Equação do Segundo Grau

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1 Equação do Segundo Grau 1. (G1 - ifsp 014) A soma das soluções inteiras da equação x 1 x 5 x 5x 6 0 é a) 1. b). c) 5. d) 7. e) 11.. (G1 - utfpr 014) O valor da maior das raízes da equação x + x + 1 = 0, é: a) b) 1 c) 1 d) 1/ e) 1/. (G1 - ifce 014) Determinando-se, na equação x 6x , a soma das raízes, obtémse a) 5. b) 4. c). d). e) (Ufg 014) Uma loja vende Q caixas de um certo tipo de buchas plásticas por R$ 480,00. Para acabar com o estoque dessas buchas, a loja anuncia um desconto de R$ 8,00 no preço de cada caixa, de modo que o preço de Q caixas dessas buchas ainda é R$ 480,00. Diante do exposto, calcule o valor de Q. 5. (G1 - cftrj 014) Para qual valor de a a equação x ax x ax 1 0 tem duas raízes reais e iguais? a) 1 b) 0 c) 1 d) 6. (Espm 014) Se as raízes da equação igual a: a) 5 b) 4 c) 4 x 5x 4 0 são m e n, o valor de 1 1 é m n d) 7 4 e) 5 Página 1 de 10

2 7. (Unifor 014) Uma indústria de cimento contrata uma transportadora de caminhões para fazer a entrega de 60 toneladas de cimento por dia em Fortaleza. Devido a problemas operacionais diversos, em certo dia, cada caminhão foi carregado com 500 kg a menos que o usual, fazendo com que a transportadora nesse dia contratasse mais 4 caminhões para cumprir o contrato. Baseado nos dados acima se pode afirmar que o número de caminhões usado naquele dia foi: a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 8. (G1 - cftmg 01) Se o produto de dois números naturais pares consecutivos é igual a 60, então a soma deles é a). b) 4. c) 6. d) (G1 - utfpr 01) O(s) valor(es) de m para que a equação uma raiz real é(são): a) 0. b) 4. c) 1. d). e) inexistente para satisfazer esta condição. x mx 0 tenha apenas 10. (Uepg 01) Sendo p e q as raízes da função assinale o que for correto. 01) O valor de a é um número inteiro. 0) O valor de a está entre 0 e 0. 04) O valor de a é um número positivo. 08) O valor de a é um número menor que ) O valor de a é um número fracionário. y x 5x a, onde 1 1 4, p q 11. (Enem PPL 01) Uma fábrica utiliza sua frota particular de caminhões para distribuir as 90 toneladas de sua produção semanal. Todos os caminhões são do mesmo modelo e, para aumentar a vida útil da frota, adota-se a política de reduzir a capacidade máxima de carga de cada caminhão em meia tonelada. Com essa medida de redução, o número de caminhões necessários para transportar a produção semanal aumenta em 6 unidades em relação ao número de caminhões necessários para transportar a produção, usando a capacidade máxima de carga de cada caminhão. Qual é o número atual de caminhões que essa fábrica usa para transportar a produção semanal, respeitando-se a política de redução de carga? a) 6 b) 0 c) 19 d) 16 e) (Fuvest 01) Um empreiteiro contratou um serviço com um grupo de trabalhadores pelo valor de R$ ,00 a serem igualmente divididos entre eles. Como três desistiram do trabalho, o valor contratado foi dividido igualmente entre os demais. Assim, o empreiteiro pagou, a cada um dos trabalhadores que realizaram o serviço, R$ 600,00 além do combinado no acordo original. a) Quantos trabalhadores realizaram o serviço? b) Quanto recebeu cada um deles? Página de 10

3 1. (G1 - cftmg 01) As raízes da equação x + mx + n = 0 são reais e simétricas. Nessas condições, m e n são números reais de modo que a) m = 0 e n > 0. b) m = 0 e n < 0. c) m < 0 e n > 0. d) m > 0 e n > (Espm 01) As raízes da equação α β αβ α β é: a) 9 b) 49 c) 1 d) 5 e) (Unisinos 01) As soluções da equação a) - 4 e -1. b) - 4 e 1. c) - 4 e. d) - 1 e. e) 1 e. x 7x 18 0 são α e β. O valor da expressão x x 4 0 são 16. (G1 - utfpr 01) Fulano vai expor seu trabalho em uma feira e recebeu a informação de que seu estande deve ocupar uma área retangular de 1 m e perímetro igual a 14 m. Determine, em metros, a diferença entre as dimensões que o estande deve ter. a). b) 1,5. c). d),5. e) (Unioeste 01) Um quintal tem a forma de um retângulo tal que a medida de um de seus lados é o triplo da medida do outro e seu perímetro em metros é igual à sua área em metros quadrados. Neste caso, quanto mede o maior lado do quintal? a) m. b) 4 m. c) 8 m. d) 6 m. e) 18 m. 18. (G1 - cftmg 01) O módulo da menor raiz da equação a) 0,0008. b) 0,008. c) 0,08. d) 0,8. 8 x é Página de 10

4 19. (G1 - ifce 01) Se x 1 e x são as raízes da equação x 5x + p = 0, onde p é um número real, e sabendo-se que, x 1 x pode-se concluir corretamente que a) p =. b) p = 8/5. c) p = 0. d) p =. e) p = (Uespi 01) Para qual valor real e positivo de a, a soma dos quadrados das raízes da equação x ax 1 é igual a 5? a) 7 b) 6 c) 5 d) 4 e) 1. (G1 - utfpr 01) Renata apresentou a sua amiga a seguinte charada: Um número x cujo quadrado aumentado do seu dobro é igual a 15. Qual é a resposta correta desta charada? a) x = ou x = 5. b) x = ou x = 5. c) x = ou x = 5. d) x = ou x = 5. e) apenas x =.. (G1 - ifpe 01) Sérgio está fazendo um regime alimentar. Numa conversa com seu amigo Olavo, este lhe perguntou: Com quantos quilogramas você está agora?. Como os dois são professores de matemática, Sérgio lhe respondeu com o desafio: A minha massa atual é um número que, diminuído de sete vezes a sua raiz quadrada dá como resultado o número 44. Assinale a alternativa que apresenta a massa atual do Prof. Sérgio, em quilogramas. a) 100 b) 110 c) 115 d) 11 e) 15. (G1 - ifal 01) Assinale a alternativa que complete a frase: A equação do º grau x 5x =... a) admite duas raízes inteiras. b) admite uma raiz natural. c) não admite raízes reais. d) admite duas raízes naturais. e) admite duas raízes negativas. 4. (G1 - ifba 01) Considere a equação do º grau, em x, dada por 5x +bx+c=0. Se as raízes dessa equação são r1=-1 e r=/5, então o produto b. c é igual a: a) 1 b) 5 c) - 5 d) 6 e) (G1 - epcar (Cpcar) 011) Se 4 1 y y y 1, então a) 0 < a < 1 b) 1 a * a é raiz da equação na incógnita y, c) a 5 d) a Página 4 de 10

5 Gabarito: Resposta da questão 1: [C] Considerando a equação produto x 1 x 5 x 5x 6 0, temos; x 1 0 x 1 (Não possui raízes reais) x 5 0 x 5 x 5 x 5 ( 5) 1 x 5x 6 0 x x ou x 1 Portanto, a soma de suas raízes inteiras será 5 ( 5) 5. Resposta da questão : [D] 1 1 x x ou x 1, logo o valor da maior das raízes da equação x + x + 1 = 0, é 4 1. Resposta da questão : [C] A soma das raízes S de uma equação do segundo grau é dada por: b S a 6 Resposta da questão 4: Seja p o preço de uma caixa. Temos Qp 480 Q 10. (Q )(p 8) 480 p 48 Portanto, Q 10. Resposta da questão 5: [C] x ax x ax 1 0 (x ) (ax ax 1) 0 (x ) (ax ) 0 Para que x = seja raiz dupla devemos ter a 0 a 1. Página 5 de 10

6 Resposta da questão 6: [A] Sendo a, b 5 e c 4, das relações entre coeficientes e raízes, vem b 1 1 n m a b ( 5) 5. m n mn c c 4 4 a Resposta da questão 7: [A] Sejam n e q, respectivamente, o número de caminhões utilizado e a capacidade de cada caminhão. Tem-se que n q (n 4) (q 500) q 15 n 500. Desse modo, vem n q n (15 n 500) n 4n n 0. Portanto, o resultado pedido é Resposta da questão 8: [D] Sejam n e n dois números naturais pares consecutivos cujo produto é 60. É fácil ver que n 18. Logo, a soma pedida é n 8. Resposta da questão 9: [D] Considerando o valor do Delta nulo, temos: m 1 = 0 m 1 m Obs.: uma equação do segundo grau com discriminante nulo apresenta duas raízes reais e iguais. Resposta da questão 10: = p q 4 (p q) 4 p q p q p q O triplo da soma das raízes é igual ao quádruplo do produto das raízes ( 5) a a 1 4a 7 a a 6, Página 6 de 10

7 [01] Falsa, 6,75 não é inteiro. [0] Verdadeira, 0 < 6,75 < 0. [04] Verdadeira, 6,75 > 0. [08] Verdadeira, 6,75 < 10. [16] Verdadeira, pois a = 7/4. Resposta da questão 11: [A] Sejam n e c, respectivamente o número de caminhões e a capacidade máxima de cada 1 caminhão. Logo, como n c 90 e (n 6) (c ) 90, segue-se que n 6n Daí, como n é natural, só pode ser n 0 e, portanto, o resultado pedido é Resposta da questão 1: n = número inicial de trabalhadores. Cada trabalhador deveria receber n Como três desistiram e os demais receberam cada 600 reais a mais referente ao valor que caberia aos três desistentes, temos a equação: (n ) 6.(n ) 6n 18n 4 0 n n Resolvendo a equação acima, temos: n = 9 ou n = 6 (não convém). a) Portanto, 6 (9 ) trabalhadores realizaram o serviço. b) Cada um deles recebeu reais. 6 Resposta da questão 1: [B] Se as raízes são simétricas, então sua soma é igual a zero, isto é, disso, como as raízes são reais, deve-se ter 4 1 n 0 n 0. Resposta da questão 14: [B] Pelas Relações de Girard, obtemos α β αβ α β αβ ( α β) ( α β) ( α β) ( αβ 1) 7 ( 6 1) e 6. Logo, m 0 m 0. Além 1 Página 7 de 10

8 Resposta da questão 15: [B] Basta aplicar a fórmula para a resolução da equação do º grau. 4.1.( 4) 5 x 4 x.1 x 1 Portanto, as soluções são - 4 e 1. Resposta da questão 16: [E] Para que o perímetro do retângulo seja 14, as dimensões deverão ser x e 7 x. Como a área (A) é 1, podemos escrever: x 7 x 1 x 7x 1 0 x 7 4 x 7x 1 0 x Portanto a diferença entre suas dimensões é 4 1. Resposta da questão 17: [C] Medidas dos lados: x e x Perímetro: P = x + x + x + x = 8x Área: x Fazendo A = P, temos: x = 8x x = 0 (não convém) ou x = 8/ Portanto, x =.(8/) = 8. Resposta da questão 18: [A] 8 x x x 0,0008 ou x 0,0008. Portanto, 0,0008 0, Página 8 de 10

9 Resposta da questão 19: [E] x1 x p p 4. x1 x x1 x p p Resposta da questão 0: [A] Suponhamos que a equação seja x ax 1 0. Se e são as raízes da equação, então queremos calcular o valor real positivo de a para o qual α β 5. Das relações entre coeficientes e raízes, segue que Portanto, como α β ( α β) α β, vem α β a e 1. α β 5 ( α β) α β 5 Observação: ( a) 1 5 a 49 a 7. Resposta da questão 1: [D] x + x = 15 x + x 15 = 0 x ax 1 é uma expressão. Resolvendo a equação do segundo grau, temos: 64 8 x x.1 6 x 10 x 5 Resposta da questão : [D] x = massa de Sérgio. De acordo com o problema, temos: x 7. x 44 0 x 7x 44 0 Resolvendo a equação temos: x = 11 ou x =- 4 (não convém) Portanto, a massa de Sérgio será: x = 11 = 11 kg Página 9 de 10

10 Resposta da questão : [B] Resolvendo a equação acima, temos: x x ou x, logo, admite uma raiz natural. 4 Resposta da questão 4: [E] b b r1 r 1 b c c r 1. r 1 c a 5 5 Portanto, b c 6. Resposta da questão 5: [B] 4 1 y y y y y y y 1 y y y y y y y 4y 4y 5 4y 5y 0 y.(4y 5) 0 y 0(não convém) ou y 1,5(convém) 4 Verificação: Portanto, a = 1,5 e (verdade) a. Página 10 de 10