1 Probabilidade Condicional - continuação

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1 1 Probabilidade Condicional - continuação Exemplo: Sr. e Sra. Ferreira mudaram-se para Campinas e sabe-se que têm dois filhos sendo pelo menos um deles menino. Qual a probabilidade condicional que ambos os filhos sejam meninos? O espaço amostral é: Ω {oo, oa, ao, aa} e podemos consider que este espa o é equiprovável. Considere os eventos: E : Ambas as crianças são meninos {oo} F : Pelo menos uma das crianças é menino {oo, oa, ao} P(E F ) P(E F ) P(F ) 1/4 3/4 1 3 Exemplo: Uma companhia de seguros acredita que a população possa ser dividida em dois grupos: propensos a acidentes e avessos a acidentes. Estudando os registros históricos de acidentes, eles acreditam que uma pessoa propensa a acidentes tem probabilidade.4 de sofrer um acidente num período de um ano, enquanto que esta probabilidade abaixa para.2 se a pessoa é avessa a acidentes. Se assumimos que 30% da população é propensa a acidentes, qual a probabilidade de José, que acabou de comprar uma ap olice contra acidentes, registre um sinistro dentro de um ano? Sejam os eventos: A José é propenso a acidentes, A 1 José registra um sinistro dentro de um ano. Portanto, P(A 1 ) P(A 1 A)P(A) + P(A 1 A c )P(A c ) (.4)(.3) + (.2)(.7).26 Suponha que José registre um sinistro dentro de um ano, qual a probabilidade dele ser propenso a acidentes? P(A A 1 ) P(A 1 A)P(A) P(A 1 ) (.4)(.3).26 6/13. Exemplo: Em questões de múltipla escolha, um estudante ou sabe a resposta e responde sem hesitar, ou ele chuta. Seja p a probabilidade dele saber a quest ao. Assuma também que se ele não sabe a resposta ele escolhe ao acaso uma das m alternativas possíveis. Qual a probabilidade condicional dele saber a resposta dado que ele acertou? 1

2 Sejam os eventos K sabe a resposta e C acertou a questão. P(K C) fracp(c K)P(K)P(C K)P(K) + P(C K c )P(K c ) p p + (1/m)(1 p) mp 1 + (m 1)p Dilema do prisioneiro: Em uma ditadura num país distante, três prisioneiros esto presos sem julgamento. O carcereiro diz que o ditador decidiu escolher aleatoriamente libertar um dos prisioneiros e matar os outros dois, mas ele não pode contar a eles qual será libertado. O prisioneiro A sabe que sua chance de ser libertado é 1/3. A fim de ganhar informao ele dá uma propina ao carcereiro e pede para dizer qual dos outros dois é que vai morrer e este diz que B morreré. Com base nesta informao, qual a probabilidade de A ser libertado? Sejam os eventos: A o prisioneiro A será libertado; B o prisioneiro B será libertado; e C o prisioneiro A será libertado; D o guarda diz que B será morto. Sendo assim, P(A D) P(D A)P(A) P(D A)P(A) + P(D B)P(B) + P(D C)P(C) P(D A)(1/3) P(D A)(1/3) + P(D B)(1/3) + P(D C)(1/3) P(D A) P(D A) + 1 p p + 1 onde p é a probabilidade do carcereiro dizer que B será morto quando ambos B e C morrerão. Esta probabilidade depende do mecanismo aleatório que o carcereiro usa para escolher dizer B ou C nesta questão e não está especificado pelo enunciado do problema. Entretanto o função p/(1 + p) é crescente, vale 0 quando p 0 e vale 1/2 quando p 1, sendo assim a probabilidade acima está sempre entre 0 e 1/2. 2 Independência Definição 2.1 Dois eventos E e F são ditos serem independentes se P(E F ) P(E)P(F ). Exemplo: Dois dados honestos (verde e vermelho) são lançados. Sejam os eventos E saiu soma sete e F o dado verde saiu 3. Os eventos E e F são independentes. Seja H saiu soma 6. Os eventos H e F não são independentes. 2

3 Se dois eventos são independentes eles não podem ser mutuamente exclusivos ( a menos que um deles tenha probabilidade zero) e vice-versa. Exemplo: Um homem e uma mulher têm cada um 52 cartas de baralho. Cada um retira uma carta de seu baralho. Qual a probabilidade de que ambos selecionem o ás de paus. Sejam os eventos: A o homem seleciona o ás de paus e B a mulher seleciona o ás de paus. Como P(A) 1/52, P(B) 1/52 e A e B são claramente eventos independentes temos: P(A B) P(A).P(B) 1/52.1/ Considere um dado honesto tetrahedral cujas faces são pintadas de vermelho, azul, verde e branco. Lance o dado. Sejam X r, X g, X b os eventos que o dado mostre a face vermelha, verde e azul respectivamente. Então: P (X r ) P (X g ) P (X b ) 1 2, P (X r X g ) P (X w ) 1 4 P (X r)p (X g ), mas P (X r X g X b ) P (X r)p (X g )P (X b ). Muitas vezes a forma de realizar o experimento nos mostra que os eventos são independentes: Exemplo: Uma carta é selecionada ao acaso de um baralho comum de 52 cartas. Se E é o eventos que a carta selecionada é um ás e F a carta selecionada é de espadas. E e F são independentes. 2.1 Ensaios de Bernoulli Os ensaios de Bernoulli, chamados assim após James Bernoulli, é um dos processos mais simples e mais utilizados em Probabilidade. Essencialmente, os ensaios de Bernoulli são a abstração dos lançamentos de moeda, mas devido à sua grande aplicabilidade, geralmente são colocados em termos mais gerais: Cada ensaio tem somente dois resultados possíveis, geralmente denominados de sucesso e fracasso; Os ensaios são independentes. Intuitivamente, o resultado de um ensaio não afeta o resultados dos outros ensaios; Em casa ensaio, a probabilidade de sucesso é p e de fracasso é 1 p (constante para todos os ensaios). 3

4 Fórmula da probabilidade Binomial: Se queremos calcular a probabilidade do evento B k saiu exatamente k sucessos em n realizções de ensaios de Bernoulli com probabilidade de sucesso p. Sejam os eventos A 1,..., A n onde A i saiu sucesso no i-ésimo ensaio realizado. As hipóteses acima nos dizem que A 1,..., A n são eventos independentes e P(A i ) p. Portanto, P(B k ) n k p k (1 p) n k Exemplo: Considere um teste de múltipla escolha com 10 questões de 4 itens cada. Se um aluno não estudou nada para a prova e escolhe aleatóriamente um item em cada questão de forma independente, qual a probabilidade de obter exatamente 7 questões corretas? 10 (.25) 7 (.75) 3 7 Exemplo: Uma sequência infinita de ensaios de Bernoulli com probabilidade de sucesso p será realizada. Qual a probabilidade de a) Pelo menos um sucesso nos primeiros n ensaios? b) Exatamente k sucessos após n ensaios? c) Precisarmos realizar r ensaios até obter o primeiro sucesso? (1 p) r 1 p d) Todos os resultados resultarem em fracassos? Exemplo: Os pontos A e B são conectados por três interruptores (S 1, S 2.S 3 ) conectados em paralelo operam independentemente. Cada interruptor permanece fechado com probabilidade p. (a) Qual a probabilidade de passar corrente entre A e B? (b) Qual a probabilidade do interruptor S 1 estar fechado dado que passou corrente entre A e B? Defina os eventos A i o interruptor S i está fechado i 1, 2, 3 e B passou corrente entre o ponto A e B. Portanto, B A 1 A 2 A 3 e P(B) 1 P(A c 1 A c 2 A c 3) 1 (1 p) 3 4

5 e P(A 1 B) P(B A 1)P(A 1 ) P(B) 1.p 1 (1 p) 3 5