I. Experimentos Aleatórios

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1 A teoria do azar consiste em reduzir todos os acontecimentos do mesmo gênero a um certo número de casos igualmente possíveis, ou seja, tais que estejamos igualmente inseguros sobre sua existência, e em determinar o número de casos favoráveis ao acontecimento cuja probabilidade é buscada. A razão deste número para o de todos os casos possíveis é a medida dessa probabilidade, a qual é portanto uma fração cujo numerador é o número de casos favoráveis e cujo denominador é o número de todos os casos possíveis. Pierre Simon Laplace Ensaio filosófico sobre as Probabilidades I. Experimentos Aleatórios São experimentos que não apresentam os mesmos resultados mesmo que sejam repetidos muitas vezes e sob condições idênticas. Diremos que um experimento é determinístico quando repetido em condições semelhantes conduz a resultados essencialmente idênticos. Exemplos de experimentos aleatórios: a) o lançamento de um dado, b) o lançamento de uma moeda. II. Espaço Amostral É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Exemplo: No experimento aleatório lançamento de uma moeda, temos como espaço amostral o E= k,c, onde k indica cara e c coroa. conjunto { } III. Evento É qualquer subconjunto do espaço amostral. Exemplo: O conjunto A { janeiro, junho, julho} =, meses do ano que começam por j, representa um evento do espaço amostral constituído pelos meses do ano. IV. Probabilidade de um Evento n(a) A probabilidade do evento A ocorrer é definida pelo número real P(A), tal que P(A) =. n(e) onde n(a) corresponde ao número de elementos do evento A e n(e) corresponde ao número de elementos do espaço amostral E. 1

2 Exemplo 1: (Cesgranrio) Em uma amostra de quinhentas peças, existem exatamente quatro defeituosas. Retirando-se, ao acaso, uma peça dessa amostra, a probabilidade de ela ser perfeita é de: (A) 99,0% ( B ) 99,2% (C) 99,4% (D) 99,1% (E) 99,3% O espaço amostral E é formado pelas quinhentas peças e então n(e) = 500. O evento é o conjunto A = { x E x é peça perfeita} n(a)=496. Logo, n(a) 496 P(A) = = = 0,992 = 99, 2% n(e) 500 Exemplo 2: (FEI-SP) Em uma indústria com 4000 operários, 20 têm mais de 20 anos, 1200 são especializado e oitocentos têm mais de 20 anos e são especializados. Se um dos operários é escolhido aleatoriamente, a probabilidade de ele ter no máximo 20 anos e ser especializado é : ( A ) 1 (B) 2 5 (C) 3 8 (D) (E) 7 18 O espaço amostral E é formado pelos 4000 operários e assim n(e) = 4000 O evento A é formado por 400 operários, logo n(a)= 400, veja: operários com mais de 20 anos operários especializados operários com no máximo 20 anos e especializados Com isso n(a) P(A) = = = n(e) 4000 Exemplo 3: (Fuvest SP) Escolhem-se ao acaso dois números naturais distintos, de 1 a 20. Qual é a probabilidade de que o produto dos números escolhidos seja ímpar? A 9 38 (B) 1 2 (C) 9 20 (D) 1 4 (E) 8 25 Como a ordem dos fatores não altera o produto, o número de elementos do espaço amostral E é dado por: 2

3 20! ! / C20,2 = = = = 190, ou seja, 190 possíveis resultados do produto de 2! 20 2! 2!18! / 2 dois números dentre 20 números. Já o evento representa o produto de dois quaisquer dos números ímpares, pois quando ao menos um dos termos de um produto for par, então o produto será um número par. Como no conjunto { 1,2,3,...,20 } temos algarismos ímpares então o número de elementos do evento A é dado por :!.9.8! / n(a) = C,2 = = = 45 2! 8! 2! / 8! Logo, n(a) 45 9 P(A) = = = n(e) Exemplo 4: Lança-se um dado honesto. Qual a probabilidade de que seja sorteado um maior que 4? número O espaço amostral é o conjunto E= { 1,2,3,4,5,6} e assim n(e) = 6 O evento é o conjunto A = { 5,6}, logo n(a)= 2. Daí temos n(a) 2 1 P(A) = = = n(e) 6 3 Exemplo 5: (UNIRIO) Joga-se um dado três vezes consecutivas. A probabilidade de surgirem os resultados abaixo, em qualquer ordem, é : (A) (B) 1 72 C 1 36 (D) 1 18 (E) 1 3 O espaço amostral(e) no lançamento de um dado três vezes é um conjunto cujos elementos são ternos ordenados: {(1,1,1), (1,1,2),..., (5,4,6),..., (6,6,6)}, então n(e) = 666 = 216ternos. O evento(a) é o terno ordenado (1,2,3) em qualquer ordem, assim n(a) = 3! = Logo a probabilidade é dada por P(A) = =

4 Exemplo 6: (UERJ) Um armário tem 8 repartições, em 4 níveis, como mostra a figura abaixo. Ocupando-se metade das repartições, a probabilidade de que se tenha uma repartição ocupada em cada nível é de : (A) 2 35 (B) 4 35 (C) 6 35 D 8 35 (E) 2 7 O espaço amostral(e) representa todas as possibilidades de se escolher 4 dentre 8 níveis, sem se importar 8! com a ordem, então trata-se de uma combinação : C8,4 = = = 70. 4!4! 24 O evento(a), ocupar uma repartição em cada nível, é calculado usando o princípio multiplicativo: 1N 2N 3N 4N (1N é o 1 0 nível) Possibilidades = 16 Portanto a probabilidade é 16 8 P(A) = = V. Propriedades das probabilidades (I) P( ) = 0 Sendo E um espaço amostral finito e não-vazio e sendo A um evento de E, tem-se que: Demonstração: n ( ) 0 De fato se n( ) = 0, então P( ) = = = 0, ou seja, é um evento impossível. n E n E Exemplo 7: Determine a probabilidade de se obter um número maior que no lançamento de um dado. O espaço amostral é o conjunto E = { 1,2,3,4,5,6} e assim n(e) = 6 O evento é o conjunto a A ={ x E x > } =, logo n( )= 0. Com isso n A 0 P(A) = = = 0 n E 6 4

5 (II) P (E) = 1 Demonstração: De fato se E E, então n(e) P(E) = = 1, ou seja, E é um evento certo. n(e) Exemplo 8: Uma urna contém exatamente oito bolas numeradas de 1 a 8. Retira-se uma bola da urna. Qual é a probabilidade de se obter uma bola de número menor que 9? O espaço amostral é o conjunto E { b, b, b,..., b } = e assim n(e) = O evento é o conjunto a A ={ } { } Com isso (III) 0 P (A) 1 Demonstração: n A 8 P(A) = = = 1 n E 8 x E x < b = b,b,b,...,b = E, logo n(a)= Como o conjunto é subconjunto de qualquer conjunto e como n( ) = 0 então supondo o evento A não vazio temos : A E n( ) n( A) 0 n( A), dividindo todos os membros dessa teremos, 0 n( A) 0 P( A) 1. desigualdade por n E n E n E Exemplo 9: (Cescem) Um evento A de um espaço amostral é tal que n( A) maior número possível de elementos de A é: n 4 = n e P( A) =. O 3 (A) 4 (B) 8 (C) 9 (D) 12 ( E ) 7 n 4 Como 0 P(A) 1, então n n 7 3 Assim, o conjunto A tem no máximo 7 elementos. 5

6 (IV) P( A) = 1 P( A), onde A é o complemento de A, ou seja, A A= E e A A=. Demonstração: Da teoria dos conjuntos temos que n( A A) = n( A) + n( A) n( A A) e como A A= E e A A=, então n( A A) = n( A) + n( A) n( A A) = n( A) + n( A). Dividindo por ambos os membros, temos que : n( A) n( A) = + 1 P( A) P( A) = + P( A) = 1 P( A) Exemplo : (Cesgranrio) Em uma amostra de quinhentas peças, existem exatamente quatro defeituosas. Retirando-se, ao acaso, uma peça dessa amostra, a probabilidade de ela ser perfeita é de: (A) 99,0% ( B ) 99,2% (C) 99,4% (D) 99,1% (E) 99,3% Sejam os eventos A = { x E x é peça perfeita} e A { x E x é peça defeituosa} sendo E o espaço amostral das quinhentas peças. Daí probabilidade da peça ser perfeita. = tais que A A= E, P A = 1 P A = 1 = = 99,2%, que é a VI. Probabilidade da União de dois Eventos Sejam A e B dois eventos do espaço amostral E, finito e não vazio. Segundo a teoria dos conjuntos, temos: n A B = n A + n B n A B, dividindo ambos os membros da igualdade por n E, obtemos: ( ) ( ) = + P( A B) = P( A) + P( B) P( A B) n A B n A n B n A B No caso em que A e B são mutuamente exclusivos ( A B) P( A B) = P( A) + P( B) = teremos: Exemplo 11: (Cescea) Uma urna contém exatamente vinte bolas, numeradas de 1 a 20. No experimento retirada de uma bola, considere os seguintes eventos: A = { a bola retirada possui um número múltiplo de 2}; B = { a bola retirada possui um número múltiplo de 5}. Então a probabilidade do evento A B é: 6

7 (A) (B) 4 5 (C) 7 D 3 5 (E) O espaço amostral E é formado pelas 20 bolas e assim n(e) = 20. A = x E x é múltiplo de dois = 2, 4, 6,8,,12,14,16,18, 20 é formado por bolas, logo O evento { } { } n(a)=. B = x E x é múltiplo de cinco = 5,,15, 20 é formado por 4 bolas, logo n(b)= 4. O evento { } { } Como A B= {,20}, então: P( A B) = P( A) + P( B) P( A B) P( A B) = + = = VII. Probabilidade Condicional Chama-se probabilidade condicional de um evento B a probabilidade de esse evento ocorrer considerando-se que já ocorreu um evento A. (Indicamos: P(B / A), lê-se probabilidade de B, dado A) Como o evento A ocorreu, então o evento B, por sua vez, só poderá ocorrer na intersecção de A e B. No caso em que A B=, teremos P(B / A) = 0. Assim, temos que: n A P(B/ A) = ( B) n( A) Exemplo 12: (Osec SP) O número da chapa de um carro é par. A probabilidade de o algarismo das unidades ser zero é: (A) 1 (B) 1 2 (C) 4 9 (D) 5 9 E 1 5 Evento A: o número da chapa é par. Lembrando que a condição para um número ser par é que o algarismo das unidades simples seja par, então: UM C D US possibilidades:... 5 = 5000 n(a) 5000 = 7

8 Evento B: o número possui o algarismo das unidades igual a 0, com isso n(b) = 00, veja UM C D 0 possibilidades:... 1 = 00 n(b) = 00 Como todos os elementos de B pertencem a A, então A B= B e assim ( ) n A B 00 1 P(B/ A) = = = n A VIII. Produto de Probabilidades A probabilidade de ocorrer dois eventos A e B é igual ao produto da probabilidade de um deles pela probabilidade do outro, dado que o primeiro ocorreu. Vimos que por n(e), sendo E o espaço amostral: ( B) n( A) n A P(B/ A) =. Vamos dividir o numerador e o denominador dessa fração n( A B) = P( A B) = n( A) P( A) ( ) = P B/A P A B P A P B/A Se A e B forem eventos independentes (são aqueles em que a probabilidade de ocorrer um deles não depende de ter ou não ocorrido o outro) utilizamos a regra do produto da seguinte forma: ( ) = ( P A B P A P B ) Exemplo 13: Sabendo-se que a probabilidade de que um animal adquira certa enfermidade, no decurso de cada mês, é igual a 30%, a probabilidade de que esse animal somente venha a contrair a doença no final do terceiro mês é igual a: (A) 21% (B) 49% (C) 6,3% ( D ) 14,7% (E) 30,7 2 0,3% Como os eventos são independentes, temos: S S D S: Sadio e D: doente Probabilidade 0,7. 0,7. 0,3 = 0, 147 = 14,7% 8

9 Exemplo 14: (UFRS) Qual é a probabilidade de que, jogando-se um dado dez vezes, saia pelo menos uma vez o número 6? (A) 5 6 ( B) (C) (D) (E) 1 2 Vamos trabalhar com a probabilidade do evento complementar. Considere a probabilidade em que o número 6 não aparece nenhuma vez: Prob = 5 6 Logo a probabilidade do número 6 aparecer ao menos uma vez é dada por Exemplo 15: (UFRJ/02) Duas urnas contém, cada uma, 0 bolinhas numeradas de 1 a 0. Retira-se ao acaso uma bolinha de cada urna. Sabendo-se que todas as bolinhas têm a mesma probabilidade de serem retiradas, qual a probabilidade p de que a soma dos números obtidos seja par? Para que a soma dos números seja par devemos retirar em ambas as urnas números pares ou em ambas as urnas números ímpares. Portanto P P I I e ou e = = + = = = 50% Exemplo 16 : (UFRJ) Um alvo é formado por três círculos concêntricos. I II III 9

10 Uma flexa, ao ser lançada, pode atingir as regiões I, II e III ou não acertar o alvo, as probabilidades de um arqueiro atingir as regiões I, II e III, são iguais a,,, respectivamente. Um arqueiro lança três 2 flexas. Determine a probabilidade dele acertar somente duas flexas no alvo, ambas na região III. Primeiramente devemos conceber a idéia de que a ordem com que o arqueiro acerta e erra o alvo é importante. Temos as seguintes possibilidades AAE, AEA e EAA onde A é o acerto e E o erro. Poderíamos, em uma quantidade maior de lançamentos de flexas, usar a permutação com elementos repetidos para realizar a contagem do total de possibilidades, assim no problema em questão as três 2 3! possibilidades são calculadas do seguinte modo P3 = = 3. 2! A probabilidade do arqueiro errar o alvo é igual a 0% menos a probabilidade dele acertar o alvo (probabilidade do evento complementar) : = 1 = 1 = 2 20 Para finalizarmos o problema vamos escolher uma das ordens acima e depois multiplicar o resultado por 3 E A A = Portanto a probabilidade é dada por = IX. Lei Binomial de Probabilidade A probabilidade de ocorrer k vezes o evento A nos n experimentos é dada por: n k P ( A ) n k k = p 1 p, onde p é a probabilidade de ocorrer um evento A. k A lei binomial deve ser aplicada nas seguintes condições: - O experimento deve ser repetido nas mesmas condições as n vezes. - Em cada experimento devem ocorrer os eventos A e A. - A probabilidade do evento A deve ser constante em todas as n vezes. - Cada experimento é independente dos demais. Exemplo 17: Uma prova do tipo múltiplo escolha contém questões, com 5 alternativas cada uma. Somente uma alternativa é correta para cada questão. Qual a probabilidade de um aluno, chutando os testes, acertar metade das respostas?

11 ( A ) 2,7% (B) 2,5% (C) 3,2% (D) 3,5% (E) 3,7% Seja A o evento em que o aluno acerta 5 das questões. Sabendo-se que 1 4 e são respectivamente as probabilidades de acertar e de errar uma questão, ou seja, P(A) = e P(A) =, então: P 5 (A) = 252 0, ,7% 5 = = Exemplo 18: (UCDB-MT) Uma equipe E deve disputar 5 partidas e ela tem 2 3 de probabilidade de ganhar em cada jogo. Então a probabilidade de E ganhar 4 partidas é igual a: (A) (B) (C) (D) ( E ) Como a equipe E tem 2 3 de probabilidade de ganhar, então 1 3 é a sua probabilidade de perder. Considerando A como o evento desejado, ou seja, ganhar 4 partidas, então: P(A) = 5 4 = = Exemplo 19: (UFRJ-2006) Em um jogo, cada partida consiste no lançamento de uma moeda honesta até dez vezes. Se o número de caras obtidas atingir o valor cinco, você perde; caso contrário, você ganha. Calcule a probabilidade de você ganhar uma partida desse jogo. Para que se ganhe uma partida só é permitido todos os resultados coroa, ou apenas 1 cara, ou apenas 2 caras, ou apenas 3 caras ou apenas 4 caras. Trata-se de um problema da probabilidade da união de eventos, onde a probabilidade de cada um dos eventos é a probabilidade binomial. Por exemplo: para apenas uma cara devemos ter nove vezes coroa, em qualquer ordem (CCCCCCcCCC, CcCCCCCCCC,...) Como no lançamento de uma moeda a probabilidade de dar coroa é igual a de dar cara, então temos: Evento(A) : apenas 1 cara ! 1 1 P(A) = 1 = = 2 2 1!9!

12 Evento(B) : apenas 2 caras ! P(B) = 2 = = 2 2 2!8! Evento(C) : apenas 3 caras ! P(C) = 3 = = 2 2 3!7! Evento(D) : apenas 4 caras ! P(D) = 4 = = 2 2 4!6! Evento(E) : todos os resultados coroa 0 1 1! 1 1 P(E) = 1 = = 2 2!0! Portanto P(A B C D E) = = = = 0,3769 = 37,7%