Função do 2º Grau. V(x) 3x 12x. C(x) 5x 40x 40.

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1 Função do º Grau. (Espcex (Aman) 04) Uma indústria produz mensalmente x lotes de um produto. O valor mensal resultante da venda deste produto é dado por C(x) 5x 40x 40. V(x) 3x x e o custo mensal da produção é Sabendo que o lucro é obtido pela diferença entre o valor resultante das vendas e o custo da produção, então o número de lotes mensais que essa indústria deve vender para obter lucro máximo é igual a a) 4 lotes. b) 5 lotes. c) 6 lotes. d) 7 lotes. e) 8 lotes.. (Insper 03) No gráfico estão representadas duas funções: f(x) do primeiro grau e g(x) do segundo grau. O gráfico que melhor representa a função h(x) = f(x) + g(x) é a) b) c) d) e) Página de 8

2 3. (Fgv 03) Uma única linha aérea oferece apenas um voo diário da cidade A para a cidade B. O número de passageiros y que comparecem diariamente para esse voo relaciona-se com o preço da passagem x, por meio de uma função polinomial do primeiro grau. Quando o preço da passagem é R$ 00,00, comparecem 0 passageiros e, para cada aumento de R$ 0,00 no preço da passagem, há uma redução de 4 passageiros. Qual é o preço da passagem que maximiza a receita em cada voo? a) R$ 0,00 b) R$ 30,00 c) R$ 40,00 d) R$ 50,00 e) R$ 60,00 4. (Epcar (Afa) 03) O gráfico de uma função polinomial do segundo grau y f x, que tem como coordenadas do vértice (5, ) e passa pelo ponto (4, 3), também passará pelo ponto de coordenadas a) (, 8) b) (0, 6) c) (6, 4) d) (, 36) 5. (Fgv 03) A Editora Progresso decidiu promover o lançamento do livro Descobrindo o Pantanal em uma Feira Internacional de Livros, em 0. Uma pesquisa feita pelo departamento de Marketing estimou a quantidade de livros adquirida pelos consumidores em função do preço de cada exemplar. Preço de venda Quantidade vendida R$ 00,00 30 R$ 90,00 40 R$ 85,00 45 R$ 80,00 50 Considere que os dados da tabela possam ser expressos mediante uma função polinomial do º grau y a x b, em que x representa a quantidade de livros vendida e y, o preço de cada exemplar. a) Que preço de venda de cada livro maximizaria a receita da editora? b) O custo unitário de produção de cada livro é de R$ 8,00. Visando maximizar o lucro da editora, o gerente de vendas estabeleceu em R$ 75,00 o preço de cada livro. Foi correta a sua decisão? Por quê? 6. (Fgv 03) A editora fez também um estudo sobre o lançamento do livro em duas versões: capa dura e capa de papelão. A pesquisa mostrou que, se a versão capa dura for vendida por x reais e a versão capa de papelão por y reais, serão vendidos, no total, 30x 70y x y exemplares das duas versões. Por uma questão de estratégia, o gerente de vendas decidiu que a versão capa dura deve custar o dobro da versão capa de papelão. a) Qual deve ser o preço de venda de cada versão, de modo que a quantidade de livros vendida seja a maior possível? b) Nas condições do item (a), quantos exemplares a editora estima vender no total? 7. (Ufpr 03) O número N de caminhões produzidos em uma montadora durante um dia, após t horas de operação, é dado por N(t) 0 t t, sendo que 0 t 0. Suponha que o custo C (em milhares de reais) para se produzir N caminhões seja dado por C(N) N. a) Escreva o custo C como uma função do tempo t de operação da montadora. b) Em que instante t, de um dia de produção, o custo alcançará o valor de 300 milhares de reais? Página de 8

3 8. (Pucrj 03) Sejam f e g funções reais dadas por f(x) = x + e g(x) = + x. Os valores de x tais que f(x) = g(x) são: a) x = 0 ou x = b) x = 0 ou x = c) x = ou x = d) x = ou x = e) x = 0 ou x = 9. (G - cftmg 03) A função real representada pelo gráfico é definida por a) b) f x x x. f x x 3x. c) f x x 3x. d) f x x 3x. 0. (Pucrj 03) Sejam f e g funções reais dadas por f(x) = + x e g(x) = + x. Os valores de x tais que f(x) = g(x) são: a) x = 0 ou x = b) x = 0 ou x = c) x = 0 ou x = d) x = ou x = e) x = 0 ou x = /. (Ibmecrj 03) Uma lanchonete vende, em média, 00 sanduíches por noite ao preço de cada um. O proprietário observa que, para cada R$ 0,0 que diminui no preço, a R$ 6,00 quantidade vendida aumenta em cerca de 0 sanduíches. Considerando o custo de R$ 4,50 para produzir cada sanduíche, o preço de venda que dará o maior lucro ao proprietário é: a) R$ 5,00 b) R$ 5,5 c) R$ 5,50 d) R$ 5,75 e) R$ 6,00 Página 3 de 8

4 . (Ufsj 03) Um corpo arremessado tem sua trajetória representada pelo gráfico de uma parábola, conforme a figura a seguir. Nessa trajetória, a altura máxima, em metros, atingida pelo corpo foi de a) 0,5m. b) 0,64m. c) 0,58m. d) 0,6m. 3. (Pucrj 03) O retângulo ABCD tem dois vértices na parábola de equação x y x e dois vértices no eixo x, como na figura abaixo. Sabendo que D = (3,0), faça o que se pede. a) Determine as coordenadas do ponto A. b) Determine as coordenadas do ponto C. c) Calcule a área do retângulo ABCD. 4. (Ibmecrj 03) O gráfico da função quadrática definida por f x 4x 5x é uma parábola de vértice V e intercepta o eixo das abscissas nos pontos A e B. A área do triângulo AVB é a) 7/8 b) 7/6 c) 7/3 d) 7/64 e) 7/8 5. (Ufrgs 03) Dada a função f, definida por f x x 9 6x, o número de valores de x que satisfazem a igualdade f x f x é a) 0. b). c). d) 3. e) 4. Página 4 de 8

5 TEXTO PARA AS PRÓXIMAS QUESTÕES: A figura a seguir representa a evolução dos milhares de unidades vendidas de um produto em função do tempo, dado em meses, desde seu lançamento. O trecho correspondente ao intervalo [0,t ] pode ser representado pela expressão o trecho correspondente ao intervalo ]t,t ] por 6. (Insper 03) O valor de t é a) 5. b) 0. c) 5. d) 0. e) 5. y 0,05x 4x 40. y 0,05x 7. (Insper 03) Considere que o ponto (t,v) corresponde ao vértice da parábola de equação y 0,05x 4x 40. Nos últimos dez meses representados no gráfico, as vendas totais, em milhares de unidades, foram iguais a a). b). c) 3. d) 4. e) (Ufsj 0) O gráfico da função f(x) = ax + bx + c é: e Com relação a f(x), é INCORRETO afirmar que a) seu discriminante ( ) é maior que zero. b) o vértice da parábola tem ordenada positiva. c) o coeficiente do termo quadrado (a) é positivo. d) as raízes da função quadrática são 0 e 3/. Página 5 de 8

6 9. (Ufrn 0) Uma lanchonete vende, em média, 00 sanduíches por noite ao preço de cada um. O proprietário observa que, para cada R$ 0,0 que diminui no preço, a R$ 3,00 quantidade vendida aumenta em cerca de 0 sanduíches. Considerando o custo de R$,50 para produzir cada sanduíche, o preço de venda que dará o maior lucro ao proprietário é a) R$,50. b) R$,00. c) R$,75. d) R$,5. 0. (G - cftmg 0) Se a função L(x) 0.(x ). x 0 representa o lucro de uma indústria em que x é a quantidade de unidades vendida, então o lucro será a) mínimo para x 3. b) positivo para x. c) máximo para d) positivo para x. 0 x. 0. (Ucs 0) Uma dose de um medicamento foi administrada a um paciente por via intravenosa. Enquanto a dose estava sendo administrada, a quantidade do medicamento na corrente sanguínea crescia. Imediatamente após cessar essa administração, a quantidade do medicamento começou a decrescer. Um modelo matemático simplificado para avaliar a quantidade q, em mg, do medicamento, na corrente sanguínea, t horas após iniciada a administração, é q t t 7t 60. Considerando esse modelo, a quantidade, em mg, do medicamento que havia na corrente sanguínea, ao ser iniciada a administração da dose e o tempo que durou a administração dessa dose, em horas, foram, respectivamente, a) 5 e. b) 0 e. c) 0 e 3,5. d) 60 e. e) 60 e 3,5.. (G - ifal 0) Assinale a alternativa que completa corretamente a frase: A função real f(x) = x 4x + 5 a) não admite zeros reais. b) atinge um valor máximo. c) tem como gráfico uma reta. d) admite dois zeros reais e diferentes. e) atinge um valor mínimo igual a. 3. (Ufpb 0) Um estudo das condições ambientais na região central de uma grande cidade indicou que a taxa média diária (C) de monóxido de carbono presente no ar é de C(p) 0,5p partes por milhão, para uma quantidade de (p) milhares de habitantes. Estima- se que, daqui a t anos, a população nessa região será de p(t) t t 0 milhares de habitantes. Nesse contexto, para que a taxa média diária de monóxido de carbono ultrapasse o valor de 6 partes por milhão, é necessário que tenham sido transcorridos no mínimo: a) anos b) anos e 6 meses c) 3 anos d) 3 anos e 6 meses e) 4 anos Página 6 de 8

7 4. (G - cftrj 0) Um objeto é lançado do topo de um muro, de altura h, atingindo o solo após 5 segundos. A trajetória parabólica do objeto é representada pela equação y = 0,5x + bx +,5, cujo gráfico está apresentado abaixo, onde y indica a altura atingida pelo objeto em relação ao solo, em metros, no tempo x, em segundos. a) Calcule a altura h e o valor do coeficiente b da equação da trajetória. b) Determine a altura máxima, em relação ao solo, atingida pelo objeto. 5. (Espm 0) A parábola de equação y = x x + intercepta a reta de equação y = x + 4 nos pontos A e B. O comprimento do segmento AB é igual a: a) 4 b) 5 c) 5 d) 4 e) 3 KO 6. (Uel 0) O óxido de potássio,, é um nutriente usado para melhorar a produção em lavouras de cana-de-açúcar. Em determinada região, foram testadas três dosagens diferentes do nutriente e, neste caso, a relação entre a produção de cana e a dosagem do nutriente se deu conforme mostra a tabela a seguir. Dose do nutriente (kg/hectare) Produção de cana-de-açúcar (toneladas/hectare) Considerando que a produção de cana-de-açúcar por hectare em função da dose de nutriente pode ser descrita por uma função do tipo, determine a quantidade de nutriente por hectare que maximiza a produção de cana-de-açúcar por hectare. Apresente os cálculos realizados na resolução da questão. y(x) ax bx c 7. (Insper 0) A área da região sombreada na Figura, limitada pelo gráfico da função f x 9 x e pelos eixos coordenados, é igual a 8. Página 7 de 8

8 Assim, a área da região sombreada na Figura, limitada pelo gráfico da função eixo x e pela reta de equação x 3, é igual a a) 4,5. b) 6. c) 9. d). e) 3,5. gx x, 8. (Fgvrj 0) Deseja-se construir um galpão com base retangular de perímetro igual a 00 m. A área máxima possível desse retângulo é: a) b) c) d) e) 575 m 600 m 65 m 650 m 675 m 9. (Ulbra 0) Preocupados com o lucro da empresa VXY, os gestores contrataram um matemático para modelar o custo de produção de um dos seus produtos. O modelo criado pelo matemático segue a seguinte lei: C = n + n, onde C representa o custo, em reais, para se produzirem n unidades do determinado produto. Quantas unidades deverão ser produzidas para se obter o custo mínimo? a) 65. b) 5. c) 45. d) 65. e) (Ueg 0) Em um terreno, na forma de um triângulo retângulo, será construído um jardim retangular, conforme figura abaixo. pelo Sabendo-se que os dois menores lados do terreno medem 9 m e 4 m, as dimensões do jardim para que ele tenha a maior área possível, serão, respectivamente, a),0 m e 4,5 m. b) 3,0 m e 4,0 m. c) 3,5 m e 5,0 m. d),5 m e 7,0 m. Página 8 de 8

9 Gabarito: Resposta da questão : [D] Seja L(x) o lucro obtido, então: L(x) = V(x) C(x) = x + 8x + 40 O valor de x para que L(x) seja máximo será dado por: b 8 xv 7 a ( ) Resposta da questão : [C] Como o gráfico de como o gráfico de g Portanto, f passa pelos pontos (, 0) e (0, ), segue que passa pelos pontos (0, 0) e (0,), temos que h(x) ax (a )x. f(x) x. g(x) ax ax, Desse modo, o gráfico de h intersecta o eixo y no ponto de ordenada e tem sua concavidade voltada para cima. A abscissa do vértice do gráfico de h é dada por (a ) x v. a a Além disso, com a 0. Finalmente, como f() 3 melhor representa a função h e g() 0, segue que h() f() g() 3 é o da alternativa [C]. e, portanto, o gráfico que Resposta da questão 3: [D] Seja x o número de aumentos de R$ 0,00 no preço da passagem. A receita de cada voo é dada pelo produto entre o preço da passagem e o número de passageiros, ou seja, R(x) (00 0x) (0 4 x) 40 (x 0) (x 30). Logo, o número de aumentos que proporciona a receita máxima é 0 30 xv 5 e, portanto, o resultado pedido é R$ 50,00. Resposta da questão 4: [A] Sendo V(x v, y v ) o vértice de uma função polinomial do segundo grau dada por f(x) = ax + bx + c. Toda função polinomial do segundo grau pode ser escrita através de sua forma canônica f(x) = a (x x v ) + y v. Página 9 de 8

10 Portanto, f(x) = a Como f(4) = 3, temos: a (4 5) = 3 a = 3. (x 5) +. Logo, f(x) = (x 5) +. Portanto, o ponto (, 8) pertence ao gráfico da função, pois ( 5) + = 8. Resposta da questão 5: a) Tomando os pontos (30,00) y ax b é igual a a Logo, 90 ( ) 40 b b 30. Portanto, y x 30. e (40, 90), segue que a taxa de variação da função A função R:, definida por R(x) x ( x 30) x (x 30), fornece a receita obtida com a venda de x livros. Logo, a quantidade a ser vendida, a fim de se obter a receita máxima, é 0 30 xv 65. Desse modo, o preço pedido é igual a y R$ 65,00. b) Seja L: a função definida por L(x) x 30x 8x x x x (x), que fornece o lucro obtido na venda de x livros (supondo que todos os livros produzidos são vendidos). Logo, a quantidade a ser vendida para se obter o lucro máximo é 0 6. Para essa quantidade, o preço de venda unitário deveria ter sido y 6 30 R$ 69,00. Por conseguinte, a decisão do gerente não foi correta. Página 0 de 8

11 Resposta da questão 6: a) Se x y, a quantidade de livros vendidos seria 30 y 70y (y) y 5y (y 66). Logo, o preço da versão capa de papelão que maximiza a quantidade vendida de livros é 0 66 R$ 33,00. Portanto, o preço da versão capa dura deverá ser 33 R$ 66,00. b) O resultado pedido é igual a Resposta da questão 7: a) C(t) = (0t t ) C(t) = 30t + 600t + 50 b) 300 = 30t + 600t + 50 Dividindo por 30, temos: 30t 600t + 50 = 0 t 0.t + 75 = (33 66) Resolvendo a equação, temos t = 5h (não convém) e t = 5h. Resposta da questão 8: [E] Os valores de x para os quais f(x) g(x) são tais que x x x x 0 x x 0 x 0 ou x. Resposta da questão 9: [D] A forma canônica da função quadrática o vértice do gráfico de f. Logo, como 3 f(x) a x. 4 8 f: é 3 (x v, y v),, 4 8 f(x) a (x x v) y v, temos: com (x, y ) v v sendo Além disso, sabendo que o gráfico de f passa pelo ponto (0,), vem 3 a 0 a Página de 8

12 Portanto, 3 f(x) x 4 8 3x 9 x 6 8 x 3x. Resposta da questão 0: [C] Os valores de x para os quais f(x) g(x) são tais que x x x x 0 x(x ) 0 x 0 ou x. Resposta da questão : [D] Seja x o número de reduções de R$ 0,0 no preço de venda do sanduíche. A receita obtida com a venda dos sanduíches é dada pela função R :, definida por R(x) (6 0, x) (00 0 x) x 00x 00. Além disso, o custo total para produzir os sanduíches é dado pela função C :, por definida C(x) 4,5 (00 0x) 90x 900. Por conseguinte, a função que dá o lucro total é L :, definida por L(x) R(x) C(x) x 00x 00 (90x 900) x 0x 300. O valor de x que proporciona o lucro máximo é igual a 0,5. ( ) Portanto, o resultado pedido é 6 0,,5 6 0,5 R$ 5,75. Página de 8

13 Resposta da questão : [B] Utilizando a forma fatorada da função do segundo grau, temos: f(x) = a.x. (x 4). Como o gráfico da função passa pelo ponto (,48), temos: 48 = a.( 4) a = 6 Portanto, f(x) = -6x + 64x e a altura máxima será dada por: Δ 64 hmáxima a 4.( 6) Resposta da questão 3: a) Sabendo que D (3, 0), temos y f(x ) A A vem x x 3. A D Além disso, como A pertence à parábola, b) Como ABCD é retângulo, concluímos facilmente que y y. B A Assim, C x x C 3 x C x C x 8 C e, portanto, C (8, 0). c) A área do retângulo ABCD é dada por (xc x D) f(x A) (8 3) 5 u.a. Resposta da questão 4: [E] Os zeros da função f são x e x. 4 O vértice do gráfico de f é o ponto 5 9 V,. 8 6 Portanto, a área do triângulo AVB é dada por Página 3 de 8

14 Resposta da questão 5: [B] Temos f(x) f(x) f(x) 0 (x 3) 0 x 3. Portanto, x 3 é o único valor de x para o qual se tem f(x) f(x). Resposta da questão 6: [D] 0 0,05 t t 400 t 0 como t 0 t 0 meses. Resposta da questão 7: [E] t b a 4 0,05 40 Nos últimos 0 meses as vendas totais serão dadas por: y40 y30 0, , milhares de unidades. Resposta da questão 8: [B] [A] Verdadeira A parábola intersecta o eixo x em dois pontos distintos. [B] Falsa O vértice tem ordenada negativa. [C] Verdadeira A parábola tem concavidade para cima. [D] Verdadeira A parábola intersecta o eixo x nos pontos (0,0) e (3/,0). Resposta da questão 9: [C] Se x é o número de aumentos de R$ 0,0, então serão vendidos (00 0x) sanduíches ao preço de (3 0,x) reais. Desse modo, o lucro obtido pelo proprietário é dado por: L(x) (3 0,x)(00 0x),5(00 0x) (x 0)(x 5). Então, o número de aumentos de R$ 0,0 que produz o maior lucro para o proprietário é: 0 5 x,5 e, portanto, o resultado pedido é 3 0,,5 R$,75. Página 4 de 8

15 Resposta da questão 0: [D] Estudando o sinal da função acima, temos: Lucro positivo para x. 0 Resposta da questão : [E] A quantidade do medicamento na corrente sanguínea, no momento em que é iniciada a administração da dose, é q(0) 60mg. O tempo que durou a administração da dose é dado por Resposta da questão : [A] 7 3,5 h. ( ) De acordo com o gráfico, podemos observar que: a função f não admite raízes reais, pois seu gráfico não intercepta o eixo x, possui um valor mínimo igual a e seu gráfico é uma parábola. Página 5 de 8

16 Resposta da questão 3: [B] De acordo com as informações do problema, podemos escrever: 6=0,5 p + p = 0 mil habitantes. Fazendo p(t) = 0 na segunda função, temos: 0 = t t + 0 t t 0 = 0 t =,5 ou t = - (não convém). Logo, t é, no mínimo, anos e 6 meses. Resposta da questão 4: a) h = y(0) =,5m y(5) = 0-0, b +,5 = 0 5b =,5,5 5b = 0 b= b) A altura máxima será calculada através do y v (y do vértice) y v 4 ( 0,5),5 4,5m 4 a 4 ( 0,5) Resposta da questão 5: [A] Resolvendo o sistema A(-, 3) e B(3, 7). y x x, y x 4 temos: Calculando a distância entre A e B, temos a medida da corda AB: AB 3 ( ) (7 3) AB 3 AB 4. Página 6 de 8

17 Resposta da questão 6: a.0 + b.0 + c = 4 c = 4 a.70 + b = a + 70.b = 4 a.40 + b = a + 40.b = 9 Resolvendo o sistema 9 37 a e b = Portanto, a função será 9 37 y x x Calculando o x do vértice, temos: 4900.a 70.b a 40.b 9., temos: 37 b xv 43,88kg.a Resposta da questão 7: [C] Observando as figuras, concluímos que a área pedida será dada por: A = = 9. Resposta da questão 8: [C] A x x 50 x A x x 50x Página 7 de 8

18 Nota-se que A(x) é uma função do segundo grau. Portanto, o valor de x para que a área seja máxima será dado pelo x do vértice. b a 4 Resposta da questão 9: [B] O número de unidades a serem produzidas para se obter o custo mínimo é Resposta da questão 30: [A] Utilizando semelhança de triângulos temos: Calculando a função da área, temos: A x x y 9x 36 A x x. 4 A x 9x 36x 4 4 x y 9x 36 y Determinando o x do vértice, temos: 36 x 4 v 9. 4 Portanto, x = e y 4,5 4 Logo, as dimensões do jardim são m e 4,5m. Página 8 de 8