Princípio Fundamental da Contagem

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1 Princípio Fundamental da Contagem 1. (Uem 2013) Seja A o seguinte conjunto de números naturais: A {1, 2, 4, 6, 8}. Assinale o que for correto. 01) Podem ser formados exatamente 24 números ímpares com 4 algarismos escolhidos dentre os elementos do conjunto A. 02) Existem exatamente 96 números de algarismos formados com elementos distintos de A e terminados com um algarismo par. 04) Podem ser formados exatamente 64 números pares de 3 algarismos com elementos do conjunto A. 08) Existem exatamente 3.12 números menores do que formados com elementos do conjunto A. 16) Podem ser formados exatamente 49 números menores do que 30 com elementos distintos do conjunto A. 2. (Uel 2013) Os clientes de um banco, ao utilizarem seus cartões nos caixas eletrônicos, digitavam uma senha numérica composta por cinco algarismos. Com o intuito de melhorar a segurança da utilização desses cartões, o banco solicitou a seus clientes que cadastrassem senhas numéricas com seis algarismos. Se a segurança for definida pela quantidade de possíveis senhas, em quanto aumentou percentualmente a segurança na utilização dos cartões? a) 10% b) 90% c) 100% d) 900% e) 1900% 3. (Uepg 2013) Para formar uma senha, devem ser escolhidos três elementos distintos do conjunto {a, b, c, d, 1, 2, 3, 4, }. Nesse contexto, assinale o que for correto. 01) O número de senhas formadas por dois algarismos e uma letra, nessa ordem, é menor que ) O número de senhas formadas somente por algarismos é ) O número de senhas formadas por letras e algarismos é ) Podem ser formadas mais de 00 senhas. Página 1 de 10

2 4. (Ufrn 2013) O quadro de avisos de uma escola de ensino médio foi dividido em quatro partes, como mostra a figura a seguir. No retângulo à esquerda, são colocados os avisos da diretoria, e, nos outros três retângulos, serão colocados, respectivamente, de cima para baixo, os avisos dos 1º, 2º e 3º anos do ensino médio. A escola resolveu que retângulos adjacentes (vizinhos) fossem pintados, no quadro, com cores diferentes. Para isso, disponibilizou cinco cores e solicitou aos servidores e alunos sugestões para a disposição das cores no quadro. Determine o número máximo de sugestões diferentes que podem ser apresentadas pelos servidores e alunos.. (Uerj 2013) Na ilustração abaixo, as 2 cartas de um baralho estão agrupadas em linhas com 13 cartas de mesmo naipe e colunas com 4 cartas de mesmo valor. Denomina-se quadra a reunião de quatro cartas de mesmo valor. Observe, em um conjunto de cinco cartas, um exemplo de quadra: O número total de conjuntos distintos de cinco cartas desse baralho que contêm uma quadra é igual a: a) 624 b) 676 c) 71 d) Página 2 de 10

3 6. (Ufg 2013) Uma pessoa dispõe de R$800,00 para comprar camisas e calças, de modo a obter exatamente vinte trajes distintos. Cada traje consiste de uma calça e uma camisa, que custam R$110,00 e R$6,00, respectivamente. Considerando-se que cada peça pode fazer parte de mais de um traje, calcule o número de camisas e de calças que a pessoa comprará sem ultrapassar a quantia em dinheiro de que dispõe. 7. (Cefet MG 2013) Um grupo de amigos, ao planejar suas férias coletivas, listou 12 cidades brasileiras que pretendem conhecer juntos, sendo que seis ficam no litoral e seis no interior do país. O critério estabelecido foi de alternar as férias, em cada ano, ora em cidades litorâneas, ora, em interioranas, definindo-se que, nos próximos 12 anos, será visitada uma cidade diferente por ano. Desse modo, a quantidade de maneiras possíveis para atender a esse critério é a) b) c) d) e) (Unicamp 2013) Para acomodar a crescente quantidade de veículos, estuda-se mudar as placas, atualmente com três letras e quatro algarismos numéricos, para quatro letras e três algarismos numéricos, como está ilustrado abaixo. ABC 1234 ABCD 123 Considere o alfabeto com 26 letras e os algarismos de 0 a 9. O aumento obtido com essa modificação em relação ao número máximo de placas em vigor seria a) inferior ao dobro. b) superior ao dobro e inferior ao triplo. c) superior ao triplo e inferior ao quádruplo. d) mais que o quádruplo. 9. (Espm 2013) Com os algarismos 1, 2, 3, 4 e podemos formar 60 números naturais de 3 algarismos distintos. Desse total, a quantidade dos que são divisíveis por 6 é: a) 10 b) 12 c) d) 8 e) (Udesc 2012) As frutas são alimentos que não podem faltar na nossa alimentação, pelas suas vitaminas e pela energia que nos fornecem. Vera consultou um nutricionista que lhe sugeriu uma dieta que incluísse a ingestão de três frutas diariamente, dentre as seguintes opções: abacaxi, banana, caqui, laranja, maçã, pera e uva. Suponha que Vera siga rigorosamente a sugestão do nutricionista, ingerindo três frutas por dia, sendo pelo menos duas diferentes. Então, ela pode montar sua dieta diária, com as opções diferentes de frutas recomendadas, de: a) 7 maneiras. b) 0 maneiras. c) 6 maneiras. d) 77 maneiras. e) 98 maneiras. 11. (Ufpe 2012) Um casal está fazendo uma trilha junto com outras 10 pessoas. Em algum momento, eles devem cruzar um rio em 4 jangadas, cada uma com capacidade para 3 pessoas (excluindo o jangadeiro). De quantas maneiras, os grupos podem ser organizados para a travessia, se o casal quer ficar na mesma jangada? Assinale a soma dos dígitos. Página 3 de 10

4 12. (Ufu 2012) Um projeto piloto desenvolvido em um curso de Engenharia Mecânica prevê a construção do robô Eddie, cujos movimentos estão limitados apenas a andar para frente (F) e para a direita (D). Suponha que Eddie está na posição A e deseja-se que ele se desloque até chegar à posição B, valendo-se dos movimentos que lhe são permitidos. Admita que cada movimento feito por Eddie o leve a uma posição consecutiva, conforme ilustra um esquema a seguir, em que foram realizados 10 movimentos (as posições possíveis estão marcadas por pontos e o percurso executado de A até B, é representado pela sequência ordenada de movimentos D F D D F F D F F D). Com base nas informações acima, o número de maneiras possíveis de Eddie se deslocar de A até B, sem passar pelo ponto C, é igual a a) 192 b) 60 c) 1 d) (Fgvrj 2012) a) Oito meias azuis idênticas e oito meias pretas idênticas estão em uma gaveta em um quarto escuro. Quantas meias, no mínimo, uma pessoa deve apanhar para ter certeza de conseguir 1. um par de meias da mesma cor? 2. um par de meias azuis? b) Bruna tem exatamente R$ 64,00. Ela aposta quatro vezes no lançamento de uma moeda. A cada vez, aposta exatamente metade da quantia que tem. Bruna ganha ou perde a quantia apostada. Ela vence em metade dos lançamentos da moeda. Qual será sua quantia no final? 14. (G1 - ifpe 2012) Por questão de segurança os bancos instalaram ao lado da maçaneta da porta, que dá acesso à área por trás dos caixas, um teclado como o da figura abaixo. Para entrar nessa área, cada funcionário tem a sua própria senha. Suponha que esta senha seja composta por quatro dígitos distintos. Quantas senhas poderão ser criadas se forem usados apenas os números primos que aparecem no teclado? a) 6 b) 24 c) 80 d) 120 e) Página 4 de 10

5 1. (Enem 2012) O diretor de uma escola convidou os 280 alunos de terceiro ano a participarem de uma brincadeira. Suponha que existem objetos e 6 personagens numa casa de 9 cômodos; um dos personagens esconde um dos objetos em um dos cômodos da casa. O objetivo da brincadeira é adivinhar qual objeto foi escondido por qual personagem e em qual cômodo da casa o objeto foi escondido. Todos os alunos decidiram participar. A cada vez um aluno é sorteado e dá a sua resposta. As respostas devem ser sempre distintas das anteriores, e um mesmo aluno não pode ser sorteado mais de uma vez. Se a resposta do aluno estiver correta, ele é declarado vencedor e a brincadeira é encerrada. O diretor sabe que algum aluno acertará a resposta porque há a) 10 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. b) 20 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. c) 119 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. d) 260 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. e) 270 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. 16. (Fgv 2012) Usando as letras do conjunto {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j}, quantas senhas de 4 letras podem ser formadas de modo que duas letras adjacentes, isto é, vizinhas, sejam necessariamente diferentes? a) b) 040 c) d) e) (Mackenzie 2012) Os vértices de um cubo são pintados de azul ou de vermelho. A pintura dos vértices é feita de modo que cada aresta do cubo tenha pelo menos uma de suas extremidades pintada de vermelho. O menor número possível de vértices pintados de vermelho nesse cubo é a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) (Unisinos 2012) Num restaurante, são oferecidos 4 tipos de carne, tipos de massa, 8 tipos de salada e 6 tipos de sobremesa. De quantas maneiras diferentes podemos escolher uma refeição composta por 1 carne, 1 massa, 1 salada e 1 sobremesa? a) 23. b) 24. c) 401. d) 72. e) (Pucrj 2012) Seja A o conjunto dos números inteiros positivos com três algarismos. Seja B o subconjunto de A dos números ímpares com três algarismos distintos. Quantos elementos tem o conjunto B? a) 12 b) 168 c) 320 d) 360 e) (Ufjf 2012) Uma empresa escolherá um chefe para cada uma de suas repartições A e B. Cada chefe deve ser escolhido entre os funcionários das respectivas repartições e não devem ser ambos do mesmo sexo. Abaixo é apresentado o quadro de funcionários das repartições A e B. FUNCIONÁRIOS REPARTIÇÕES A Mulheres 4 7 Homens 6 3 B De quantas maneiras é possível ocupar esses dois cargos? a) 12. b) 24. c) 42. d) 4. e) Página de 10

6 Gabarito: Resposta da questão 1: = 18. [01] Incorreto. Temos uma possibilidade para o algarismo das unidades e cinco para cada um dos outros algarismos. Portanto, pelo PFC, podemos formar 1 12 números ímpares com 4 algarismos escolhidos dentre os elementos do conjunto A. [02] Correto. Podemos escolher o algarismo das unidades de quatro maneiras. Definido o algarismo das unidades, os outros quatro algarismos serão os elementos que restam de Portanto, o resultado é A. 4P 4 4! [04] Incorreto. Existem quatro escolhas para o algarismo das unidades, e cinco escolhas para os algarismos das dezenas e das centenas. Desse modo, pelo PFC, podem ser formados números pares de 3 algarismos com elementos do conjunto A [08] Incorreto. Podemos formar 3 números de cinco algarismos, 2 4 números de quatro algarismos, números de três algarismos, números de dois algarismos e números de um algarismo. Portanto, é possível formar exatamente números menores do que com elementos do conjunto A. [16] Correto. Temos números com um algarismo, 4 20 números com dois algarismos e números com três algarismos, totalizando números com elementos distintos de A e menores do que Resposta da questão 2: [D] 10 O número de senhas com algarismos é e o número de senhas com 6 algarismos é Desse modo, o aumento percentual da segurança foi de (10 1) 100% 100% % Resposta da questão 3: = 10. [01] Falsa, pois [02] Verdadeira, pois [04] Falsa, pois 9 letras) 4 [08] Verdadeira, pois 9 4 = 100 > = (todas as senhas possíveis) (senhas formadas apenas por 3 (senhas formadas apenas por algarismos) = = 04. Resposta da questão 4: Temos possibilidades para escolher a cor do retângulo vertical, 4 para escolher a cor do primeiro retângulo horizontal, 3 para escolher a cor do segundo retângulo horizontal e 3 para escolher a cor do terceiro retângulo horizontal. Página 6 de 10

7 Portanto, pelo PFC, existem, no máximo, apresentadas pelos servidores e alunos. sugestões diferentes que podem ser Resposta da questão : [A] Temos 13 conjuntos de quatro valores iguais e para cada um destes conjuntos temos 48 (2 4) cartas distintas. Logo, = 624. Resposta da questão 6: Possíveis compras (o produto das quantidades deve ser 20) 1 calça e 20 camisas: (maior que 800) 2 calças e 10 camisas: (maior que 800) 4 calças e camisas: (menor que 800) calças e 4 camisas: (maior que 800) 10 calças e 2 camisas: (maior que 800) 20 calças e 1 camisa: (maior que 800) Logo, a pessoa comprará 4 calças e camisas. Resposta da questão 7: [E] Temos duas sequências possíveis (I = interior e L = litoral) I L I L I L I L I L I L ou L I L I L I L I L I L I Em números, temos: = = Resposta da questão 8: [A] Total de placas possíveis no modelo em estudo: Total de placas possíveis no modelo atual: Razão entre os dois valores: ,6. Portanto, o aumento será de 2,6 1 = 1,6 (160%), ou seja, menos que o dobro. Resposta da questão 9: [D] Dos 60 números que podemos formar, apenas 132, 234, 312, 324, 342, 34, 432 e 34 são divisíveis por 6. Logo, o resultado pedido é 8. Página 7 de 10

8 Resposta da questão 10: [D] Existem 7 7! 3 3 3! 4! maneiras de escolher três frutas distintas e escolher três frutas, sendo pelo menos duas distintas. modos de Portanto, Vera pode montar sua dieta diária de maneiras. Resposta da questão 11: 10. Existem 10 modos de escolher a pessoa que irá cruzar o rio na jangada do casal. Além disso, as 9 pessoas restantes podem ser distribuídas nas outras 3 jangadas de ! 6! 1 3! 3! 6! 3! 3! 3! modos. Portanto, pelo PFC, segue que o resultado pedido é dado por Resposta da questão 12: [A] Qualquer que seja o percurso de A até B, serão necessários deslocamentos para frente e para a direita. Logo, existem trajetos possíveis. Por outro lado, existem (, ) 10! P10 22!! (4, 2) 6! 6 P6 1 4! 2! 2 percursos de A até C, e (3) 4! P4 4 3! trajetos de C por C. até B. Desse modo, pelo PFC, há percursos de A até B passando Portanto, o resultado pedido é dado por Página 8 de 10

9 Resposta da questão 13: a) i) Como existem apenas duas cores, se retirar duas meias ela poderá obter um par de cores diferentes. Assim, retirando a terceira meia, ela terá, necessariamente, um par da mesma cor. ii) Retirando oito meias, todas poderão ser pretas. Logo, para ter certeza de que irá retirar um par de meias azuis, ela deve apanhar, no mínimo, 10 meias. b) Ganhando a aposta, Bruna ficará com com com da quantia que possui. Se perder a aposta, ficará da quantia que tinha antes da aposta. Desse modo, vencendo duas apostas, ela ficará R$ 36, Resposta da questão 14: [B] Números primos do teclado: 2, 3, e 7. Número de senhas: = 24. Resposta da questão 1: [A] Pelo PFC, existem acertará a resposta porque há possíveis Resposta da questão 16: [A] respostas possíveis. Portanto, o diretor sabe que algum aluno alunos a mais do que o número de respostas Para a primeira posição, temos 10 possibilidades. Para a segunda posição, temos 9 possibilidades, já que não pode ser igual à da primeira. Para a terceira posição, temos 9 possibilidades, já que não pode ser igual à da segunda. Para a quarta posição, temos 9 possibilidades, já que não pode ser igual à da terceira. Logo, o número de senhas possíveis será = Resposta da questão 17: [C] Pintando um vértice de azul e outro de vermelho em cada aresta, segue que o menor número possível de vértices pintados de vermelho nesse cubo é 4. Resposta da questão 18: [E] Aplicando o princípio fundamental da contagem, temos: = 960. Resposta da questão 19: [C] Existem escolhas para o algarismo das unidades, 8 escolhas para o algarismo das centenas (devemos excluir o zero) e 8 escolhas para o algarismo das dezenas. Portanto, pelo PFC, B possui elementos. Página 9 de 10

10 Resposta da questão 20: [D] Existem 4 maneiras de escolher uma mulher da repartição A, e 3 maneiras de escolher um homem da repartição B. Logo, pelo PFC, existem modos de escolher uma mulher da repartição A e um homem da repartição B. Por outro lado, existem 6 maneiras de escolher um homem da repartição A, e 7 maneiras de escolher uma mulher da repartição B. Assim, existem modos de escolher um homem da repartição A e uma mulher da repartição B. Por conseguinte, é possível ocupar os dois cargos de maneiras. Página 10 de 10