Professor Mauricio Lutz PROBABILIDADE

Transcrição

1 PROBABILIDADE Todas as vezes que se estudam fenômenos de observação, cumpre-se distinguir o próprio fenômeno e o modelo matemático (determinístico ou probabilístico) que melhor o explique. Os fenômenos estudados pela Estatística são fenômenos cujo resultado, mesmo em condições normais de experimentação variam de observação para outra, dificultando dessa maneira a previsão de um resultado futuro. Para a explicação desses fenômenos fenômenos aleatórios adota-se um modelo matemático probabilístico. Neste caso, o modelo utilizado será o cálculo das probabilidades. ) Espaço amostral e eventos Experimentos ou fenômenos aleatórios são aqueles que, mesmo repetidos várias vezes sob condições semelhantes, apresentam resultados imprevisíveis. Chamamos de espaço amostral ou conjunto universo ao conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório, representado por S. Chama-se evento a qualquer subconjunto de um espaço amostral de um experimento aleatório. Exemplos:. Quando lançamos uma moeda, temos duas possibilidades: Obter cara ou obter coroa. Logo, o espaço amostral do experimento será: S{cara, coroa}. Jogando um dado ideal e anotando a face voltada para cima, teremos o seguinte espaço amostral: S{,, 3, 4,, 6}

2 ) Probabilidade de um evento Probabilidade de um evento A representa a chance de ocorrer um evento A. O valor de p ( é igual ao número de elementos de A, dividido pelo número de elementos do espaço amostral S. número de elementos de A p ( número de elementos de E : probabilidade de um evento A Como AÌ S, temos n (. Logo: 0 p ( Em particular, se p ( 0, A será chamado evento impossível e, se p (, A será chamado evento certo. Exemplos:. Calcule a probabilidade de, jogando um dado ideal, obter um número maior que 4. Espaço amostral: E{,, 3, 4,, 6} Evento: A{, 6} ü ýþ 6þ 6 3. Calcule a probabilidade de retirar bola vermelha de uma urna contendo 3 bolas brancas, vermelhas e verdes: 3 brancas ü ï vermelhasýþ 0 e verdes ï þ 0 Þ 3. Dois dados são lançados simultaneamente. Qual a probabilidade de a soma das faces voltadas para cima ser? Escrevendo os pares ordenados do espaço amostral: S{(, ), (, ), (, 3), (, 4), (, ), (, 6), (, ), (, ), (, 3), (, 4), (, ), (, 6), (3, ), (3, ), (3, 3), (3, 4), (3, ), (3, 6), (4, ), (4, ), (4, 3), (4, 4), (4, ), (4, 6), (, ), (, ), (, 3), (, 4), (, ), (, 6), (6, ), (6, ), (6, 3), (6, 4), (6, ), (6, 6)}

3 3 Note que, para cada face de um dado, temos 6 faces possíveis. Logo, o número de elementos do espaço amostral é n ( 36 O evento A{(6, 6)}. Portanto n (. Logo p ( Dispondo de um baralho completo, determine à probabilidade de retirar ao acaso uma carta de ouros. Resolução: Um baralho é formado por cartas, divididas em 4 naipes: ouros, copas, paus e espadas, sendo 3 cartas de cada naipe. ü ýþ 3þ 3 Þ 0, 4 Podemos também expressar p ( em porcentagem: p ( 0,Þ % Exercícios ) Lançando-se um dado ideal, qual a probabilidade de ser obtido um número menor que 4. ) Retira-se carta ao acaso de um baralho de cartas. Determine à probabilidade de ser: a) uma dama; b) uma dama ou um rei. 3) Qual a probabilidade de sorteio de bola que não seja branca em uma urna que contém 6 bolas brancas, azuis e 4 amarelas? 4) Em um avião viajam 40 brasileiros, 0 japoneses, 8 americanos e 3 árabes. Escolhendo ao acaso um passageiro, determine a probabilidade de ele: a) ser árabe; b) não ser árabe; c) ser japonês ou americano; d) ser argentino.

4 4 ) Em uma urna há 0 bolas, numeradas de a 0. Retira-se bola ao acaso. Calcule a probabilidade de seu número ser: a) ímpar; b) múltiplo de 3; c) divisível por e 3; d) múltiplo de e 7. 6) Um grupo de amigos organiza uma loteria cujos bilhetes são formados por 4 algarismos distintos. Qual é a probabilidade de uma pessoa que possui os bilhetes 387 e 70 ser premiada, sendo que nenhum bilhete tem como algarismo inicial o zero? 7) Lançando-se dados, simultaneamente, qual a chance de ocorrerem números iguais? 8) Jogando-se dados simultaneamente, qual a probabilidade de se obter um número par na soma das faces? 9) São lançadas 3 moedas simultaneamente. Qual a chance de se obterem 3 caras? 0) Lançamos dados: azul e vermelho. Sabendo que no azul apareceu o número 3, calcule a probabilidade de obtermos a soma dos números maior ou igual a 7. Gabarito ) ½ ) a) /3 b) /3 3) ½ 4) a) 3/7 b) 68/7 c) 8/7 d) 0 ) a) ½ b) 3/0 c) 3/0 d) 0 6) /68 7) /6 8) ½ 9) /8 0) /

5 3) Eventos complementares A soma da probabilidade de ocorrer um evento A com a probabilidade de não ocorrer o evento A é igual a, ou seja: p ( + ( ou 00%). Notemos que E Ç E C f eeè E C S. Exemplo: De um pacote de cartões, numerados de 8 a 6, é retirado um deles, ao acaso. Vamos determinar a probabilidade dos eventos a seguir. a) O cartão retirado contém um múltiplo de. O espaço amostral é S{8, 9, 0,,, 3, 4,, 6} e n ( 9. O evento o cartão retirado contém um múltiplo de é E{0,}. Então, n (. Logo: p (. 9 b) O carão retirado não contém um múltiplo de. Temos também n ( 9. O evento o cartão retirado não contém um múltiplo de é complementar do evento E, então E {8, 9,,, 3, 4, 6}, e, portanto, n ( 7. Logo: p ( Observe que: p ( ) Probabilidade de união de dois eventos Sejam A e B eventos de um mesmo espaço amostral S. Vamos encontrar uma expressão para a probabilidade de ocorrer o evento A ou o evento B, isto é, a probabilidade de ocorrência do evento A È B. Consideremos dois casos: º Caso: A Ç B ¹ Æ A probabilidade de união de eventos A e B é igual à soma das probabilidades de cada evento, menos a probabilidade de intersecção desses eventos, ou seja: AÈ + - AÇ

6 6 Exemplo: Em uma urna existem 0 bolas, numeradas de a 0. Retira-se uma bola ao acaso. Determine a probabilidade de seu número ser par ou maior que 4. Resolução: S{,, 3, 4,, 6, 7, 8, 9, 0} Þ n ( 0 A {, 4, 6, 8, 0} Þ n ( B {, 6, 7, 8, 9, 0} Þ n ( 6 A Ç B {6, 8, 0} Þ n ( AÇ p ( AÈ + - Þ AÈ º Caso: A Ç B Æ (Eventos mutuamente exclusivos) p ( AÈ + Exemplo: Em uma urna existem 0 bolas, numeradas de a 0. Retira-se uma bola ao acaso. Qual a probabilidade de a bola retirada tem um número primo ou um número maior que 8? S{,, 3, 4,, 6, 7, 8, 9, 0} Þ n ( 0 A {, 3,, 7} Þ n ( 4 B {9, 0} Þ n ( A Ç B Æ Þ n ( AÇ p ( Exercícios ) Em uma urna existem 0 bolas coloridas. As brancas estão numeradas de a 6 e as vermelhas, de 7 a 0. Retirando-se, qual é a probabilidade de ela ser branca ou de seu número ser maior que 7? ) Retira-se carta ao acaso de um baralho de cartas. Determine a probabilidade de ela: a) ser preta ou ser figura; b) não ser figura ou ser um ás.

7 7 3) Uma caixa contém.000 bolas, numeradas de a 000. qual a probabilidade de se tirar, ao acaso, uma bola contendo um número par ou um número de algarismos? 4) De um pacote de cartões, numerados de a 6, é retirado um deles ao acaso. Qual a probabilidade de o cartão retirado apresentar um número ímpar ou um múltiplo de 3? ) Numa classe de 3 alunos, a professora sorteia o número de chamada de um deles. Qual a probabilidade de o número do aluno sorteado ser um número maior que 9 ou um número ímpar? 6) Numa sala, existem mulheres, sendo 8 com mais de 8 anos, e 0 homens, sendo com menos de 8 anos. Sorteia-se uma dessas pessoas. Ache a probabilidade de se sortear: a) uma mulher ou um homem com mais de 8 anos; b) uma mulher ou um homem com menos de 8 anos. 7) Em uma caixa foram colocadas oito bolas brancas, numeradas de a 8; sete bolas pretas, numeradas de a 7 e cinco bolas verdes, numeradas de a. Em seguida retiram-se, aleatoriamente, uma das bolas. Determine a probabilidade de a bola retirada ter um número ímpar ou ser preta. 8) Se no exercício anterior, as bolas brancas fossem numeradas de a 8; as pretas, de 9 a e as verdes, de 6 a 0, qual seria a probabilidade de a bola retirada ter número ímpar ou ser preta? 9) Jogando-se dois dados ao acaso, qual a probabilidade de se obter números que tenham por soma 4 ou? 0) Em uma urna estão 4 bolas amarelas, 4 pretas e brancas, todas iguais em tamanho. Sorteando-se uma delas, qual a probabilidade de não ser branca? Gabarito ) 9/0 ) a) 8/3 b) 0/3 3) 09/00 4) 7/6 ) 3/3 6) a) 3/3 b) 9/3 7) 7/0 8) 3/0 9) 7/36 0 ) 9/0