NOÇÕES DE PROBABILIDADE

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1 NOÇÕES DE PROBABILIDADE

2 Fenômeno Aleatório: situação ou acontecimento cujos resultados não podem ser determinados com certeza. Exemplos: 1. Resultado do lançamento de um dado;. Hábito de fumar de um estudante sorteado em sala de aula;. Condições climáticas do próximo domingo; 4. Taxa de inflação do próximo mês;. Resultado de um exame de sangue.

3 Espaço Amostral (Ω):( conjunto de todos os resultados possíveis do fenômeno aleatório. Exemplos: 1. Lançamento de um dado. Ω {1,,, 4,, 6}. Exame de sangue (tipo sangüíneo). Ω {A, B, AB, O}. Hábito de fumar. Ω {Fumante, Não fumante} 4. Tempo de duração de uma lâmpada. Ω {t: t 0}

4 Eventos: subconjuntos do espaço amostral Ω Notação: A, B, C... Alguns eventos: (conjunto vazio): evento impossível Exemplo: Lançamento de um dado. Ω {1,,, 4,, 6} A: sair face par A {, 4, 6} Ω B: sair face maior que B {4,, 6} Ω C: sair face 1 C {1} Ω

5 Operações com eventos Sejam A e B dois eventos de um espaço amostral. A B: união dos eventos A e B. Representa a ocorrência de pelo menos um dos eventos A ou B. A B: interseção dos eventos A e B. Representa a ocorrência simultânea dos eventos A e B.

6 A e B são disjuntos ou mutuamente exclusivos quando não têm elementos em comum, isto é, A B A e B são complementares se sua interseção é vazia e sua união é o espaço amostral, isto é, A B e A B Ω O complementar de A é representado por A c.

7 Exemplo: Lançamento de um dado Ω {1,,, 4,, 6} Eventos: A {, 4, 6}, B {4,, 6} e C {1} A B: {, 4, 6} {4,, 6} {4, 6} sair uma face par e maior que A C {, 4, 6} {1} sair uma face par e face 1 A B {, 4, 6} {4,, 6} {, 4,, 6} sair uma face par ou maior que A C {, 4, 6} {1} {1,, 4, 6} sair uma face par ou face 1 A C {1,, } não sair face par

8 Probabilidade Pergunta: Como atribuir probabilidade aos elementos do espaço amostral? Duas maneiras: 1. Através das freqüências de ocorrências. Observamos o fenômeno aleatório n vezes e determinamos a freqüência relativa com que cada resultado ocorre. Para um número grande de realizações, a freqüência relativa poderia ser utilizada como probabilidade.. Através de suposições teóricas. Por exemplo, no lançamento de um dado, admitindo que o dado é perfeitamente equilibrado, P(face 1)... P(face 6) 1/6.

9 No caso discreto, todo fenômeno aleatório tem seu modelo probabilístico especificado quando estabelecemos: um espaço amostral Ω {w 1,w,... } uma probabilidade P(w) para cada ponto amostral de tal forma que: 0 P(w ) i 1 e P ( Ω) P ({w, 1 w,...}) i 1 P(w ) i 1.

10 Ainda no caso discreto, Se A é um evento, então P (A) Se Ω {w, w,..., w } e 1 N w A j P (w ) 1 P(w i ) (pontos equiprováveis), então N j P (A) nº. nº. de de elementos elementos de de A Ω

11 Exemplo: A tabela a seguir apresenta dados do censo demográfico de 1991 (IBGE) de habitantes de Sergipe, na faixa etária de 0 a 4 anos com informações sobre SEXO e se SABE LER. Sabe ler Sim Não Total Masc Fem Total Um jovem entre 0 e 4 anos é escolhido ao acaso em Sergipe.

12 Ω : conjunto de jovens de Sergipe, com idade entre 0 e 4 anos. Definimos os eventos M: jovem sorteado é do sexo masculino; F : jovem sorteado é do sexo feminino; L : jovem sorteado sabe ler; N : jovem sorteado não sabe ler. Temos ir para a tabela P(M) ,474 P(F) ,6 P(L) ,84 P(N) ,17

13 Sabe ler Sim Não Total Masc Fem Total

14 Qual é a probabilidade do jovem escolhido saber ler e ser do sexo masculino? M L: jovem sorteado sabe ler e é do sexo masculino nº. de elementos em M L 977 P(M L) nº. de elementos em Ω ,89 Qual é a probabilidade do jovem escolhido saber ler ou ser do sexo masculino? M L: jovem sorteado sabe ler ou é do sexo masculino P(M L) nº. de elementos em M L nº. de elementos em Ω ,

15 Regra da adição de probabilidades Sejam A e B eventos de Ω. Então, P(A B) P(A) + P(B) P(A B) Conseqüências: Se A e B forem eventos disjuntos, então P(A B) P(A) + P(B). Para qualquer evento A de Ω, P(A) 1 - P(A c ).

16 PROBABILIDADE CONDICIONAL E INDEPENDÊNCIA Probabilidade condicional: Dados dois eventos A e B, a probabilidade condicional de A dado que ocorreu B é representada por P(A B) e dada por P(A B) P(A B), P(B) > P(B) Da definição de probabilidade condicional, obtemos a regra do produto de probabilidades P(A B) P(B) P(A B). 0. Analogamente, se P(A) >0, P(A B) P(A) P(B A).

17 Qual é a probabilidade do jovem escolhido saber ler sabendo-se que é do sexo masculino? Diretamente da tabela Lê Não Lê Total Masc Fem Total temos P(L M) 9.77 / ,8. Pela definição, P(L M) P(L M) P(M) ,8.

18 Exemplo: Em uma urna, há bolas: brancas e vermelhas. Duas bolas são sorteadas sucessivamente, sem reposição. A: ª bola sorteada é branca C: 1ª bola sorteada é branca P(A)??? Para representar todas as possibilidades, utilizamos, um diagrama conhecido como diagrama de árvores ou árvore de probabilidades.

19 B V 4 4 V B V B 1 Total V V VB BV BB Probabilidades Resultados e (A) P + Temos. 4 1 C) (A P

20 Considere agora que as extrações são feitas com reposição, ou seja, a 1 a bola sorteada é reposta na urna antes da a extração. Nesta situação, temos B Resultados Probabilidade B V V B BB BV VB VV Total V

21 Neste caso, P(A) P(branca na ª) e P(A C) P( branca na ª branca na 1ª) P(A) P(A C c ) P(branca na ª vermelha na 1ª) P(A) ou seja, o resultado na a extração independe do que ocorre na 1 a extração.

22 Independência de eventos: Dois eventos A e B são independentes se a informação da ocorrência (ou não) de B não altera a probabilidade de ocorrência de A, isto é, P(A B) P(A), P(B) > 0. Temos a seguinte forma equivalente: P(A B) P(A) P(B).

23 Exemplo: A probabilidade de Jonas ser aprovado no vestibular é 1/ e a de Madalena é /. Qual é a probabilidade de ambos serem aprovados? A: Jonas é aprovado B: Madalena é aprovada P(A B) P(A) x P(B) 1/ x / /9 Qual a suposição considerada?