Análise e Resolução da prova de Auditor Fiscal da Fazenda Estadual do Piauí Disciplina: Matemática Financeira Professor: Custódio Nascimento

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1 Análise e Resolução da prova de Auditor Fiscal da Fazenda Estadual do Piauí Disciplina: Professor: Custódio Nascimento

2 1- Análise da prova Neste artigo, faremos a análise das questões de cobradas na prova de Auditor Fiscal da Fazenda Estadual do Piauí, por ser uma de nossas disciplinas no Exponencial Concursos. Primeiramente, seguem alguns comentários gerais sobre a prova. A prova de trouxe uma boa distribuição dos assuntos pedidos no edital. A maioria das questões era de esquematização simples, porém de cálculos complexos, como já é praxe na FCC. Com isso, houve muita reclamação nos fóruns sobre a escassez de tempo para fazer tais contas. Após resolvermos todas as questões, não visualizamos recurso para as questões da prova. Atentar que uma das questões já foi anulada pela própria banca, que atribuiu a pontuação a todos os candidatos. 2- Resolução das questões Vamos resolver cada questão, com comentários. A teoria foi abordada no nosso curso de para AFFE SEFAZ/PI, focado na banca FCC, lançado no site do Exponencial Concursos. Eis as questões da prova, com a devida resolução: 11. Um capital de R$ ,00 foi aplicado a juro simples da seguinte forma: 1/3 à taxa de 6% ao mês por um trimestre; 2/5 à taxa de 13% ao bimestre por 5 meses e o restante à taxa de x% ao bimestre por 1 semestre. O juro total arrecadado foi de R$ 3.616,20. Se um capital de R$ ,00 for aplicado a juros compostos, à taxa de x% ao bimestre, por um período de 4 meses, o montante dessa aplicação será (A) R$ ,33 (B) R$ ,00 (C) R$ ,95 2 de 13

3 (D) R$ ,00 Análise e Resolução da prova de AFFE SEFAZ/PI (E) R$ ,20 Chamaremos os capitais aplicados de C 1, C 2 e C 3, os juros de J 1, J 2 e J 3 e os prazos de n 1, n 2 e n 3. Eis os dados da questão: C 1 = = i 1 = 6% a. m. n 1 = 1 t. = 3 m. C 2 = = i 2 = 13% a. b. = 6,5% a. m. n 2 = 5 m. C 1 + C 2 + C 3 = C 3 = = 3920 i 3 = x% a. b. n 3 = 1 s. = 3 b. Inserindo os valores nas equações que representam os juros de cada operação: J 1 = C 1 i 1 n 1 = ,06 3 = 882 J 2 = C 2 i 2 n 2 = ,065 5 = 1911 J 3 = C 3 i 3 n 3 = 3920 x 3 O juro total arrecadado foi de R$ 3.616,20. Logo: J 1 + J 2 + J 3 = 3616, x 3 = 3616, x 3 = 3616, = 823,2 x = 0,07 = 7% a. b. Note que a questão traz a informação de que o capital de R$ ,00 foi aplicado a juros compostos, à taxa de x% ao bimestre, por um período de 4 meses (2 bimestres). Inserindo os valores na fórmula do montante a juros compostos, temos: M = C (1 + i) n M = (1 + 0,07) 2 = ,1449 = 20608,20 A alternativa E é a resposta correta. 12. Um capital C foi aplicado a juros compostos, à taxa de 5% ao mês. Ao completar 1 bimestre, seu montante foi resgatado e imediatamente aplicado a juro simples, à taxa de 6% ao mês. Ao fim de 1 semestre da segunda aplicação, o montante M era de R$ ,00. Suponha que, desde o início, o capital C tivesse sido aplicado a juro simples, à taxa mensal i, de modo que o montante final fosse igual a M. Dos números abaixo, o mais próximo de i é (A) 6,5% (B) 6,1% 3 de 13

4 (C) 6,2% Análise e Resolução da prova de AFFE SEFAZ/PI (D) 6,3% (E) 6,4% Com a primeira aplicação a juros compostos, teremos o seguinte montante: M 1 = C (1 + 0,05) 2 = C 1,1025 Conforme o enunciado, tal montante foi aplicado a juros simples (6% ao mês), por 6 meses, o que gerou o montante M. Logo, temos: M = M 1 (1 + 0,06 6) = C 1,1025 1,36 Note que a alternativa de investimento era deixar o capital inicial, a juros simples, à taxa mensal i, pelo mesmo período (2 meses + 6 meses), e que isso também daria M. Logo, temos: M = C (1 + i 8) Igualando as duas equações anteriores, temos: C (1 + i 8) = C 1,1025 1, i = 1,1025 1,36 = 1, i = 0,4994 i 0,0624 i 6,2% A alternativa C é a resposta correta. 13. Um investidor aplicou um capital de R$ ,00 e resgatou o total de R$ ,00 ao fim de 1 semestre. Se, nesse período, a taxa real de juros foi de 32%, então, dos valores seguintes, o que mais se aproxima da taxa de inflação do período é (A) 2,5% (B) 4,5% (C) 4% (D) 3,5% (E) 3% 4 de 13

5 Como a questão trata de juros com influência da inflação, utilizamos a seguinte fórmula: Os dados da questão são: (1 + i apar ) = (1 + i real ) (1 + i inf ) i real = 32% = 0,32 M = C (1 + i apar ) = (1 + i apar ) Aplicando a fórmula, temos: (1 + i apar ) = 1,36 i apar = 0,36 (1 + i apar ) = (1 + i real ) (1 + i inf ) 1,36 = (1 + 0,32) (1 + i inf ) 1 + i inf = 1,36 1,32 = 1,0303 i inf = 3,03% A alternativa E é a resposta correta. 14. Três meses antes de seus vencimentos, dois títulos foram descontados em um banco, com taxa de desconto de 48% ao ano. Sabe-se que o valor nominal do primeiro título era o dobro do valor nominal do segundo. Para o primeiro, utilizou-se a operação de desconto comercial simples e, para o segundo, a de desconto racional simples. Se a soma dos descontos foi igual a R$ 1.215,00, então, o módulo da diferença entre os dois valores líquidos recebidos foi (A) R$ 9.285,00 (B) R$ 3.035,00 (C) R$ 3.500,00 (D) R$ 3.830,00 (E) R$ 3.965,00 Como dissemos em nosso curso de curso de para AFFE SEFAZ/PI, esta é uma questão clássica da FCC. Como é de nosso costume, começamos listando os dados do enunciado: n = 3 m. i = 48% a. a. = 4% a. m. i n = 0,04 3 = 0,12 D 1 + D 2 = 1215 N 1 = 2 N 2 5 de 13

6 A questão nos informa que o primeiro título sofreu desconto comercial simples, logo empregamos D C = N i n, e temos: D 1 = N 1 0,12 Já o segundo título sofreu desconto racional simples, então empregamos D R = A R i n, e ficamos com: D 2 = A 2 i n = A 2 0,12 Mas N 2 = A 2 (1 + i n) e N 1 = 2 N 2 logo podemos substituir os valores: Logo, temos: D 2 = N N 1 2 (1 + i n) 0,12 = 2 0,12 = N 1 0,06 1,12 1,12 D 1 + D 2 = 1215 N 1 0,12 + N 1 0,06 1,12 Aplicando o MMC, temos: N 1 0,12 1,12 + N 1 0,06 1,12 = 1215 = 1215 N 1 (0, ,06) = 1360,8 N 1 = 1360,8 0,1944 = 7000 Calculando os demais valores, temos: A 1 = N 1 (1 i n) = , N 2 = N 1 2 = 3500 N 2 = A 2 1,12 A 2 = 3125 Logo, a diferença entre os valores líquidos (atuais) é: A 1 A 2 = = 3035 A alternativa B é a resposta correta. 15. Uma pessoa deve a um credor três parcelas mensais consecutivas de mesmo valor nominal R$ 1.000,00 cada, a primeira a vencer daqui a 30 dias. Deseja hoje substituí-las por dois pagamentos iguais entre si, um com vencimento para daqui a 2 meses e outro para daqui a 4 meses. Utilizando o critério do desconto racional composto, com taxa de 5% ao mês, o valor X de cada uma dessas duas prestações, em reais, é tal que (A) < X < (B) < X < de 13

7 (C) < X < Análise e Resolução da prova de AFFE SEFAZ/PI (D) < X < (E) < X < Vamos começar montando os diagramas de cada sequência de pagamentos, para facilitar a visualização. A opção original é dada a seguir: A A opção alternativa é mostrada a seguir: A X X Como há equivalência entre ambas, os valores atuais (ou valores presentes) são iguais, logo é válida a seguinte equação: , , ,05 3 = X 1, X 1, ( 1 1, , ,05 3) = X ( 1 1, ,05 4) Multiplicando todas as parcelas por 1,05 4, temos: 1000 (1, , ,05) = X (1, ) 1000 (1, , ,05) = X (1, ) ,3101 = X 2,1025 X 1574 A alternativa A é a resposta correta. 16. Em uma loja, um computador está sendo vendido de duas formas: 7 de 13

8 à vista, por um preço P igual a R$ 4.500,00 ou Análise e Resolução da prova de AFFE SEFAZ/PI a prazo, sem juros, com pagamento em 3 parcelas de R$ ,00 cada, sendo a primeira dada como entrada e as outras vencendo daí a 30 e 60 dias da data da compra. O proprietário da loja consegue aplicar seu dinheiro a juros compostos, à taxa de 5% ao mês. Ele deseja oferecer um desconto no preço à vista desse computador, mas não quer ter prejuízos. Dessa forma, o valor mais próximo da taxa de desconto máximo que ele pode oferecer sobre o preço P é de (A) 9,23% (B) 4,68% (C) 4,70% (D) 4,96% (E) 5,25% Observação: Conforme gabarito preliminar, a questão foi anulada pela banca. Em consequência, foi atribuída a todos os candidatos. 17. Uma pessoa contraiu uma dívida a ser paga pelo Sistema de Amortização Constante SAC em 40 prestações mensais e consecutivas. Se a primeira prestação, que vence ao completar um mês da data do empréstimo, é de R$ 3.000,00 e a décima é igual a R$ 2.550,00, então a última prestação é de (A) R$ 1.200,00 (B) R$ 1.000,00 (C) R$ 1.050,00 (D) R$ 1.100,00 (E) R$ 1.150,00 Eis uma questão diferente do que a banca usualmente cobra, pois não foi informado o valor da dívida. Logo, temos que empregar um pouco de raciocínio matemático para podermos resolvê-la. Estudando o modelo SAC, vimos que cada prestação é a soma de uma parcela de amortização com outra de juro: 8 de 13

9 P = A + J Lembramos que a amortização é constante, e que o juro pago é proporcional ao valor devido (saldo devedor), as prestações são dadas por: { A + J 1 = 3000 A + J 10 = 2550 Do sistema de equações, tiramos que: J 1 J 10 = = 450 Mas o valor de cada parcela de juro é dado por: J k = i SD k 1 Além disso, o saldo devedor é calculado com a fórmula: Assim, temos: SD k = (n k) A J k = i (n (k 1)) A Calculando os valores de J 1 e J 10, temos: J 1 = i (40 (1 1)) A = i 40 A J 10 = i (40 (10 1)) A = i 31 A J 1 J 10 = i 40 A i 31 A = 9 i A Inserindo o valor da diferença dos juros que já obtivemos anteriormente, temos: 9 i A = 450 i A = 50 Voltando ao valor da primeira prestação, temos: P 1 = A + J = A + 40 i A 3000 = A A = 1000 A última prestação será dada por: P 40 = A + J 40 = A + i A = = 1050 A alternativa C é a resposta correta. 9 de 13

10 18. Considere a tabela abaixo, com taxa de 4% ao período. Use somente duas casas decimais em seus cálculos. Nessa tabela, tem-se que o fator de acumulação de capital para pagamento único é dado por, o fator de valor atual de uma série de pagamentos é dado por e o fator de acumulação de capital de uma série de pagamentos é dado por Um empresário tomou em um banco um empréstimo no valor de R$ ,00, a ser pago em 36 meses. Será utilizado o Sistema Francês de Amortização, à taxa de 4% ao mês, com parcelas mensais e consecutivas, a primeira vencendo um mês após a data do contrato. Sobre a terceira prestação desse empréstimo, é verdade que (A) ao ser paga, ela deixa um saldo devedor de R$ ,00. (B) seu valor é de R$ 5.200,00. (C) sua cota de amortização é R$ 1.266,22. (D) sua parcela de juros é R$ 3.682,61. (E) ela difere de R$ 100,00 da segunda prestação. Como vimos em nosso curso, a prestação de um fluxo de caixa uniforme postecipado é calculada pela fórmula: C = P [ (1 + i)n 1 (1 + i) n i ] A tabela apresentada na questão mostra que, para 36 parcelas, o valor do fator de valor atual (ou fator de valor presente) é 18,91. Assim, temos o valor de cada parcela: C = P 18,91 P = ,91 = de 13

11 Sabemos que, no sistema Francês, as prestações são fixas, ou seja, todas elas serão de R$ 5.000,00. Precisamos, então, montar a tabela até a 3ª prestação: k SD k-1 J k P k A k SD k Os juros são sempre calculados em função do saldo devedor: J k = i SD k 1 Assim, podemos calcular os juros do primeiro mês: J 1 = 0, = 3782 A prestação sempre será a soma da amortização e dos juros, ou seja, será dada pela fórmula já estudada: P = A + J Logo, a amortização será calculada por: A k = P J k Assim, podemos calcular o valor da amortização do primeiro mês: A 1 = P J 1 = = 1218 Por fim, o saldo devedor do mês atual será o saldo do mês anterior, menos a amortização do mês atual: SD k = SD k 1 A k SD 1 = = Podemos, então preencher a primeira linha da tabela: k SD k-1 J k P k A k SD k Repetindo esse mesmo raciocínio para a 2ª e 3ª prestações, chegamos à seguinte tabela: k SD k-1 J k P k A k SD k 11 de 13

12 , , , , , , ,89 A alternativa D é a resposta correta. 19. Na tabela abaixo, têm-se os fluxos de caixa de dois projetos, A e B. Sabe-se que a taxa mínima de atratividade é de 20% e os valores presentes líquidos dos dois projetos são iguais. Nessas condições, o valor de E é, em reais, (A) 5.832,17 (B) 4.485,60 (C) 4.533,00 (D) 4.965,00 (E) 5.170,00 Vamos começar calculando o VPL do projeto A: VPL A = , = = 465 1,22 Agora, basta calcularmos o VPL do projeto B, lembrando que ambos são iguais: VPL B = ,2 + E 1,2 2 = 465 A alternativa B é a resposta correta. E E = 465 = 3115 E = 4485,6 1,22 1,44 12 de 13

13 20. No fluxo de caixa abaixo, a taxa interna positiva de retorno é de 20% ao ano. O valor de K é (A) R$ 5.000,00 (B) R$ 117,84 (C) R$ 260,00 (D) R$ 714,00 (E) R$ 3.896,00 A taxa interna de retorno (TIR) é a taxa de juros que torna nulo o valor presente líquido (VPL) de um determinado fluxo de caixa. a.a.: Logo, basta calcularmos o VPL desse investimento, a uma taxa de 20% VPL = (5K ) + 3K 4K ,2 1,2 2 = 0 Multiplicando tudo por 1,2 2 =1,44, temos: (5K ) 1,44 + 3K 1,2 + 4K 128 = 0 7,2K ,6K + 4K 128 = 0 0,4K = 2000 K = 5000 A alternativa A é a resposta correta. 13 de 13