Prof. Paulo Henrique Raciocínio Lógico

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1 Prof. Paulo Henrique Raciocínio Lógico Comentário da prova de Agente Penitenciário Federal Funrio 01. Uma professora formou grupos de 2 e 3 alunos com o objetivo de conscientizar a população local sobre os cuidados que devem ser tomados para evitar a dengue. Sabendo que dois quintos dos alunos escolhidos para realizar essa campanha são do sexo masculino, e que cada grupo formado contém um e apenas um aluno do sexo masculino, a quantidade de grupos de dois alunos é igual: A) ao dobro da quantidade de grupos de três alunos. B) à metade da quantidade de grupos de três alunos. C) à quantidade de grupos de três alunos. D) ao triplo da quantidade de grupos de três alunos. E) à terça parte da quantidade de grupos de três alunos. De acordo com os dados da questão, temos: D = total de grupos com 2 pessoas T = total de grupos com 3 pessoas Alunos = 2/5, logo alunas = 3/5 Bem, para descobrirmos o total dos alunos, devemos fazer: Total = 2. D + 3. T Aogra, aqui vai o olhômetro : como cada grupo tem apenas um aluno do sexo masculino, então a quantidade de grupos é igual a quantidade de alunos do sexo masculino. Então: Alunos = D + T E como 2/5 do total de alunos é homem, então: Alunos = 2. (2D + 3T) / 5 Juntando as duas equações, temos que: 2. (2D + 3T) / 5 = D + T 1 Eu Vou Passar e você?

2 4D + 6T = 5D + 5T 6T 5T = 5D 4D T = D Resposta: letra C (confere com o gabarito) 02. Sejam A e B os conjuntos dos números naturais múltiplos de 2 e 3, respectivamente, e C o conjunto formado pela interseção de A e B. Com respeito às proposições I, II e III, apresentadas a seguir, é correto afirmar que: I- Se x pertence a A então x+1 pertence a B. II- Se x pertence a C então x+6 pertence a C. III- Se x pertence a A e x+1 pertence a B então x+4 pertence a C. A) Apenas a proposição II é verdadeira. B) Apenas a proposição III é verdadeira. C) Todas as proposições são verdadeiras. D) Apenas a proposição I é falsa. E) Todas as proposições são falsas. Antes de analisarmos cada item, vamos encontrar os conjuntos A, B e C: A = {2, 4, 6, 8, 10, 12,...} B = {3, 6, 9, 12, 15, 18,...} O conjunto C, como intersecção de A e B, nada mais é que os múltiplos de 6. Assim: C = {6, 12, 18, 24, 30...} Agora, analisando cada item, temos: I traduzindo este item, os elementos de B serão os sucessivos de A. Isso acontece para x=2, pois x + 1 = 3. Porém, nem com todos os valores, isso acontece. Imagine x = 4, que pertence a A, então x + 1 = 5 deveria pertencer a B. Mas, não pertence!!! Logo, a proposição é falsa; 2 Eu Vou Passar e você?

3 II Como no conjunto C fazem parte os números múltiplos de 6, então a diferença entre seus elementos deve ser 6. Logo, se x, por exemplo, for igual 30 (múltiplo de 6), então x + 6 = 36, também múltiplo de 6. Proposição verdadeira; III Nesse caso, quando os elementos de A e B forem consecutivos (exemplo: 2 e 3, 8 e 9, 14 e 15,...), obrigatoriamente teremos um elemento no conjunto C sendo x + 4 (no exemplo, teremos 6, 12, 18,...) Proposição verdadeira. Resposta correta: letra D (confere com o gabarito). 03. Em uma das faces de uma moeda viciada é forjado o número zero, e na outra o número um. Ao se lançar a moeda, a probabilidade de se obter como resultado o número zero é igual a 2/3. Realizando-se cinco lançamentos independentes, e somandose os resultados obtidos em cada um desses lançamentos, a probabilidade da soma ser igual a um número par é: A) 121/243 B) 124/243 C) 119/243 D) 122/243 E) 125/243 Traduzindo: A questão nos pede 5 lançamentos e que a soma dos resultados deve ser par. Para que tenhamos uma soma par, devemos ter: 1) 5 moedas zero 2) 3 moedas zero e 2 moedas um 2) 1 moeda zero e 4 moedas um 3 Eu Vou Passar e você?

4 Agora, precisamos responder 2 perguntas: de quantas maneiras poderemos encontrar cada resultado e qual é a probabilidade de cada um! Para a 1ª pergunta, usaremos Análise Combinatória, em especial, PERMUTAÇÃO! E com repetição! Vixe, PH, complicou! Que nada! Quando temos a quantidade de posições (5) igual a quantidade de moedas (5), isso é Permutação. Como as moedas se repetem (0 ou 1), dizemos que é com repetição. O que diferencia a permutação normal é que, no denominador, colocaremos a quantidade de repetições em fatorial. Olha como fica: 1) para este caso, só existe 1 possibilidade, ou seja, todas as moedas devem ter valor 0; 2) P = 5! = ! = 10 3!. 2! 3!. 2 3) P = 5! = 5. 4! = 5 4! 4! Agora, calculemos as probabilidades: 1) 1. 2/3. 2/3. 2/3. 2/3. 2/3 = 32 / 343 2) 10. 2/3. 2/3. 2/3. 1/3. 1/3 = / 343 = 80 / 343 2) 5. 2/3. 1/3. 1/3. 1/3. 1/3 = 5. 2 / 343 = 10 / 343 Somando tudo, teremos: Probabilidade = ( ) / 343 = 122 / 343 Resposta: letra D (confere com o gabarito). 27. Os números naturais da seqüência X1, X2, X3, X4,...,XN seguem uma ordem lógica crescente. Sabendo que a soma e o produto dos três primeiros termos dessa seqüência valem, respectivamente, 12 e 48, e que a soma e o produto dos segundo, terceiro e quarto termos valem 18 e 192, respectivamente, o centésimo termo dessa seqüência é igual a: A) 160. B) Eu Vou Passar e você?

5 C) 240. D) 220. E) 180. Traduzindo o que a questão nos dá, temos: - a soma dos três primeiros termos é igual a 12 X1 + X2 + X3 = 12 - o produto dos três primeiros termos é igual a 48 X1. X2. X3 = 48 - a soma dos segundo, terceiro e quarto termos é igual a 18 X2 + X3 + X4 = 18 - o produto dos segundo, terceiro e quarto termos é igual a 192 X2. X3. X4 = 192 Façamos as seguintes continhas, uma de subtração, outra de divisão: Juntando as duas, temos que: 4X1 X1 = 6 3X1 = 6 X1 = 2 Logo: X4 = 4X1 X4 = 4. 2 = 8 Utilizando a Regra Geral de uma P.A. [a n = a 1 + (n - 1). r], encontraremos: a 4 = a 1 + (4-1). r 8 = 2 + 3r 3r = 6 r = 2 E agora, faz que nem o Baby Sauro: De novo, de novo... Só que agora para encontrarmos o centésimo termo: a 100 = a 1 + (100-1). r 5 Eu Vou Passar e você?

6 a 100 = a 100 = a 100 = 200 Resposta: letra B (confere com o gabarito). 28. Antônio, José e Paulo são professores de uma universidade da cidade de São Paulo. Paulo é Paraibano, e os outros dois são mineiro e paulista, não necessariamente nessa ordem. Os três professores são formados em engenharia, física e matemática, mas não se sabe quem é graduado em qual curso. Sabendo que o físico nunca mudou de cidade, e que o mineiro não é José e nem é engenheiro, é correto afirmar que: A) José é paulista e graduado em engenharia. B) Paulo não é engenheiro. C) Antônio é paulista e graduado em física. D) José é mineiro e graduado em matemática. E) Antônio é mineiro e graduado em matemática. Filhotes, apareceu não necessariamente nessa ordem, é a deixa para fazermos a tabelinha abaixo, de acordo com as informações da questão: José Paulo Antônio Agora, analisemos o que diz a questão: Paulo é Paraibano José N Paulo S N N Antônio N o mineiro não é José e nem é engenheiro José N N 6 Eu Vou Passar e você?

7 Paulo S N N Antônio N Encontramos que José é Paulista e como o físico nunca mudou de cidade e todos eles são professores de uma universidade da cidade de São Paulo, José é físico: José N S N N N S Paulo N S N N Antônio N N S N o mineiro não é José e nem é engenheiro José N S N N N S Paulo N S N N Antônio N N N S N Agora, a gente completa o resto: Resumindo: José N S N N N S Paulo S N N S N N Antônio N N S N S N - José é paulista e professor de física; - Paulo é paraibano e professor de engenharia; - Antônio é mineiro e professor de matemática. Resposta correta: letra E (confere com o gabarito) 29. Um sistema de sinalização visual é composto por dez bandeiras, sendo quatro vermelhas, três pretas e três brancas, as quais são hasteadas numa determinada ordem para gerar as mensagens desejadas. Sabe-se que apenas um centésimo das mensagens que podem ser geradas por este sistema é utilizado na prática. Deseja-se desenvolver um novo sistema de sinalização visual, composto apenas de bandeiras de cores distintas e que seja capaz de gerar, pelo menos, a quantidade de mensagens empregadas na prática. O número mínimo de bandeiras que se deve adotar no novo sistema é: A) 5. B) 4. C) Eu Vou Passar e você?

8 D) 3. E) 7. O começo é bem parecido com a questão 03. Temos que ordenar 10 bandeiras em 10 posições. O que é isso? PERMUTAÇÃO! Tem bandeiras repetidas? Sim! COM REPETIÇÃO! De quantas maneiras podemos hastear essas bandeiras? P = 10! = ! = = 4200 maneiras 4!. 3!. 3! 4! A questão fala em apenas um centésimo das mensagens que podem ser geradas por este sistema é utilizado na prática, então: Total = 4200 / 100 = 42 Assim, precisamos saber quantas bandeiras de cores distintas deverão ser usadas para que tenhamos mais de 42 possibilidades. Assim: - 3 bandeiras = P (3) = 3! = = 6-4 bandeiras = P (4) = 4! = = 24-5 bandeiras = P (5) = 5! = = 120 Resposta correta: letra A (confere com o gabarito). 30. Um professor entregou uma lista de exercícios contendo dez questões para ser resolvida por cada um dos vinte alunos de sua turma. Seis alunos conseguiram resolver todas as questões da lista, dez alunos resolveram oito questões e os demais resolveram apenas duas questões. Escolhendo-se aleatoriamente um aluno e uma questão da lista, a probabilidade da questão escolhida não ter sido resolvida é igual a: A) 13/50 B) 17/50 C) 23/50 D) 27/50 E) 37/ Eu Vou Passar e você?

9 Resumindo: 6 alunos 10 questões 20 alunos 10 alunos 8 questões 4 alunos 2 questões Para escolher um aluno aleatório E uma questão não resolvida, faremos os eventos (aluno e questão) separadamente e depois multiplicaremos seus resultados. Só um detalhe: os seis alunos que resolveram todas as questões não irão entrar nesse cálculo. Por quê??? Ora, como eles marcaram todas as questões, a probabilidade deles não terem respondido uma questão é ZERO. Então: P (ser 1 aluno dos 10) = 10/20 P (ser 1 das 2 questões não resolvidas) = 2/10 10 alunos 8 questões P (ser 1 aluno dos 10 E ser 1 das 2 questões não resolvidas) = 10/20. 2/10 = 20/200 = 5/50 P (ser 1 aluno dos 4) = 4/20 P (ser 1 das 8 questões não resolvidas) = 8/10 4 alunos 2 questões P (ser 1 aluno dos 4 E ser 1 das 8 questões não resolvidas) = 4/20. 8/10 = 32/200 = 8/50 Total das probabilidades = 5/50 + 8/50 = 13/50 Resposta correta: letra A (confere com o gabarito). 9 Eu Vou Passar e você?