Combinação. Calcule o número de mensagens distintas que esse sistema pode emitir.

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1 Combinação 1. (Uerj 2013) Um sistema luminoso, constituído de oito módulos idênticos, foi montado para emitir mensagens em código. Cada módulo possui três lâmpadas de cores diferentes vermelha, amarela e verde. Observe a figura: Considere as seguintes informações: cada módulo pode acender apenas uma lâmpada por vez; qualquer mensagem é configurada pelo acendimento simultâneo de três lâmpadas vermelhas, duas verdes e uma amarela, permanecendo dois módulos com as três lâmpadas apagadas; duas mensagens são diferentes quando pelo menos uma das posições dessas cores acesas é diferente. Calcule o número de mensagens distintas que esse sistema pode emitir. 2. (Unesp 2013) Quantos são os números naturais que podem ser decompostos em um produto de quatro fatores primos, positivos e distintos, considerando que os quatro sejam menores que 30? 3. (G1 - ifsp 2013) Dispõe-se de cinco cores para colorir o retângulo que está dividido em quatro outros retângulos menores, R 1, R 2, R 3 e R 4, de maneira que retângulos com um lado comum não devem ser coloridos com a mesma cor. O número de modos diferentes de colorir os quatro retângulos com apenas duas cores é R 1 R 2 R 3 R 4 a) 8. b) 12. c) 15. d) 18. e) Página 1 de 11

2 4. (Epcar (Afa) 2013) Num acampamento militar, serão instaladas três barracas: I, II e III. Nelas, serão alojados 10 soldados, dentre eles o soldado A e o soldado B, de tal maneira que fiquem 4 soldados na barraca I, 3 na barraca II e 3 na barraca III. Se o soldado A deve ficar na barraca I e o soldado B NÃO deve ficar na barraca III, então o número de maneiras distintas de distribuí-los é igual a a) 560 b) 1120 c) 1680 d) (Ufsm 2013) As doenças cardiovasculares aparecem em primeiro lugar entre as causas de morte no Brasil. As cirurgias cardíacas são alternativas bastante eficazes no tratamento dessas doenças. Supõe-se que um hospital dispõe de 5 médicos cardiologistas, 2 médicos anestesistas e 6 instrumentadores que fazem parte do grupo de profissionais habilitados para realizar cirurgias cardíacas. Quantas equipes diferentes podem ser formadas com 3 cardiologistas, 1 anestesista e 4 instrumentadores? a) 200. b) 300. c) 600. d) 720. e) (Pucrj 2013) Em uma sorveteria há sorvetes nos sabores morango, chocolate, creme e flocos. De quantas maneiras podemos montar uma casquinha com duas bolas nessa sorveteria? a) 10 maneiras b) 9 maneiras c) 8 maneiras d) 7 maneiras e) 6 maneiras 7. (Ibmecrj 2013) Uma tradicional competição entre 24 times sempre foi organizada em três fases. Na primeira fase, os times são divididos em seis grupos de quatro times, em que cada time joga uma vez contra cada time do mesmo grupo. O último colocado de cada grupo é eliminado. Os times restantes vão para a segunda fase, na qual não há divisão em grupos e todos os times se enfrentam, cada par uma única vez. Os dois times com maior pontuação na segunda fase se enfrentam, na terceira fase, em uma partida final que define o campeão. No próximo ano, os times passarão a ser divididos em quatro grupos de seis times e os dois últimos colocados de cada grupo serão eliminados ao final da primeira fase. O restante da competição continuará como antes. Nessa nova organização, a) o número de partidas da primeira fase diminuirá. b) o número de partidas da segunda fase aumentará. c) o número total de partidas da competição diminuirá. d) o número de partidas que um time precisa disputar para sagrar-se campeão aumentará. e) o número de times eliminados na primeira fase diminuirá. 8. (Pucrj 2013) Em uma sorveteria, há sorvetes nos sabores morango, chocolate, creme e flocos. De quantas maneiras podemos montar uma casquinha, com dois sabores diferentes, nessa sorveteria? a) 6 maneiras b) 7 maneiras c) 8 maneiras d) 9 maneiras e) 10 maneiras Página 2 de 11

3 9. (Pucrs 2013) Para a escolha de um júri popular formado por 21 pessoas, o juiz-presidente de uma determinada Comarca dispõe de uma listagem com nomes de trinta homens e de vinte mulheres. O número de possibilidades de formar um júri popular composto por exatamente 15 homens é a) b) c) d) e) C C A30 A C30 C A30 A20 21 C (Upe 2013) Em uma turma de um curso de espanhol, três pessoas pretendem fazer intercâmbio no Chile, e sete na Espanha. Dentre essas dez pessoas, foram escolhidas duas para uma entrevista que sorteará bolsas de estudo no exterior. A probabilidade de essas duas pessoas escolhidas pertencerem ao grupo das que pretendem fazer intercâmbio no Chile é a) 1/5 b) 1/15 c) 1/45 d) 3/10 e) 3/7 11. (Udesc 2013) Uma turma de 25 alunos precisa escolher 6 representantes. Sabe-se que 28% dos alunos desta turma são mulheres, e que os representantes escolhidos devem ser 3 homens e 3 mulheres. Assim, o número de possibilidades para esta escolha é: a) b) 851 c) d) e) (Insper 2012) A tabela da Copa do Mundo de 2014, divulgada em outubro último, definiu as quantidades de jogos que serão realizados em cada uma das 12 cidades sedes, informadas parcialmente a seguir. Cidade Número de jogos Belo Horizonte??? Brasília 7 Cuiabá 4 Curitiba 4 Fortaleza 6 Manaus 4 Natal 4 Porto Alegre 5 Recife 5 Rio de Janeiro 7 Salvador 6 São Paulo??? Na 1ª fase, haverá oito grupos com quatro seleções em cada um, devendo cada seleção enfrentar uma única vez todos os integrantes do seu grupo. Na fase de oitavas de final, cada uma das 16 equipes classificadas jogará uma única vez, o mesmo ocorrendo nas quartas de final com as oito equipes classificadas. Depois disso, restarão ainda quatro jogos (semifinais, disputa de 3º lugar e final) para definir o campeão mundial. Sabendo que São Paulo e Belo Horizonte abrigarão o mesmo número de jogos, conclui-se que haverá, em cada uma dessas duas cidades, um total de a) 4 jogos. b) 5 jogos. Página 3 de 11

4 c) 6 jogos. d) 7 jogos. e) 8 jogos. 13. (Ufpe 2012) As pedras de um dominó usual são compostas por dois quadrados, com 7 possíveis marcas (de zero pontos até 6 pontos). Quantas pedras terá um dominó se cada quadrado puder ter até 9 pontos? Veja no desenho abaixo um exemplo de uma nova pedra do dominó. 14. (Fgvrj 2012) Cinco estudantes param para pernoitar em um hotel à beira da estrada. Há dois quartos disponíveis, um com duas camas e outro com três. De quantas maneiras eles podem se dividir em dois grupos, um com duas pessoas e outro com três, para se hospedar no hotel? a) 80 b) 40 c) 20 d) 10 e) (Mackenzie 2012) Um juiz dispõe de 10 pessoas, das quais somente 4 são advogados, para formar um único júri com 7 jurados. O número de formas de compor o júri, com pelo menos um advogado é a) b) c) d) e) (Fuvest 2012) a) Dez meninas e seis meninos participarão de um torneio de tênis infantil. De quantas maneiras distintas essas 16 crianças podem ser separadas nos grupos A, B, C e D, cada um deles com 4 jogadores, sabendo que os grupos A e C serão formados apenas por meninas e o grupo B, apenas por meninos? b) Acontecida a fase inicial do torneio, a fase semifinal terá os jogos entre Maria e João e entre Marta e José. Os vencedores de cada um dos jogos farão a final. Dado que a probabilidade de um menino ganhar de uma menina é 35, calcule a probabilidade de uma menina vencer o torneio. 17. (Uftm 2012) Os seis números naturais positivos marcados nas faces de um dado são tais que: I. não existem faces com números repetidos; II. a soma dos números em faces opostas é sempre 20; III. existem 4 faces com números ímpares e 2 faces com números pares. O total de conjuntos distintos com os seis números que podem compor as faces de um dado como o descrito é a) 20. b) 28. c) 36. d) 38. e) Página 4 de 11

5 18. (Fgv 2012) Oito garotas chegam de férias a uma pequena cidade do litoral norte. Dirigemse a um hotel onde somente estão disponíveis dois quartos triplos e um quarto duplo. a) De quantos modos diferentes elas podem alojar-se no hotel? b) As ruas da cidade interceptam-se em ângulos retos, como mostra a figura. Certo dia, elas decidem almoçar no único restaurante da cidade. Quantos caminhos diferentes elas podem escolher para ir do hotel ao restaurante? Elas caminham somente para o norte ou para o leste. A figura indica um possível caminho. 19. (Uern 2012) Uma família do interior, composta por 10 pessoas, necessita fazer uma viagem de retorno à cidade de origem após passar férias no litoral. A viagem será feita de ônibus, no domingo, e apenas dois horários estão disponíveis. De quantas maneiras poderão viajar essas pessoas de forma que a metade da família viaje num ônibus e a outra metade no outro? a) 45 b) 252 c) 136 d) (Unioeste 2012) Um professor disse que já preparou questões para a prova bimestral, e com estas questões, pode fazer 255 provas diferentes. Quantas questões ele preparou? a) 4. b) 7. c) 18. d) 14. e) 8. Página 5 de 11

6 Gabarito: Resposta da questão 1: 1ª Solução: O número de mensagens distintas que o sistema pode emitir é dado por ! 5! 3! ! 5! 2! 3! 1! 2! ª Solução: O número de mensagens distintas que o sistema pode emitir corresponde ao número de permutações de 8 lâmpadas, sendo 3 vermelhas, 2 verdes, 1 amarela e 2 apagadas, ou seja, P (3, 2, 2) 8 8! 3! 2! 2! Resposta da questão 2: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 (dez primos positivos menores que 30) A quantidade de números naturais, formados por 4 desses fatores, será obtida através de uma combinação simples de 10 elementos tomados 4 a 4. 10! C10, !.6! 24 Resposta da questão 3: [E] Existem apenas duas maneiras de colorir os retângulos usando as cores A e B: 5! Escolhendo duas entre as 5 cotes disponíveis. C5,2 10 2!.3! Número de maneiras para se pintar os retângulos: Página 6 de 11

7 Resposta da questão 4: [B] 1º caso: Soldados A e B na barraca I Barraca I: C 8,2 = 28 Barraca II: C 6,3 = 20 Barraca III: C 3,3 = 1 Total(1) = = º caso: Soldado A na barraca I e soldado B na barraca II Barraca I: C 8,3 = 56 Baraca II CC 5,2 =10 Barraca III: C 3,3 = 1 Total(2) = = 560. Então, o número de maneiras distintas de distribuí-los é igual a = Resposta da questão 5: [B] O resultado pedido é dado por ! 6! ! 2! 4! 2! Resposta da questão 6: [A] O número de maneiras que podemos montar uma casquinha com duas bolas corresponde ao número de combinações completas de 4 sabores tomados 2 a 2, isto é, ! 5 4 CR4 C ! 3! 2 Resposta da questão 7: [C] Na 1ª fase, cada grupo de times terá 4 4! 6 2 2! 2! jogos. Logo, serão disputadas partidas nessa fase. Se um time é eliminado de cada grupo, a 2ª fase terá equipes. Desse modo, serão disputados 18 18! ! 2! jogos na 2ª fase. Como apenas dois times vão para a 3ª fase, segue que o número total de partidas é igual a No outro formato, cada grupo de times terá 6 6! 15 jogos. Logo, serão 2 4! 2! disputadas partidas nessa fase. Se dois times são eliminados de cada grupo, a 2ª Página 7 de 11

8 fase terá equipes. Desse modo, serão disputados 16 16! ! 2! 2ª fase, o que perfaz um total de jogos (contando com a final). jogos na Finalmente, como , segue-se que o número total de partidas da competição diminuirá. Resposta da questão 8: [A] O número de maneiras possíveis de montar uma casquinha, com dois sabores distintos, sabendo que existem quatro sabores disponíveis, é dado por 4 4! ! 2! Resposta da questão 9: [A] Como o júri é formado por 21 pessoas, sendo que exatamente 15 delas são homens, seguese que o número de mulheres nesse júri é igual a Portanto, o resultado é dado por Resposta da questão 10: [B] Existem intercâmbio no Chile, e Logo, a probabilidade pedida é Resposta da questão 11: [A] modos de escolher duas pessoas dentre aquelas que pretendem fazer 10 10! ! 8! maneiras de escolher duas pessoas quaisquer. Como a turma é constituída de 0, ! 18! 3 3 3! 4! 3! 15! mulheres e homens, existem modos de escolher 6 representantes, sendo 3 homens e 3 mulheres. Página 8 de 11

9 Resposta da questão 12: [C] Jogos na primeira fase: Jogos nas oitavas de final: 8 Jogos nas quartas de final: 4 Jogos nas semifinais: 2 Disputa do terceiro lugar: 1 Final: 1 Total de jogos: 64 8.C4, Considerando x como o número de jogos em Belo Horizonte e São Paulo, temos: x x = 64 2x + 52 = 64 2x = 12 x = 6 Resposta da questão 13: 55. 1ª Solução: Como cada quadrado pode ter até ! ! 8! ª Solução: pedras. pontos, existem 10 pedras com pontos iguais e pedras com pontos diferentes. Portanto, um dominó de 9 pontos possui O número de pedras de um dominó de 9 pontos é dado pelo número de combinações completas de 10 objetos tomados 2 a 2, ou seja, 3ª solução: Existem 10 indiferente, temos com números iguais ! CR10 C ! 9! escolhas para o 1º número e para o 2º. Como a ordem dessas escolhas é pedras com números diferentes. Além disso, temos 10 pedras Portanto, um dominó de 9 Resposta da questão 14: [D] pontos possui pedras. Escolhendo dois estudantes para o primeiro quarto sobram sempre três estudantes para o segundo quarto. 5! C5,2 C5,3 10 2!.3! Página 9 de 11

10 Resposta da questão 15: [C] Qualquer júri composto por sete jurados sempre terá um advogado, já que o número de jurados que não são advogados é apenas 6. Portanto, o número de júris com pelo menos um advogado será dado por: 10! C10, !.3! Resposta da questão 16: a) Observe: Grupos : A (meninas) B (meninos) C (meninas) e D (meninos e meninas) C 210 C 15 C 15 C 1 10,4 6,4 6,4 4,4 Total b) Final Marta e Maria e uma mulher vencer: Final Maria e José e uma Maria vencer: Final marta e João e uma Marta vencer: Probabilidade pedida Resposta da questão 17: [E] De acordo com as informações, temos que os números que irão figurar nas faces opostas do dado constituem os seguintes pares:... (1,19), (2,18), (3,17), (4,16), (5,15), (6,14), (7,13), (8,12) e (9,11). Assim, para compor o dado, temos 5 5! ! 3! modos de escolher dois pares com números ímpares e 4 maneiras de selecionar o outro par. Portanto, o resultado pedido é Resposta da questão 18: a) 3 pessoas para o primeiro quarto: c8, ! pessoas para o segundo quarto: c5, ! 2 pessoas para o terceiro quarto c2,2 1. Portanto = 560. b) Escolhendo 4 caminhos para norte, num total de 10, temos: c10, Página 10 de 11

11 Resposta da questão 19: [B] O resultado pedido é dado por ! ! 5! Resposta da questão 20: [E] Admitindo que as provas sejam diferentes apenas pela natureza das questões, isto é a ordem das questões não diferencia provas. A prova pode ter 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7..., (n - 1), ou n questões. n n n n n n n n 2 n 1 n n n n n 8 Página 11 de 11