( ) ( ) ( ( ) ( )) ( )

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1 Física 0 Duas partículas A e, de massa m, executam movimentos circulares uniormes sobre o plano x (x e representam eixos perpendiculares) com equações horárias dadas por xa ( t ) = a+acos ( ωt ), ( t ) = asen ( ωt ) e x ( t ) = a+acos( ωt ), ( t ) = asen ( ωt ), sendo ω e a constantes positivas A A) Determine as coordenadas das posições iniciais, em t = 0, das partículas A e ) Determine as coordenadas do centro de massa do sistema ormado pelas partículas A e no instante t = 0 C) Determine as coordenadas do centro de massa do sistema ormado pelas partículas A e em um instante qualquer t D) Mostre que a trajetória do centro de massa é uma circunerência de raio a, com centro no ponto (x = 0, = 0) A) No instante inicial, as coordenadas das posições iniciais das partículas A e são: x 0 = a+acos ω 0 3a 0 = asen ω 0 = 0, A ( ) ( ) = ; A ( ) ( ) ( 0) cos( 0) = ; ( ) ( ) x = a+a ω a 0 = asen ω 0 = 0 ) As coordenadas do centro de massa são dadas por x t = mx t +mx t / m+m = x t + x t / e ( ) ( ) ( ( ) ( )) CM A A ( ) ( ) ( ( ) ( )) t = m t +m t / m+m = t + t / CM A A No instante t = 0, tem-se: x 0 = mx 0 +mx 0 / m+m = 3 a+ ( a) / = a e CM A 0 = m 0 +m 0 / m+m = 0+ 0 / =0 CM A C) Substituindo-se as expressões dadas para xa ( t ), x ( t ), A ( t ) e ( ) e obtemos: CM ( cos cos )/ cos( ) ( ) ( ) ( ) x t = a+a ωt a+a ωt = a ωt CM ( sen sen )/ sen ( ) t = a ωt +a ωt = a ωt t nas expressões acima, D) Somando-se os quadrados de xcm ( t ) e de CM ( t ), obtemos A equação ( ) x t + t = a cos ωt + a sen ωt = a sen ωt + cos ωt = a CM CM x + = a é a equação de uma circunerência de raio a com centro em (x = 0, = 0), CM CM que é a trajetória do centro de massa Pontuação: o item A vale dois pontos; o item vale dois pontos; o item C vale dois pontos; o item D vale quatro pontos Vestibular 009 º Etapa Física Pág de 6

2 0 A única orça horizontal (ao longo do eixo x) que atua em uma partícula de massa m = kg é descrita, em um dado intervalo de tempo, pelo gráico abaixo A partícula está sujeita a um campo gravitacional uniorme cuja aceleração é constante, apontando para baixo ao longo da vertical, de módulo g = 0 m/s Despreze quaisquer eeitos de atrito A) Determine o módulo da orça resultante sobre a partícula entre os instantes t = s e t = 3 s, sabendo que o impulso ao longo da direção horizontal oi de 30 N s no reerido intervalo de tempo ) Determine a variação da quantidade de movimento da partícula, na direção horizontal, entre os instantes t = 3 s e t 3 = 7 s A) No intervalo de tempo entre os instantes t = s e t = 3 s, o impulso ao longo do eixo x é I = 30 N s Logo, a orça resultante ao longo da direção x é: I = F ( t t) F = I ( t t) = 30/ F = 5N () Outra orça que age na partícula no reerido intervalo de tempo é a orça peso P = mg = kg 0 m / s = 0 N Logo, a orça resultante total entre os instantes t = s e t = 3 s é: F = F + P = F 5 () R R = N ) A variação da quantidade de movimento entre os instantes t =3 s e t 3 =7 s é igual ao impulso, que é numericamente igual à área sob a curva F t no reerido intervalo de tempo Logo, ( F + F )( t3 t ) ( ) 4 Q = I = = Q = 70 N s Pontuação: o item A vale até cinco pontos; o item vale cinco pontos 03 Uma barra cilíndrica reta metálica, homogênea, de comprimento L, com seção transversal A, isolada lateralmente a im de evitar perda de calor para o ambiente, tem suas duas extremidades mantidas a temperaturas e, > Considere que o regime estacionário tenha sido atingido A) Escreva a expressão do luxo de calor por condução, sabendo-se que esse luxo é proporcional à área da seção transversal e à dierença de temperatura entre os extremos da região de interesse ao longo da direção do luxo e inversamente proporcional à distância entre tais extremos ) Determine a temperatura de um ponto da barra localizado a uma distância L / 3 da extremidade de maior temperatura em unção de e Vestibular 009 º Etapa Física Pág de 6

3 A) No regime estacionário, o luxo através da barra é dado por Ф = KA( )/L, onde K é uma constante de proporcionalidade, denominada coeiciente de condutibilidade térmica ) O luxo entre as extremidades da barra se mantém constante ao longo de sua extensão Logo, Ф = KA( )/L = KA( )/(L/3), = + / 3, sendo esta a temperatura a uma distância L / 3 da extremidade de onde se obtém ( ) da barra que se encontra mantida a uma temperatura Pontuação: o item A vale quatro pontos; o item vale seis pontos 04 Uma onte ixa emite uma onda sonora de reqüência Uma pessoa se move em direção à onte sonora com velocidade v e percebe a onda sonora com reqüência Se essa mesma pessoa se aastasse da onte com velocidade v, perceberia a onda sonora com reqüência Considerando a velocidade do som no ar, v s = 340 m/s, e v = v = 0 m/s, determine a razão / Considere-se a velocidade positiva quando a pessoa se aproxima da onte sonora ixa e negativa v = v +v e quando se aasta Assim, para as duas situações descritas, podemos escrever / s / ( s ) / v = / ( v v ) Dessas duas equações, obtém-se / = ( v +v ) / ( v v ) s s s s Substituindo-se v s = 340 m/s e v = v = 0 m/s, obtém-se / = 9 / 8 Pontuação: a questão vale até dez pontos 05 Uma partícula de massa m e carga positiva q, com velocidade horizontal v r (módulo v), penetra numa região de comprimento L (paralelo à velocidade inicial da partícula), na qual existe um campo elétrico vertical E r (constante), conorme a igura abaixo A aceleração da gravidade local é g r (de módulo g, direção vertical e sentido para baixo) Na região onde o campo elétrico é não-nulo (entre as linhas verticais tracejadas na igura abaixo), a orça elétrica tem módulo maior que a orça peso Determine o módulo do campo elétrico para o qual a partícula apresenta o máximo alcance ao longo da linha horizontal localizada na altura em que ela deixa a região do campo elétrico Despreze quaisquer eeitos de dissipação de energia (resistência do ar, atrito etc) Vestibular 009 º Etapa Física Pág 3 de 6

4 Para que a partícula tenha o máximo alcance, como requerido na questão, a velocidade adquirida na vertical, no instante em a partícula deixa a região do campo elétrico, deve ser igual, em módulo, à velocidade inicial da partícula na direção horizontal, que é sempre constante (pela ausência de orças naquela direção) Nesse caso, após deixar a região do campo elétrico, a partícula é lançada obliquamente, num ângulo de 45 0 em relação à horizontal Essa é a condição de máximo alcance ao longo da linha horizontal que passa no ponto onde a partícula deixa a região de campo elétrico nãonulo O tempo no qual a partícula percorre a região do campo elétrico é: L t = () v Neste intervalo de tempo, a velocidade na direção alcança o valor v A aceleração ao longo da direção (vertical) é: { { { v v v = vo + a t a = = () t L = v = 0 L = v A orça resultante sobre a partícula na região do campo elétrico encontra-se ao longo da direção, sendo igual à dierença entre a orça elétrica e a orça peso Logo, m m v ( a + g) F R = qe mg = ma E = E = + g, q q L que é o valor do campo necessário para que a partícula tenha o máximo alcance ao longo da horizontal localizada na altura em que ela deixa a região do campo elétrico Pontuação: a questão vale até dez pontos 06 Dois capacitores desconhecidos são ligados em série a uma bateria de orça eletromotriz ε, de modo que a carga inal de cada capacitor é q Quando os mesmos capacitores são ligados em paralelo à mesma bateria, a carga total inal da associação é 4q Determine as capacitâncias dos capacitores desconhecidos Os capacitores desconhecidos serão aqui nomeados como C e C Quando os capacitores estão conectados em série à bateria, obtém-se: q CC = + = () ε C C C + C No caso da ligação em paralelo, obtém-se: 4q ( C C ) ε = + () Substituindo () em (), encontra-se: 4q C = ε C (3) Substituindo (3) em (), encontra-se, após alguma manipulação algébrica: = = = q q q q C C C 0 C ε ε ε ε Substituindo (4) em (3), encontra-se: q C = (5) ε Logo, as capacitâncias desconhecidas são dadas pelas equações (4) e (5) Pontuação: a questão vale até dez pontos (4) Vestibular 009 º Etapa Física Pág 4 de 6

5 07 Na igura abaixo, é mostrada uma distribuição de três partículas carregadas (duas com carga positiva e uma com carga negativa) localizadas ao longo dos eixos perpendiculares de um dado sistema de reerência odas as distâncias estão em unidades arbitrárias (ua) As cargas positivas, ambas iguais a q, estão ixas nas coordenadas (x,), iguais a (4,0) e ( 4,0) A carga negativa, igual a q, está localizada, inicialmente em repouso, no ponto A, cujas coordenadas são (0,3) A aceleração da gravidade local é constante (módulo g) e aponta no sentido negativo do eixo do sistema de reerência, que está na vertical odas as partículas possuem a mesma massa m A constante eletrostática no meio em que as partículas carregadas estão imersas é K Determine o módulo da velocidade com que a partícula com carga negativa chega ao ponto P, localizado pelas coordenadas (x,) = (0, 3) O problema envolve o conceito da conservação de energia Assumimos aqui que o zero de energia potencial elétrica encontra-se no ininito e que o zero de energia potencial gravitacional encontra-se no eixo = 0 A energia mecânica da partícula com carga q, na posição inicial, é igual à energia no ponto P Logo, Kq Kq EA = EP 3mg = mv 3mg 5 5 v = g Pontuação: a questão vale até dez pontos Vestibular 009 º Etapa Física Pág 5 de 6

6 08 N recipientes, n, n, n 3, n N, contêm, respectivamente, massas m a uma temperatura, m / a uma temperatura /, m / 4 a uma temperatura / 4,, m / N a uma temperatura / N, de um mesmo líquido Os líquidos dos N recipientes são misturados, sem que haja perda de calor, atingindo uma temperatura inal de equilíbrio A) Determine, em unção do número de recipientes N ) Determine, se o número de recipientes or ininito A) Quando misturamos uma massa m de um líquido de calor especíico c, que se encontra a uma temperatura, com uma massa m do mesmo líquido, que se encontra a uma temperatura, as duas massas trocam calor até que o equilíbrio térmico seja atingido Isso implica m c +m c =, de onde tiramos a temperatura de equilíbrio ( ) ( ) ( ) / ( ) 0 = m +m m +m Se misturarmos a esse líquido de massa m + m, que está a uma temperatura, uma massa m 3 do mesmo líquido a uma temperatura 3, podemos seguir o cálculo acima para encontrarmos = m +m +m / m +m +m = m +m +m / m +m +m (( ) ) Esse procedimento pode ser estendido até termos misturado os líquidos de todos os N recipientes Obteremos para a temperatura inal de equilíbrio = m +m + +m / m +m + +m ( ) ( ) N N N Substituindo-se m = m, m = m/,, m N = m/ N-, =, = /,, N = / N-, encontramos N ( / 4 /6 / ) / ( / / 4 / N = m m ) No numerador aparece uma progressão geométrica com N termos (sendo o primeiro termo igual a ) e de razão / 4 ; no denominador também aparece uma progressão geométrica com N termos (sendo o primeiro termo igual a ) e de razão / Sabemos que a soma dos termos de uma progressão geométrica com N termos (o primeiro termo sendo a ) e de razão q é dada por N ( ) ( ) S = a q / q Utilizando essa expressão para obter as somas que aparecem na expressão para ) Se o número de recipientes or ininito, a expressão para é, obtemos ( N / ) / 3( / N = ) ( ) ( ) = m + / 4+ /6 + / m + / + / 4 + A soma dos termos de uma progressão geométrica ininita com primeiro termo a e razão q (0 < q < ) é S = a / ( q) Utilizando esse resultado para calcularmos as somas que aparecem na expressão acima para, obtemos = / 3 Pontuação: o item A vale até cinco pontos; o item vale cinco pontos Vestibular 009 º Etapa Física Pág 6 de 6