Simulado OBM Nível 2

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1 Simulado OBM Nível 2 Gabarito Comentado Questão 1. Quantos são os números inteiros x que satisfazem à inequação? a) 13 b) 26 c) 38 d) 39 e) 40 Entre 9 e 49 temos 39 números inteiros. Questão 2. Hoje é sábado. Que dia da semana será daqui a 99 dias? a) segunda-feira b) sábado c) domingo d) sexta-feira e) quinta feira Uma semana tem 7 dias. Assim, se dividirmos 99 por 7 temos a quantidade de semanas. O resto nos dará a quantidade de dias que se passam depois de sábado. semanas, sobra 1 dia. Como estamos contando uma semana que termina no sábado, mais um dia temos DOMINGO. Gabarito: c Questão 3. Um pai tem 33 anos e seu filho, 7 anos. Depois de quantos anos a idade do pai será o triplo da idade do filho? a) 3 b) 7 c) 6 d) 9 e) 13 Consideremos a quantidade de anos passados. Hoje o pai tem 33 anos, daqui a ele terá anos. E, o filho que hoje tem 7 anos, daqui a anos terá anos. A questão quer saber depois de quantos anos a idade do pai será o triplo da idade do filho. Logo,

2 2 anos Gabarito: c Questão 4. 2 melancias custam o mesmo que 9 laranjas mais 6 bananas; além disso, meia dúzia de bananas custa a metade de uma melancia. Portanto, o preço pago por uma dúzia de laranjas e uma dúzia de bananas é igual ao preço de: a) 3 melancias b) 4 melancias c) 6 melancias d) 5 melancias e) 2 melancias Tomemos melancias por, laranjas por e bananas por. Pelos dados da questão sabemos que: Gabarito: a Questão 5. Paulo e Cezar têm algum dinheiro. Paulo dá a Cezar e, em seguida, Cezar dá a Paulo do que possui. Assim, ambos ficam com. A diferença entre as quantias que cada um tinha inicialmente é: a) b) c) d) e) Paulo tem x reais e Cezar tem y reais. A quantia que Paulo possui é: A quantia que Cezar possui é:.

3 3 Logo, x = 14 e y = 22. A diferença entre suas quantias é: y x = 8. Gabarito: b Questão 6. O retângulo da figura a seguir está dividido em 7 quadrados. Se a área do menor quadrado é igual a 1, a área do retângulo é igual a: a) 42 b) 44 c) 45 d) 48 e) 49 Completando a figura com quadradinhos de lado 1, vemos 3 quadrados de área 1, 1 quadrado de área 9, 2 quadrados de área 4 e 1 quadrado de área 25. Logo a área do retângulo é = 45. Gabarito: c Questão 7. Você possui muitos palitos com e de comprimento. Para fazer uma fila de palitos com comprimento total de 2 metros, o número mínimo de palitos que você precisa utilizar é: a) 29 b) 30 c) 31 d) 32 e) 33 A quantidade utilizada de palitos é mínima quando o número de palitos de 7 cm é máximo. Como 200 = = , o número mínimo de palitos é 29. Gabarito: a

4 4 Questão 8. A maior raiz da equação é: a) 39 b) 43 c) 47 d) 50 e) 53 Pensemos. Qual o número que ao quadrado resulta em 169? 13 ou -13. Logo, Assim, A maior raiz é. Questão 9. Uma certa máquina tem um visor, onde aparece um número inteiro, e duas teclas A e B. Quando se aperta a tecla A o número do visor é substituído por. Quando se aperta a tecla B o número do visor é substituído por. Se no visor está o número 5, apertando alguma seqüência das teclas A e B, o maior número de dois algarismos que se pode obter é: a) 85 b) 87 c) 92 d) 95 e) 96 O diagrama de árvore a seguir mostra os resultados que podem ser obtidos. Nele vemos que o maior é

5 5 Questão 10. Em um hotel há 100 pessoas. 30 comem porco, 60 comem galinha e 80 comem alface. Qual é o maior número possível de pessoas que não comem nenhum desses dois tipos de carne? a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50 Supondo que todos os que comem galinha também comem porco, então 40 pessoas, no máximo, não comem nenhum desses dois tipos de carne. Questão 11. Um retângulo ABCD está dividido em quatro retângulos menores. As áreas de três deles estão na figura abaixo. Qual é a área do retângulo ABCD? A D a) 80 b) 84 c) 86 d) 88 e) 91 B C Se dois retângulos possuem mesma altura então a razão entre suas áreas é igual a razão entre suas bases. Se dois retângulos possuem mesma base, então a razão entre suas áreas é igual a razão entre suas alturas. Isto permite concluir que o retângulo grande tem base = 13, e altura = 7. Sua área é, portanto, 13 7 = 91. Gabarito: e Questão 12. Em um aquário há peixes amarelos e vermelhos: são amarelos e são vermelhos. Uma misteriosa doença matou muitos peixes amarelos, mas nenhum vermelho. Depois que a doença foi controlada verificou-se que no aquário, os peixes vivos eram amarelos. Aproximadamente, que porcentagem dos peixes amarelos morreram? a) 15% b) 37% c) 50% d) 67% e) 84%

6 6 Imagine um aquário com 100 peixes sendo 90 amarelos e 10 vermelhos. Se peixes amarelos morreram e depois ainda havia 75% de peixes amarelos no aquário, temos que, o que dá. Se morreram 60 dos 90 peixes amarelos, a mortandade foi de, ou seja, aproximadamente 67%. Questão 13. Pedro saiu de casa e fez compras em quatro lojas, cada uma num bairro diferente. Em cada uma gastou a metade do que possuía e a seguir, ainda pagou de estacionamento. Se no final ainda tinha, que quantia tinha Pedro ao sair de casa? a) b) c) d) e) Faça as contas de trás para frente:. Questão 14. Hoje, 12/6/2010, Pedro e Maria fazem aniversário. No mesmo dia em 2007, a idade de Pedro era da idade de Maria. No mesmo dia em 2013, a idade de Pedro será igual à de Maria quando ele tinha 20 anos. Quantos anos Maria está fazendo hoje? a) 30 b) 31 c) 32 d) 33 e) 34 Sejam: a idade de Pedro e a de Maria. Primeiro temos que. Pela segunda sentença, temos que. Resolvendo o sistema, obtemos d = 7, p = 24 e p + d = 31. Gabarito: b

7 7 Questão 15. No desenho temos AE = BE = CE = CD. Além disso, e são medidas de ângulos. Qual é o valor da razão? a) b) c) d) e) Como é isósceles,. Como é isósceles,. Usando ângulo externo,. Como também é isósceles,. Finalmente, usando mais uma vez ângulo externo podemos concluir que Questão 16. Quantos dos números abaixo são maiores que 10? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 Os quadrados dos números são respectivamente: 99, 112, 125, 108 e 98. Destes, apenas o primeiro e o último são menores que o quadrado de 10 que é 100. Assim, os três números do meio são maiores que 10. Gabarito: c Questão 17. Uma grande empresa possui 84 funcionários e sabe-se que cada funcionário fala pelo menos uma das línguas entre Português e Inglês. Além disso, dos que falam Português também falam Inglês e dos que falam Inglês também falam Português. Quantos funcionários falam as duas línguas? a) 12 b) 14 c) 15 d) 16 e) 18

8 8 Seja P o número de funcionários que falam Português e I o número de funcionários que falam Inglês. É fácil ver que, Além disso,. Com isso, o número de funcionários que falam as duas línguas é Questão 18. Cinco inteiros positivos maiores que um satisfazem as seguintes condições: Quanto vale a soma? a) 9 b) 16 c) 25 d) 36 e) 49 Se são cinco inteiros maiores que um, então, e com isso, a soma quaisquer quatro deles é pelo menos 8. Observando a equação, onde e são primos, temos que e. Da mesma maneira,, então e. Mas, já sabemos que logo,. Assim, Questão 19. Seja a soma dos algarismos pares do número. Por exemplo,. Qual o valor de? a) 200 b) 360 c) 400 d) 900 e) 2250 Entre os números 1 e 100 o algarismo 2 aparece dez vezes como dígito das dezenas e dez vezes como dígito das unidades. O mesmo ocorre com os algarismos 4, 6 e 8. Portanto, a soma pedida é

9 9 Gabarito: c Questão 20. De quantas maneiras podemos dividir em moedas de 10 centavos e de 25 centavos, se pelo menos uma moeda de cada valor tem que ser usada? a) 15 b) 16 c) 17 d) 18 e) 19 Sendo a quantidade de moedas de 10 centavos e a quantidade de moedas de 25 centavos, temos que. Para que x seja um valor inteiro positivo basta que y seja qualquer número par entre 2 e 38. Logo, temos 19 maneiras diferentes. Gabarito: e Questão 21. Observe que: Qual o menor valor possível da soma com inteiros positivos tais que a) 289 b) 250 c) 425 d) 795 e) 103 Temos que Temos, então, quatro possibilidades y x 1 y x 5 y x y x 5.17, y x 5.17, y x 5.17, Resolvendo os sistemas temos: 2 y x 5 2 y x 17. O menor valor da soma x y x y é 289. Gabarito: a

10 10 Questão 22. Soninha tem muitos cartões, todos com o mesmo desenho em uma das faces. Ela vai usar cinco cores diferentes (verde, amarelo, azul, vermelho e laranja) para pintar cada uma das cinco partes do desenho, cada parte com uma cor diferente, de modo que não haja dois cartões pintados da mesma forma. Na figura abaixo, por exemplo, os cartões são iguais, pois um deles pode ser girado para se obter o outro. Quantos cartões diferentes Soninha conseguirá produzir? a) 16 b) 25 c) 30 d) 60 e) 120 Escolhendo uma cor para o quadrado do centro (como o azul do exemplo), sobram 4 cores diferentes para pintar cada uma das quatro partes restantes do desenho, cada parte com uma cor diferente, e isso pode ser feito de 6 maneiras de modo que não haja dois cartões pintados da mesma forma. 4 Pode-se verificar que há 4 maneiras iguais de se pintar os cartões, pois ao serem giradas, obtém-se a mesma. Como há 5 maneiras de escolher uma cor para o quadrado do centro, Soninha conseguirá produzir cartões diferentes. Se considerarmos que a diagonal com quadradinhos pretos é distinta da outra, então só precisamos dividir por 2. Logo Soninha conseguirá 60 cartões diferentes. Gabarito: c ou d ambas devem ser consideradas como resposta correta. Questão 23. Tenho um cubo de madeira, com três faces vermelhas e três faces azuis. O cubo é cortado em = 27 cubos menores. Quantos destes cubos menores têm, pelo menos, uma face vermelha e outra azul? a) 6 b) 12 c) 14 d) 16 e) depende de quais faces do cubo são vermelhas e quais são azuis. Se o cubo tiver um vértice cujas três faces adjacentes são todas azuis, então estas faces conterão um total de 19 cubinhos com pelo menos uma face azul. Destes, devemos descontar os 7 cubinhos (do canto destacado) que não têm face vermelha. Neste caso, exatamente 19 7 = 12 cubinhos têm pelo menos uma face de cada cor.

11 11 Por outro lado, se o cubo não tiver três faces azuis incidindo num mesmo vértice, teremos duas faces opostas e uma face lateral azul, o mesmo acontecendo para as faces vermelhas. Neste caso, supondo que as faces superior, inferior e frontal sejam azuis, há 5 cubos que não possuem cor vermelha: os 3 cubos dos centros das faces azuis e os 2 cubos que dividem face com essas faces centrais. Como o mesmo ocorre para as faces vermelhas e há 26 cubos com pelo menos uma face pintada (de vermelho ou azul), neste caso há = 16 cubos com pelo menos uma face de cada cor. Gabarito: e Questão 24. Uma loja de sabonetes realiza uma promoção com o anúncio "Compre um e leve outro pela metade do preço. Outra promoção que a loja poderia fazer oferecendo o mesmo desconto percentual é a) "Leve dois e pague um b) "Leve três e pague um c) "Leve três e pague dois d) "Leve quatro e pague três e) "Leve cinco e pague quatro Pela promoção, quem levar 2 unidades paga pelo preço de 1,5 unidade, logo quem levar 4 unidades paga pelo preço de 3 unidades, ou seja, leva quatro e paga três. Questão 25. Seis retângulos idênticos são reunidos para formar um retângulo maior conforme indicado na figura. Qual é a área deste retângulo maior? a) 210 cm 2 b) 280 cm 2 c) 430 cm 2 d) 504 cm 2 e) 588 cm 2 21 cm A partir da figura, vemos que o comprimento a dos retângulos menores é o dobro da sua largura b. Temos então que a b b 2b 3b 21, ou seja, b 7 cm e a 14 cm. 2 Portanto, o comprimento do retângulo maior é 4b 28 e a sua área é cm.

12 12 Gabarito: e Questão 26. Figuras com mesma forma representam objetos de mesma massa. Quantos quadrados são necessários para que a última balança fique em equilíbrio?? a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 12 Na primeira balança temos 3 triângulos + 1 círculo = 6 quadrados. Na segunda, vemos 2 triângulos + 4 círculos = 8 quadrados, ou seja, 1 triângulo + 2 círculos = 4 quadrados. Logo, 4 triângulos + 3 círculos = (3 triângulos + 1 círculo) + (1 triângulo + 2 círculos) = 6 quadrados + 4 quadrados = 10 quadrados. Questão 27. Os inteiros positivos x e y satisfazem a equação x y x y Qual das alternativas apresenta um possível valor de y? a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) Como e x é inteiro positivo,

13 13 A única alternativa que contém um número da forma 4x 1 é a alternativa C. Gabarito: c Questão 28. O desenho ao lado mostra um pedaço de papelão que será dobrado e colado nas bordas para formar uma caixa retangular. Os ângulos nos cantos do papelão são todos retos. Qual será o volume da caixa em cm 3? 15 cm 20 cm 40 cm a) b) c) d) e) A caixa terá dimensões 20 cm 15 cm 10 cm. Logo, seu volume será igual a = 3000 cm cm 20 cm 10 cm 40 cm Gabarito: b Questão 29. Sendo e números reais, pela propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição, é verdade que A distributiva da adição em relação à multiplicação não é sempre verdadeira, mas ocorre se, e somente se, a) ou b) a = b = c c) A igualdade nunca ocorre d) a + b + c = 1 ou a = 0 e) a = b = c = 0

14 14 Temos Tomando a = 1 e b = c = 0 vemos que as demais alternativas estão incorretas. Questão 30. Dentre os números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 10, escolha alguns e coloque-os nos círculos brancos de tal forma que a soma dos números em dois círculos vizinhos seja sempre um quadrado perfeito. Atenção: o 2 já foi colocado em um dos círculos e não é permitido colocar números repetidos; além disso, círculos separados pelo retângulo preto não são vizinhos. 2 A soma dos números colocados em todos os círculos brancos é: a) 36 b) 46 c) 47 d) 49 e) 55 Nas condições dadas, a distribuição dos números pelos círculos é a representada a seguir. A soma dos números escritos é 46. Gabarito: b