MATEMÁTICA t = = t = anos

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1 MATEMÁTICA 9 d Seja n um número qualquer, inteiro e positivo. Se n é par, divida-o por ; se n é ímpar, multiplique-o por e adicione ao resultado. Esse procedimento deve ser repetido até que se obtenha como resultado final o número. Assim, por exemplo, se n =, tem-se: Ou seja, foram necessárias 9 passagens até obter-se o resultado. Nessas condições, se n =, o número de passagens necessárias para obter-se o resultado final será a) b) 8 c) d) e) O número de passagens necessárias para, a partir do, obter-se o resultado final é pois: e Um laboratório iniciou a produção de certo tipo de vacina com um lote de x doses. Se o planejado é que o número de doses produzidas dobre a cada ano, após quanto tempo esse número passará a ser igual a 0 vezes o inicial? (Use: log = 0,0) a) ano e 8 meses b) anos e meses c) anos e 6 meses d) anos e meses e) anos e meses Se o laboratório iniciou a produção da vacina com um lote de x doses, planeja dobrar a produção a cada ano e admitindo-se que esta lei de formação seja válida também para os submúltiplos do ano, a qualidade Q produzida após t anos é dada por Q(t) = x. t. Para que a produção da vacina passe a ser 0 vezes o inicial devemos ter Q(t) = x. t = 0. x t = 0 t = log 0 0 t = = t = anos log 0,0 t = anos e meses d Fábio quer arrumar um emprego de modo que, do total do salário que receber, possa gastar com alimen- tação, com aluguel e R$ 00,00 em roupas e 5 lazer. Se, descontadas todas essas despesas, ele ainda pretende que lhe sobrem no mínimo R$ 85,00, então, para que suas pretensões sejam atendidas, seu salário deve ser no mínimo PUC (º Dia) Dezembro/00

2 a) R$ 950,00 b) R$ 980,00 c) R$ 000,00 d) R$ 00,00 e) R$ 500,00 Se x for o salário de Fábio, então. x +. x + 00, ,00 x 5 5x + 8x , ,00 0x x 00,00 x 00,00 a Alfeu, Bento e Cíntia foram a uma certa loja e cada qual comprou camisas escolhidas entre três tipos, gastando nessa compra os totais de R$,00, R$ 5,00 e R$ 8,00, respectivamente. Sejam as matrizes [ 0 ] [ x ] A = 0 5 e X = y, tais que: 0 z os elementos de cada linha de A correspondem às quantidades dos três tipos de camisas compradas por Alfeu (ª linha), Bento (ª linha) e Cíntia (ª linha); os elementos de cada coluna de A correspondem às quantidades de um mesmo tipo de camisa; os elementos de X correspondem aos preços unitários, em reais, de cada tipo de camisa. Nessas condições, o total a ser pago pela compra de uma unidade de cada tipo de camisa é a) R$ 5,00 b) R$ 55,00 c) R$ 5,00 d) R$ 6,00 e) R$ 65,00 y + z = x + 5z = 5 x + y = 8 y + z = y + z = z = 680 z = 0 x + y = 8 x + y = 8 y = 8 y = 8 z = 0 z = 0 x + y + z = 5 x + y = 8 x = 5 c y + z = y 0z = 8 x + y = 8 Um funcionário de certa empresa recebeu 0 documentos para arquivar. Durante a execução da tarefa, fez uma pausa para um café e, nesse instante, percebeu que já havia arquivado do total de n documentos (n 0,}). Observou também que, se tivesse arquivado 9 documentos a menos, a quan- PUC (º Dia) Dezembro/00

3 tidade arquivada corresponderia a do total. n + A partir do instante da pausa para o café, o número de documentos que ele ainda deverá arquivar é a)9 b) 9 c) 96 d) 98 e) 00 No instante da pausa para o café o funcionário havia arquivado. 0 documentos. Se tivesse arqui- n vado 9 documentos a menos teria arquivado n Como,. 0 9 =. 0 n n + 0 ( n n + ) = 9 0. ( ) = 9 (n )(n + ) = 0 (n )(n + ) n = 6, pois n 0; }. No instante da pausa para o café, o funcionário havia arquivado. 0 = 6 documentos restando arquivar (0 ) = 96 documentos. b No saguão de um teatro, há um lustre com 0 lâmpadas, todas de cores distintas entre si. Como medida de economia de energia elétrica, o gerente desse teatro estabeleceu que só deveriam ser acesas, simultaneamente, de a lâmpadas, de acordo com a necessidade. Nessas condições, de quantos modos distintos podem ser acesas as lâmpadas desse lustre? a) 66 b) 9 c) 85 d) 9 e) 0 O número de maneiras distintas de se acender, 5, 6 ou das 0 lâmpadas é igual a C 0, + C 0,5 + C 0,6 + C 0, = 0! 0! 0! 0! = =!6! 5!5! 6!!!! = = 9 5 c Geometricamente, o módulo de um número complexo z é dado pela distância da origem O do plano complexo ao ponto imagem de z. Assim, dado o complexo z = +i, considere o triângulo ABO, cujos vértices A e B são os respectivos pontos imagem de z e z.i. É verdade que esse triângulo é a) eqüilátero. b) escaleno. c) retângulo e isóceles. d) retângulo e não isóce- PUC (º Dia) Dezembro/00

4 les. e) isósceles e não retângulo. Seja z = + i e z. i = ( + i). i = + i. Os pontos que representam z e z. i são respectivamente A(;) e B( ;). Como OA = + = e OB = ( ) + =, o triângulo ABO é isósceles e sendo os coeficientes angulares m OA = e m OB = pode-se concluir que é o triângulo ABO é retângulo. Portanto o triângulo ABO é retângulo é isósceles. 6 a Um paralelepípedo retângulo tem suas dimensões dadas, em centímetros, pelas expressões x, x x + e, nas quais x é um número racional maior n + d o que. Se o volume do paralelepípedo é 0 cm, então sua área total, em centímetros quadrados, é a) 6 b) 5 c) 8 d) e) Se as dimensões de um paralelepípedo retângulo, em cm, são dadas por (x ). (x ) e ( x + ) e o volume é 0 cm, temos: (x ). (x ). ( x + ) = 0. x. x +. x 5 = 0 Sabendo que x é um número racional maior que, verifica-se que x = 6 (divisor de 5) é raiz da equação, pois: = 0. Como: x x + x 5 = 0 (x 6). (x + x + 9) = 0 x = 6, pois as raízes da equação x + x + 9 = 0 são complexas. Para x = 6, as dimensões do paralelepípedo resultam: ; e 5 e a área total (em cm ) é: A total =. ( ) = 6 e A tira seguinte mostra o Cebolinha tentando levantar um haltere, que é um aparelho feito de ferro, composto de duas esferas acopladas a um bastão cilíndrico. PUC (º Dia) Dezembro/00

5 Suponha que cada esfera tenha 0,5 cm de diâmetro e que o bastão tenha 50 cm de comprimento e diâmetro da base medindo, cm. Se a densidade do ferro é,8 g/cm, quantos quilogramas, aproximadamente, o Cebolinha tentava levantar? ( Use: π = ) a) 8 b) 6 c) 5 d) e) 0 Em cm, o volume de cada esfera é V E = π. ( ) =.. V E =. (0,5) Em cm, o volume do bastão é:, 0,5 V C = π. ( ). 50 =. ( ). 50 =. = Em cm, o volume do haltere é: V = V E + V C =. 0. (0,5) V =. [0,5) + ] = 89,5 + A massa m do haltere é, portanto, m = 89,5.,8 g 0060g 0kg 0,5. (0,5) 8 PUC (º Dia) Dezembro/00