Análise e Resolução da prova de Analista do Tesouro Estadual SEFAZ/PI Disciplinas: Matemática Financeira e Raciocínio Lógico Professor: Custódio

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1 Análise e Resolução da prova de Analista do Tesouro Estadual SEFAZ/PI Disciplinas: Matemática Financeira e Raciocínio Lógico Professor: Custódio Nascimento

2 Análise e Resolução da prova de ATE SEFAZ/PI 1- Análise da prova Neste artigo, faremos a análise das questões de Matemática Financeira e Raciocínio Lógico cobradas na prova de Analista do Tesouro Estadual da SEFAZ/Piauí, por serem as nossas disciplinas no Exponencial Concursos. Primeiramente, seguem alguns comentários gerais sobre a prova. A prova de Matemática Financeira trouxe uma boa distribuição dos assuntos pedidos no edital. A maioria das questões era de esquematização simples, porém de cálculos complexos, como já é praxe na FCC. Os nossos alunos devem ter tido um desempenho muito bom na prova, pois todos os assuntos cobrados na prova foram trabalhados em nossos cursos. As questões de Raciocínio Lógico estavam bem simples e tranquilas, além de rápidas para resolver. Após resolvermos todas as questões, não visualizamos recurso para as questões da prova. 2- Resolução das questões Matemática Financeira Vamos resolver cada questão, com comentários. A teoria foi abordada no nosso curso de Matemática Financeira para ATE SEFAZ/PI, focado na banca FCC, lançado no site do Exponencial Concursos. Eis as questões da prova, com a devida resolução: 21. Se Ricardo aplicar 75% de seu capital, durante 6 meses, poderá resgatar no final de 6 meses o montante correspondente a R$ ,00. Se ele aplicar o restante do capital, durante 8 meses, poderá resgatar no final de 8 meses o montante correspondente a R$ 5.512,00. Ricardo, então, decide aplicar todo o capital, durante 10 meses, resgatando todo o montante no final de 10 meses. Considerando que as aplicações são realizadas sob o regime de capitalização simples e com a mesma taxa de juros, o montante que ele resgatará no final de 10 meses será de (A) R$ ,00 (B) R$ ,50 2 de 16

3 (C) R$ ,75 Análise e Resolução da prova de ATE SEFAZ/PI (D) R$ ,00 (E) R$ ,00 Chamaremos o capita aplicado de C, os montantes de M 1, M 2 e M 3 e os prazos de n 1, n 2 e n 3. Eis os dados da questão: C 1 = 0,75 C M 1 = n 1 = 6 m. C 2 = 0,25 C M 2 = 5512 n 2 = 8 m. C 3 = C n 3 = 10 m. Inserindo os valores nas equações que representam os montantes de cada operação: M 1 = C 1 (1 + i n 1 ) = 0,75 C (1 + i 6) C = M 2 = C 2 (1 + i n 2 ) 5512 = 0,25 C (1 + i 8) C = Igualando os valores de C, temos: ,75 (1 + 6i) = ,25 (1 + 8i) (1 + 6i) = 5512 (1 + 8i) ,75 (1 + 6i) ,25 (1 + 8i) Note que é múltiplo de 3, então podemos realizar a simplificação: 5434 (1 + 8i) = 5512 (1 + 6i) i = i 10400i = 78 i = 0,0075 Substituindo em qualquer uma das equações de C, temos: C = ,75 (1 + 6i) = ,75 ( ,0075) = ,75 1,045 = Agora que já sabemos o valor do capital e da taxa de juros, basta aplicarmos na fórmula do montante para sabermos o que pede a questão: M 3 = C (1 + i n 3 ) = (1 + 0, ) = A alternativa D é a resposta correta. (gabarito preliminar OK) 3 de 16

4 Análise e Resolução da prova de ATE SEFAZ/PI 22. Sabe-se que o valor dos juros correspondente a uma dívida que vence daqui a 3 anos é igual a R$ 3.972,00, considerando uma taxa de juros compostos de 10% ao ano. Esta mesma dívida, considerando uma taxa de juros compostos de 5% ao semestre e com vencimento daqui a 1 ano, apresentaria um valor de juros (J), em reais, tal que (A) J (B) < J (C) < J (D) < J (E) J > Vimos em nossas aulas que os juros de uma aplicação a juros compostos podem ser calculados por: J = C [(1 + i) n 1] Inserindo na equação os dados da questão, temos: 3972 = C [(1 + 0,1) 3 1] 3972 = C (1,331 1) C = ,331 = Aplicando tal valor à segunda opção de juros, temos: J = [(1 + 0,05) 2 1] = (1,1025 1) = 1230 A alternativa C é a resposta correta. (gabarito preliminar OK) 23. Um investidor aplica, em uma mesma data, os seguintes capitais: I. R$ ,00, durante 15 meses, sob o regime de capitalização simples. II. R$ ,00, durante 1 semestre, sob o regime de capitalização composta, a uma taxa de juros de 3% ao trimestre. Se os valores dos juros das duas aplicações são iguais, então a taxa de juros anual da primeira aplicação é de (A) 8,4% (B) 9,0% 4 de 16

5 (C) 9,6% Análise e Resolução da prova de ATE SEFAZ/PI (D) 10,5% (E) 10,8% Vamos aos dados da questão: C 1 = n 1 = 15 m. C 2 = i 2 = 3% a. t. n 2 = 1 s. = 2 t. O juro da aplicação simples será: J 1 = C 1 i 1 n 1 = i 1 15 O juro da aplicação composta será: J 2 = C 2 [(1 + i 2 ) n 2 1] = (1,03 2 1) = ,0609 = 1218 Igualando ambos os valores, temos: i 1 15 = 1218 i 1 = 0,007 = 0,7% a. m. Note que, como calculamos o prazo dos juros simples em meses, a taxa de juros será mensal. No entanto, queremos a taxa anual, então temos que calcular a taxa proporcional: i a = 12 i m = 12 0,7 = 8,4% a. a. A alternativa A é a resposta correta. (gabarito preliminar OK) 24. Suponha que a taxa de inflação apresentada em um determinado período foi de 5%. Se uma pessoa investiu R$ ,00 no início deste período e resgatou no respectivo final todo o correspondente montante no valor de R$ ,50, significa que a taxa real de juros obtida por esta pessoa no período foi de (A) 2,00% (B) 2,20% (C) 2,31% (D) 2,57% (E) 2,75% 5 de 16

6 Análise e Resolução da prova de ATE SEFAZ/PI Eis uma questão clássica da FCC, que foi resolvida em nosso curso de Matemática Financeira para ATE SEFAZ/PI. Como a questão trata de juros com influência da inflação, utilizamos a seguinte fórmula: Os dados da questão são: (1 + i apar ) = (1 + i real ) (1 + i inf ) i inf = 5% = 0,05 M = C (1 + i apar ) 26827,5 = (1 + i apar ) Aplicando a fórmula, temos: (1 + i apar ) = 1,0731 i apar = 0,0731 (1 + i apar ) = (1 + i real ) (1 + i inf ) 1,0731 = (1 + i real ) (1 + 0,05) 1 + i real = 1,0731 1,05 = 1,022 i real = 2,2% A alternativa B é a resposta correta. (gabarito preliminar OK) 25. Um capital de R$ ,00 é aplicado, durante 2 anos, à taxa de 5% ao semestre com capitalização contínua. Dos valores abaixo, o mais próximo do valor dos juros desta aplicação é (A) R$ 3.076,00 (B) R$ 3.155,00 (C) R$ 3.321,00 (D) R$ 3.487,00 (E) R$ 3.653,00 Dados: ln(1,051271) = 0,05; ln(1,105171) = 0,10; ln(1,161834) = 0,15 e ln(1,221403) = 0,20; em que ln é o logarítmo neperiano, tal que ln(e) = 1. Como vimos na nossa aula 03 de Matemática Financeira para ATE SEFAZ/PI, a fórmula geral de cálculo do montante de um capital que sofre capitalização contínua, é dada por: M = C e i n 6 de 16

7 Análise e Resolução da prova de ATE SEFAZ/PI Colocando o tempo e a taxa na mesma base temporal, temos 2 anos, a taxa de 10% ao ano, o que dá: i n = 2 0,10 = 0,20. Assim, temos: M = e 0,20 = e ln1, = , = 18321,04 Logo, o juro foi de: J = M C = 18321, = 3321,04 A alternativa C é a resposta correta. (gabarito preliminar OK) 26. A taxa de desconto utilizada em um banco para as operações de desconto de títulos é de 24% ao ano. Se um título é descontado neste banco 3 meses antes de seu vencimento, verifica-se que o valor do desconto comercial simples supera o valor do desconto racional simples em R$ 73,80. O valor atual do título, considerando o desconto comercial simples, é igual a (A) R$ ,20 (B) R$ ,20 (C) R$ ,20 (D) R$ ,20 (E) R$ ,20 Como dissemos em nosso curso de curso de Matemática Financeira para ATE SEFAZ/PI, esta é uma questão clássica da FCC. Como é de nosso costume, começamos listando os dados do enunciado: n = 3 m. i = 24% a. a. = 2% a. m. i n = 0,02 3 = 0,06 D C D R = 73,8 Calculando o desconto comercial simples, com a fórmula D C = N i n, temos: D C = N 0,06 Já o cálculo do desconto racional simples é com a fórmula D R = A R i n, e ficamos com: D R = A R i n = A R 0,06 Mas N = A R (1 + i n) logo podemos substituir os valores: D R = N N 0,06 0,06 = (1 + 0,06) 1,06 7 de 16

8 Logo, temos: D C D R = 73,8 N 0,06 N 1,06 0,06 N 0,06 = 73,8 1,06 N = Análise e Resolução da prova de ATE SEFAZ/PI N 0,06 1,06 = 73,8 73,8 1,06 0,0036 = Calculando o valor atual pelo desconto comercial simples, temos: D C = N 0,06 = ,06 = 1303,8 A C = N D C = ,8 = 20426,2 A alternativa E é a resposta correta. (gabarito preliminar OK) 27. Para quitar uma dívida que apresenta na data de hoje o valor de R$ ,00, um empresário deverá efetuar um pagamento de P reais daqui a um ano e outro de 2P reais daqui a 2 anos. Considerando o critério do desconto racional composto a uma taxa de 8% ao ano, obtém-se que P é igual a (A) R$ ,00 (B) R$ ,00 (C) R$ ,40 (D) R$ ,80 (E) R$ ,20 Trazendo todos os valores ao valor presente, temos: P 1, P 1,08 2 = Multiplicando todas as parcelas por 1,08 2, temos: 1,08 P + 2 P = ,08 2 3,08 P = ,1664 = 89812,8 P = 89812,8 3,08 = A alternativa B é a resposta correta. (gabarito preliminar OK) 28. O adquirente de um imóvel deverá quitar a respectiva dívida por meio de 60 prestações mensais e consecutivas, com a primeira prestação vencendo 1 8 de 16

9 Análise e Resolução da prova de ATE SEFAZ/PI mês após a data de aquisição do imóvel. Sabe-se que foi adotado o sistema de amortização constante a uma taxa de 1,2% ao mês com o valor da décima prestação igual a R$ 4.030,00. O valor da vigésima prestação é igual a (A) R$ 3.640,00 (B) R$ 3.670,00 (C) R$ 3.700,00 (D) R$ 3.730,00 (E) R$ 3.760,00 Eis uma questão diferente do que a banca usualmente cobra, pois não foi informado o valor da dívida. Logo, temos que empregar um pouco de raciocínio matemático para podermos resolvê-la. Estudando o modelo SAC, vimos que cada prestação é a soma de uma parcela de amortização com outra de juro: P = A + J Lembramos que a amortização é constante, e que o juro pago é proporcional ao valor devido (saldo devedor). Assim, a décima prestação é dada por: A + J 10 = 4030 Mas o valor de cada parcela de juro é dado por: J k = i SD k 1 Além disso, o saldo devedor é calculado com a fórmula: Assim, temos: Calculando o valor de J 10, temos: SD k = (n k) A J k = i (n (k 1)) A J 10 = i (60 (10 1)) A = 0, A = 0,612 A Inserindo o valor do juro na equação que já montamos anteriormente para a prestação, temos: A + 0,612 A = ,615 A = 4030 A = de 16

10 Análise e Resolução da prova de ATE SEFAZ/PI Agora, podemos calcular todos os valores que quisermos do financiamento. O juro da vigésima prestação será: J 20 = i (60 (20 1)) A = 0, = 1230 Logo, a vigésima prestação será dada por: P 20 = A + J 20 = = 3730 A alternativa D é a resposta correta. (gabarito preliminar OK) 29. Uma dívida no valor de R$ ,00 vai ser paga em 30 prestações mensais, iguais e consecutivas, vencendo a primeira prestação 1 mês após a data de formação da dívida. Utilizou-se o sistema de amortização francês com uma taxa de 2% ao mês. Pelo quadro de amortização, obtém-se que o saldo devedor imediatamente após o pagamento da primeira prestação é de R$ ,00. O valor da cota de amortização incluído no valor da segunda prestação é de (A) R$ 502,86 (B) R$ 512,72 (C) R$ 522,58 (D) R$ 532,44 (E) R$ 542,30 Se o saldo devedor após a primeira parcela é de R$ ,00, isso significa que a amortização da primeira parcela é de: O juro da primeira parcela será: A 1 = = 493 J 1 = 0, = 400 Como vimos no nosso curso, no sistema de amortização francês todas as parcelas possuem valores iguais. Logo, todas as prestações terão o valor: P = A 1 + J 1 = = 893 Para calcularmos a segunda parcela, basta tomarmos o novo saldo devedor, e sobre ele calcularmos o juro: J 2 = 0, = 390,14 10 de 16

11 Análise e Resolução da prova de ATE SEFAZ/PI Como as prestações são iguais, temos que a segunda amortização será: A 2 = P J 2 = ,14 = 502,86 A alternativa A é a resposta correta. (gabarito preliminar OK) 30. Os dois fluxos de caixa abaixo, referentes aos projetos X e Y, apresentam a mesma taxa interna de retorno positiva anual. O desembolso inicial (D) do projeto Y é igual a (A) R$ 1.750,00 (B) R$ 1.800,00 (C) R$ 1.850,00 (D) R$ 1.900,00 (E) R$ 1.950,00 Vamos começar calculando a taxa interna de retorno do projeto X, o que é feito quando igualamos o VPL a zero: VPL X = (1 + i) (1 + i) 2 = 0 Na aula 04 do nosso curso de Matemática Financeira para ATE SEFAZ/PI, ensinamos como resolver este tipo de equação. Como (1 + i) 0, podemos multiplicar todos os termos por (1 + i) 2 : 2000 (1 + i) (1 + i) = 0 Vamos empregar uma substituição de variáveis, fazendo (1 + i) = x: Simplificando por 5, temos: 2000 x x = x x = 0 11 de 16

12 x = 110 ± ( 400) ( 400) = Análise e Resolução da prova de ATE SEFAZ/PI 110 ± Logo, as respostas são x 1 = 0,825 e x 2 = 1,1. Queremos apenas a resposta positiva, logo x = 1,1 1 + i = 1,1 i = 0,1 = 10% Agora, basta aplicarmos tal taxa ao fluxo de caixa do Projeto Y: VPL Y = D , , ,9 1,1 3 = 0 D = = 1950 A alternativa E é a resposta correta. (gabarito preliminar OK) = 110 ± Raciocínio Lógico Vamos resolver cada questão, com comentários. A teoria foi abordada no nosso curso de Raciocínio Lógico para ATE SEFAZ/PI, focado na banca FCC, lançado no site do Exponencial Concursos. Lembramos que as questões 31 a 36 foram abordadas no curso de Estatística, e serão tratadas pelo respectivo professor. As demais questões estão a seguir: 37. Uma empresa fabrica dois tipos de latas cilíndricas para embalar alimentos. O volume da lata tipo I é o dobro do volume da lata tipo II, mas a quantidade de material gasta para fabricar a superfície lateral dos dois tipos de latas é igual. Dessa forma, a altura da lata tipo I é igual (A) ao quádruplo da altura da lata tipo II. (B) ao dobro da altura da lata tipo II. (C) à altura da lata tipo II. (D) à metade da altura da lata tipo II. (E) à quarta parte da altura da lata tipo II. Dados: Em uma lata cilíndrica qualquer: 12 de 16

13 Análise e Resolução da prova de ATE SEFAZ/PI o volume é diretamente proporcional à altura e também diretamente proporcional ao quadrado do diâmetro da lata; a quantidade de material gasta para fabricar a superfície lateral é diretamente proporcional à altura e também diretamente proporcional ao diâmetro da lata. Chamaremos de V 1, A 1, D 1 e Q 1, respectivamente, o volume, altura, diâmetro e quantidade de material da primeira lata, e de V 2, A 2, D 2 e Q 2 as respectivas variáveis da segunda lata. Pelos dados da questão, temos: V 1 = 2 V 2 Q 1 = Q 2 Mas a questão afirma que o volume é diretamente proporcional à altura e também diretamente proporcional ao quadrado do diâmetro da lata, logo sendo k a constante de proporcionalidade, temos: V 1 = k A 1 D 1 2 V 2 = k A 2 D 2 2 Dividindo uma equação pela outra, temo: Mas V 1 = 2 V 2, logo: V 1 = k A 2 1 D 1 V 2 2 k A 2 D V 1 = A 1 ( D 2 1 ) 2 V 2 A 2 D 2 2 V 2 = A 1 ( D 2 1 ) A 1 ( D 2 1 ) = 2 V 2 A 2 D 2 A 2 D 2 A questão afirma, ainda, que a quantidade de material gasta para fabricar a superfície lateral é diretamente proporcional à altura e também diretamente proporcional ao diâmetro da lata. Empregando o mesmo raciocínio anterior, chegamos a: Q 1 Q 2 = A 1 A 2 D 1 D 2 A 1 A 2 D 1 D 2 = 1 D 1 D 2 = A 2 A 1 Substituindo tal valor na equação dos volumes, temos: A 1 ( A 2 2 ) = 2 A 2 = 2 A A 2 A 1 A 1 = A 1 2 A alternativa D é a resposta correta. (gabarito preliminar OK) 13 de 16

14 Análise e Resolução da prova de ATE SEFAZ/PI 38. Em uma sequência de números inteiros, o primeiro elemento vale 1 e o segundo elemento vale 1. A partir do terceiro, cada elemento é igual ao produto dos dois elementos imediatamente anteriores a ele. A soma dos primeiros 2015 elementos dessa sequência é igual a (A) 671. (B) 673. (C) 1. (D) (E) Seguindo a lei de formação da sequência, teremos: 1, -1, -1, 1, -1, -1, 1, -1, -1, 1... Ou seja, há repetição do seguinte argumento: 1, -1, -1 Logo, a cada 3 elementos que somamos, o resultado dá -1. Sendo assim, basta calcularmos o quociente e o resto da divisão de 2015 por 3, para sabermos o comportamento final da sequência. Ora, a divisão de 2015 por 3 dá quociente de 671 e resto 2. Logo, a soma até o 2013º termo dá -671, e os últimos dois termos são 1 e -1, que dão soma zero. Assim, o resultado da questão é A alternativa A é a resposta correta. (gabarito preliminar OK) 39. As afirmações a seguir, todas verdadeiras, foram feitas pelo chefe do departamento de Imunologia de uma faculdade de medicina, referindo-se a eventos que poderiam acontecer no ano de Se o projeto for aprovado, o departamento receberá novos computadores e terá seu laboratório reformado. 2. Se o laboratório for reformado, passará a ter capacidade para processar o sangue de 50 pacientes por dia. 3. Se for possível processar o sangue de 50 pacientes por dia, o número de atendimentos diários no ambulatório será duplicado. A partir dessas informações, é correto concluir que, se a capacidade de processamento de sangue do laboratório do departamento de Imunologia, em 2015, é de apenas 25 pacientes por dia, então, necessariamente, 14 de 16

15 (A) o departamento não recebeu novos computadores. Análise e Resolução da prova de ATE SEFAZ/PI (B) o número de atendimentos diários no ambulatório não foi duplicado. (C) o laboratório do departamento foi reformado. (D) o projeto citado pelo chefe do departamento não foi aprovado. (E) a capacidade de processamento de sangue do laboratório manteve-se constante. Se a capacidade de processamento do laboratório é de 25 pacientes por dia em 2015, isso significa que é falsa a proposição o laboratório passará a ter capacidade para processar o sangue de 50 pacientes por dia. Logo, empregando os conceitos da proposição condicional, temos: 2. Se o laboratório for reformado, passará a ter capacidade para processar o sangue de 50 pacientes por dia. F F 1. Se o projeto for aprovado, o departamento receberá novos computadores e terá seu laboratório reformado. V / F F F 3. Se for possível processar o sangue de 50 pacientes por dia, o número de atendimentos diários no ambulatório será duplicado. F V / F Assim, a única alternativa possível é a letra D. A alternativa D é a resposta correta. (gabarito preliminar OK) 40. Na eleição para síndico de um edifício, houve cinco candidatos e um total de 186 votos. O vencedor e o último colocado obtiveram 42 e 34 votos, respectivamente. Sabendo que não houve empate entre quaisquer dois candidatos, o número de votos obtido pelo terceiro colocado (A) certamente foi 36. (B) pode ter sido 36 ou 37. (C) certamente foi 37. (D) certamente foi de 16

16 (E) pode ter sido 38 ou 39. Análise e Resolução da prova de ATE SEFAZ/PI Subtraindo os votos do primeiro e do último colocados, temos que sobram 110 votos para os três demais candidatos. Como a média de votos desses três candidatos é de 36,7 votos, temos um ponto de partida, pois sabemos que a quantidade orbitou em torno desse número. Como não houve empate, temos que a quantidade possível de votos para cada candidato variou de 35 a 41. Vamos estudar algumas hipóteses de votação: 4º colocado 3º colocado 2º colocado Soma Note que não há outras possibilidades, pois a soma seria diferente de 110. Logo, o terceiro colocado pode ter tido 36 ou 37 votos. A alternativa B é a resposta correta. (gabarito preliminar OK) 16 de 16