MÓDULO 29. Trigonometria I. Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias MATEMÁTICA. Fórmulas do arco duplo: 1) sen (2a) = 2) cos (2a) =

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3 Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias MATEMÁTICA MÓDULO 9 Trigonometria I Resumo das principais fórmulas da trigonometria Arcos Notáveis: Fórmulas do arco duplo: ) sen (a) = ) cos (a) = 3) tg (a) = Fórmulas Fundamentas: ) sen x + cos x= x sen x cos x tg x 30 ou 6 45 ou 4 60 ou Fórmulas de transformação em produto ) sen p + sen q = ) sen p - sen q = 3) cos p + cos q = 4) cos p cos q = Leis do Seno e do Cosseno: ) tg x = 3) cotg x = 4) sec x = 5) cossec x = Consequências: = = = R. (ITA) Considere um quadrado ABCD. Sejam E o ponto médio do segmento CD e F um ponto sobre o seg - mento CE tal que m ( BC) + m ( CF) = m ( AF). Prove que cos = cos, sendo os ângulos = BÂF e = EÂD. 6) sec x= 7) cossec x= 8) tg x = Fórmulas de Adição de arcos: ) sen (a ± b) = ) cos (a ± b) = 3) tg (a ± b) =

4 3. (ITA) Se x [0, [ é tal que 4 tg 4 x = + 4, então o valor de cos 4 x sen x + sen 4x é: 5 5 a) b) c) 4 8 d) e) (IME) Determine sabendo-se que: (i) cos 4 + ctg. = sen 4 + tg 3 (ii) 0 < radianos.

5 . (ITA) Considere o sistema: x = 3. sen x = cos para x e reais. Se restringirmos ao intervalo 0;, então o sistema a) não possuirá solução. b) possuirá apenas uma solução (x ; ). c) possuirá duas soluções (x ; ) e (x ; ), de modo 40 que x + x =. 3 d) possuirá duas soluções (x ; ) e (x ; ), de modo 7 que sen + sen =. e) possuirá duas soluções (x ; ) e (x ; ), de mo - do que cos. cos =. MÓDULO 30 Trigonometria I. Esboçar o gráfico da função f definida de em por f(x) = sen x + cos x. 3

6 3. (ITA) Se denota o conjunto dos números reais e (a; b) o intervalo aberto {x ; a < x < b}, seja ( 0; ) definida por f(x) = sec x + cossec x. Se ( 0; a ) é tal que tg =, então f( ) é igual a b a + b a) b) a + b a c) b d) ab e) n.d.a. a + b ab MÓDULO 3 Trigonometria I. Os valores reais de a para que a equação sen 4 x cos x + a = 0 admita raízes reais são tais que: a) a b) a = 3 c) a d) 3 a < e) < a 3 4. Resolver, em, a equação 5 sen x 3 sen x. cos x + 4 cos x = 3 4

7 . (ITA-006) Seja f : definida por f(x) = 77 sen[5(x + /6)] e seja B o conjunto dado por B = {x : f(x) = 0}. Se m é o maior elemento de B (, 0) e n é o menor elemento de B (0, + ), então m + n é igual a: a) /5 b) /5 c) /30 d) /5 e) /5 3. (ITA-007) Assinale a opção que indica a soma dos ele mentos de A B, sendo: A = x k = sen k : k =, e 4 (3k + 5) 4 B = y k = sen : k =,. a) 0 b) c) d) + 3 /3 e) + 3 /3 5

8 4. (ITA) Se tg(a) = 5 então tg + A tg A é igual a: 4 4 a) 40/ b) c) 5 d) 8 e) 0. (ITA) A expressão MÓDULO 3 Trigonometria I x sen x + + cotg x tg x + tg é equivalente a a) [cos x sen x] cotg x. b) [sen x + cos x] tg x. c) [cos x sen x] cotg x. d) [l cotg x] sen x. e) [ + cotg x] [sen x + cos x].. (IME) Determine o conjunto-solução da equação sen 3 x + cos 3 x = sen x. cos x 6

9 4. (ITA) A respeito da equação sen x + 3 cos x =, 0 x <, podemos afirmar que: a) Existe apenas uma solução real no primeiro quadrante. b) Existe apenas uma solução real no segundo quadrante. c) Existe apenas uma solução real no terceiro quadrante. d) Existe apenas uma solução real no quarto quadrante. e) Existem duas soluções no intervalo 0 x <. 3. (ITA) Seja a equação sen 3 x cos x sen x cos 3 x = m onde m é um número real não nulo. Podemos afirmar que: a) A equação admite solução qualquer que seja m, m 0. b) Se m < 4 esta equação não apresenta solução real. c) Se m > esta equação não apresenta solução real. d) Se m > esta equação sempre apresenta solução real. e) Se m < 4 esta equação não apresenta solução real. 7

10 exercícios-tarefa MóduLo 9. Se sec x. cossec x = 3, então tg 3 x + cotg 3 x é igual a a) 9 b) 5 c) 8 d) e) 7. (ITA) Se num quadrilátero convexo de área S, o ângulo agudo entre as diagonais mede /6 radianos, então o produto do comprimento destas diagonais é igual a: a) S b) S c) 3S d) 4S e) 5S MóduLo 30. Considere o sistema e 0. Então, é correto afirmar que a) o sistema possui solução única. b) o sistema possui solução (x 0 ; 0 ), com < 0 <. c) o sistema possui solução única (x 0 ; 0 ), com x 0 >. d) o sistema possui duas soluções distintas. 3 e) tg =. 3. Esboce o gráfico da função f definida por f(x) = sec x + sen x, com contradomínio em. 3. (ITA) Se cos 4 4x sen 4 4x = a 0, então cos 8x vale: a) a b) a c) 4a d) zero e) a + 4 MóduLo 3. (ITA) O valor de x > 0 que satisfaz a equação x = tg é: sen = x {, para x cos = x + a) x = 4 3 b) x = c) x = 7 3 d) x = e) x = (ITA) Sejam a e b constantes reais positivas. Considere x = a tg t + e y = b sec t b onde 0 t <. Então uma relação entre x e y é dada por: b a) y = (x ), x a. a b b) y = (x ), x. a 4 b c) y = (x ), "x. a b d) y = (x ), x. a a e) y = (x ), x. b 4 MóduLo 3. (ITA) Sabendo-se que é um ângulo tal que sen( 60 ) = cos ( + 60 ), então tg é um número da forma a + b 3 onde a) a e b são reais negativos; b) a e b são inteiros; c) a + b = ; d) a e b são pares; e) a + b =.. (ITA) Suponha x e y números reais, tais que tg(x y) = 3 (tg x)(tg y) = Calcule o módulo do número S = tg x + tg y. resolução dos exercícios-tarefa MóduLo 9 sen x cos x ) ) tg x + cotg x = + cos x sen x = sen x + cos x = cos x. sen x = cos x. sen x = = sec x. cossec x = 3 ) tg x + cotg x = (tg x + cotg x) = 3 = 7 3) tg 3 x + cotg 3 x = = (tg x + cotg x) (tg x tg x. cotg x + cotg x) = = 3. (7 ) = 8 Resposta: C 8

11 ) No quadrilátero convexo ABCd da figura, sendo AC = a + b e Bd = c + d, tem-se: ) f(x) = sec x + sen x = cos x + sen x = = sen x + sen x = sen x + sen x f(x) = { e o gráfico de f é: sen x; se sen x 0 0 ; se sen x < 0 5. a. c. sen +. b. c. sen b. d. sen + a. d. sen = S 6 6 Assim: ac bc bd ad = S ac + bc + bd + ad = 4S (a + b). (c + d) = 4S AC. Bd = 4S Resposta: d MóduLo 30 ) { sen = x cos = x + x ( ) 4x 4x + + x + = 4 = 4x 3x = 0 x = ou x = 3 Para x =, tem-se sen =, cos = e = 6 x + ( ) 3 Para x =, tem-se sen =, cos = < < 4 Resposta: d + { x sen = x + cos = 4 Resposta: Gráfico 3) cos 4 4x sen 4 4x = = (cos 4x + sen 4x)(cos 4x sen 4x) Então: cos 4 4x sen 4 4x = cos 4x sen 4x = cos 8x = a Resposta: B MóduLo 3 ) Para x > 0 tem-se: tg 3 I) tg = = 6 3 tg II) = 3 3 tg = 6tg tg = 3 x=tg x = tg = ) I) y = b. sec t b = b. (sec t ) = b. tg t y = ± b. tg t II) x = a. tg t + 0 t < 9

12 x tg t =, x, supondo a 0 de (I) e (II), vem: y = ± b. x, x y = ±. (x ), x. uma relação entre x e y pode ser: b y =. (x ), x a Resposta: d b a a MóduLo 3 ) sen ( 60 ) = cos( + 60 ). (sen. cos 60 cos. sen 60 ) = = cos. cos 60 sen. sen 60 sen 3. cos = 3. cos. sen 3 sen. ( + ) = cos. ( + 3) tg = = = Sendo tg = a + b. 3, temos a = 4 e b = 3. Resposta: B a ) Sendo x e y, números reais, tais que: tg(x y) = 3 tg x. tg y = tg x tg y = 3 + tg x. tg y tg x. tg y = temos: tg x tg y + = 3 tg x tg y =. 3 Como: (tg x + tg y) = (tg x tg y) + 4. tg x. tg y resulta: (tg x + tg y) = (. 3) + 4. = 6 e, portanto: S = tg x + tg y = 4 Resposta: S = tg x + tg y = 4 0