pessoa pode receber 4, 5, 6, 7 ou 8 delas. Portanto, pelo princípio multiplicativo, o número pedido é igual a: 5 x 4 x 5 = 100. Muito mais exercícios são encontrados na Apostila Completa. Agora, um pouco de Diagramas Lógicos: O ou exclusivo (disjunção exclusiva) é verdadeiro apenas se a quantidade de operadores verdadeiros for ímpar, ou melhor, se APENAS uma proposição for verdadeira. Eis a tebelaverdade que ilustra essa propriedade: Ou exclusivo p q. pv q F F F F V V V F V V V F

7 PROBLEMA 39 (Fiscal do Trabalho 98 ESAF) Maria tem três carros: um Gol, um Corsa e um Fiesta. Um dos carros é branco, o outro é preto, e o outro é azul. Sabe-se que: 1) ou o Gol é branco, ou o Fiesta é branco, 2) ou o Gol é preto, ou o Corsa é azul, 3) ou o Fiesta é azul, ou o Corsa é azul, 4) ou o Corsa é preto, ou o Fiesta é preto. Portanto, as cores do Gol, do Corsa e do Fiesta são, respectivamente: a) branco, preto, azul b) preto, azul, branco c) azul, branco, preto d) preto, branco, azul e) branco, azul, preto O enunciado informa que: - Maria tem três carros: um Gol, um Corsa e um Fiesta. - Um dos carros é branco, o outro é preto, e o outro é azul. Também temos, no enunciado, as seguintes premissas: P 1 : ou o Gol é branco, ou o Fiesta é branco. P 2 : ou o Gol é preto, ou o Corsa é azul. P 3 : ou o Fiesta é azul, ou o Corsa é azul. P 4 : ou o Corsa é preto, ou o Fiesta é preto. Dica importante: Para resolvermos uma questão desse tipo, devemos: 1º) considerar que todas as premissas são verdadeiras; 2º) atribuir um valor lógico (V ou F) para uma das proposições simples; e 3º) finalmente, substituir este valor lógico (escolhido no passo anterior) nas premissas e verificar se está correto, ou seja, se não vai se observar alguma contradição entre os resultados obtidos. Vamos escolher a proposição Fiesta é branco que aparece na 1ª premissa, e atribuir o valor lógico V. Vamos executar os seguintes passos, mostrados abaixo, para testar esta hipótese criada por nós, ou seja, para sabermos se está certo que a premissa Fiesta é branco é V. Teste da hipótese: Fiesta é branco é V. 1º. F 1º. V P1. ou o Gol é branco, ou o Fiesta é branco. 4º. F 3º. V P2. ou o Gol é preto, ou o Corsa é azul.

8 1º. F 2º. V P3. ou o Fiesta é azul, ou o Corsa é azul. 3º. F 1º. F P4. ou o Corsa é preto, ou o Fiesta é preto. 1º passo) Da hipótese Fiesta é branco é V (em P1), e como cada carro possui cores diferentes, teremos: Gol é branco é F (em P1), Fiesta é azul é F (em P3) e Fiesta é preto é F (em P4). 2º passo) P3 deve ser verdadeira, daí Corsa é azul é V. 3ºpasso) Atribuir: Corsa é preto é F (em P4) e Corsa é azul é V (em P2). 4º passo) P2 é uma disjunção exclusiva, daí Gol é preto tem que ser F. Houve alguma contradição entre os resultados obtidos? Claro que sim, pois obtemos que o Gol não é preto, nem branco e nem azul! Daí, a hipótese Fiesta é branco é Falsa! Vamos estabelecer outra hipótese (com relação ao Fiesta): Fiesta é preto é Verdade! (que aparece na 4ª premissa). Teste da hipótese: Fiesta é preto é V. 2º. V 1º. F P1. ou o Gol é branco, ou o Fiesta é branco. 1º. F 3º. V P2. ou o Gol é preto, ou o Corsa é azul. 1º. F 3º. V P3. ou o Fiesta é azul, ou o Corsa é azul. Não esqueça que apenas uma proposição pode ser Verdadeira para a premissa analisada seja verdadeira, ok? 1º. F 1º. V P4. ou o Corsa é preto, ou o Fiesta é preto. 1º passo) A hipótese é Fiesta é preto é V (em P4), e como cada carro deve ter cor diferente, teremos: Corsa é preto é F (em P4), Fiesta é branco é F (em P1), Gol é preto é F (em P2) e Fiesta é azul é F (em P3). 2º passo) P1 deve ser verdadeira, daí Gol é branco é V. 3º passo) P2 e P3 devem ser verdadeiras, daí Corsa é azul é V. Houve alguma contradição entre os resultados obtidos? Agora não houve! Resultados obtidos: Fiesta é preto! Gol é branco! Corsa é azul! Portanto, a resposta é a alternativa E.

9 Prezados amigos, espero que tenham gostado do material até aqui. Lembramos que o volume completo deste trabalho consta de 80 questões interessantes, resolvidas com a mesma linha didática desta amostra e pode ser adquirido através do nosso , nas opções: R$ 5,00 (vendido separadamente) R$ 10,00 (juntamente com as demais apostilas de Matemática( vols. I, II, III e IV). À disposição de todos para esclarecimentos e pedidos: Forte abraço e Sucesso. Prof. Marcelo Silva