Unidade 10 Teoremas que relacionam trabalho e energia. Teorema da energia cinética Teorema da energia potencial Teorema da energia mecânica

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1 Unidade 10 Teoremas que relacionam trabalho e energia Teorema da energia cinética Teorema da energia potencial Teorema da energia mecânica

2 Teorema da nergia Cinética Quando uma força atua de forma favorável ou contrária ao movimento de um corpo, dizemos, respectivamente, que o trabalho realizado por ela é motor ou resistente. Assim, podemos supor que, se o trabalho de uma força pode ajudar ou trabalhar o movimento de um corpo, então ele pode ser associado ao aumento ou diminuição da velocidade desse corpo.

3 Teorema da nergia Cinética Demonstração Através desse importante teorema da Física, é possível calcular o trabalho total de todas as forças presentes num sistema, tanto as forças conservativas ou dissipativas quanto as forças internas ou externas ao sistema

4 Teorema da nergia Cinética Demonstração O TC foi enunciado da seguinte forma: O trabalho total de todas as forças atuantes em um sistema físico é dado pela variação da energia cinética do sistema. Faremos a demonstração do teorema através do caso particular de uma partícula em trajetória retilínea sob a ação de uma força resultante constante.

5 Teorema da nergia Cinética Demonstração O trabalho da força será dado por: Observe que α = 0 e cos α = 1 Considerando V 0 como a velocidade escalar inicial e V como a velocidade escalar após o deslocamento de módulo igual a d. Considere m como a massa do ponto material e F como a intensidade da força resultante. τ =F.d Para o Princípio Fundamental da Dinâmica, temos: F =m.a (I) (II)

6 Teorema da nergia Cinética Demonstração Para a expressão de Torricelli, temos: V =V + ad 0 (III) Tirando o valor de d em (III), vem: d = V V a 0 (IV) Substituindo (II) e (IV) em (I), temos: τ = Fd. τ = ma.. ( V V ) a 0 m.v A grandeza chamada de energia cinética da partícula e, portanto : τ = mv mv 0 τ = cfinal cinicial

7 Teorema da nergia Cinética Demonstração O trabalho da resultante das forças aplicadas em um corpo é igual à variação de sua energia cinética. τ = cfinal cinicial

8 Teorema da nergia Cinética Interpretação a) τ Fr > 0, ou seja motor. Nesse caso, cf ci > 0 ou cf > ci. Isso significa que a resultante das forças fornecem energia cinética ao corpo, deixando-o mais veloz. b) τ Fr = 0, ou seja nulo. Nesse caso, cf ci = 0 ou cf = ci. Isso significa que o resultante das forças não forneceu nem retirou energia cinética do corpo. Dessa forma, ele mantém sua velocidade escalar constante. c) τ Fr < 0, ou seja resistente. Nesse caso, cf ci < 0 ou cf < ci. Isso significa que a resultante das forças retirou energia cinética do corpo, deixando-o mais lento.

9 Teorema da nergia Cinética xemplo de Aplicação Um corpo de massa m = 4 kg está sob a ação de quatro forças como mostra a figura, e move-se para a direita. São dados:. Sabendo que o corpo passa pelo ponto X com velocidade, calcule a velocidade do corpo ao passar pelo ponto y.

10 Teorema da nergia Cinética xemplo de Aplicação Vamos resolver esse exercício usando o Teorema da nergia Cinética e, para isso, vamos primeiramente calcular o trabalho total realizado pelas forças que atuam sobre o corpo. sse trabalho pode ser calculado de dois modos. Um deles consiste em calcular o trabalho de cada força e depois efetuar a soma:

11 Teorema da nergia Cinética xemplo de Aplicação Apliquemos agora o Teorema da nergia Cinética:

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13 Teorema da nergia Potencial Com qualquer teorema, o da energia potencial possui demonstração matemática e requer para ser perfeitamente compreendido. τ Fcons A B = PA PB = Pi Pf = P O trabalho das forças conservativas aplicadas em um corpo é igual à variação de energia potencia.

14 Teorema da nergia Potencial Interpretação Utilizando o Teorema da energia potencial, podemos analisar três resultados possíveis para o trabalho das forças conservativas que agem em um corpo: a) τ Fcons > 0, ou seja, é motor. Nesse caso, pi pf > 0 ou pf < pi. Isso significa que o corpo perde energia potencial e realiza movimento espontânea.

15 Teorema da nergia Potencial Interpretação b) τ Fcons = 0, ou seja, é nulo. Nesse caso, pi pf = 0 ou pf = pi. Isso significa que, entre as posições inicial e final ocupadas pelo corpo, a energia potencial dele não sofre variação. Isso ocorre, normalmente, em dois casos: I) Quando o corpo permanece parado; II) Quando o corpo se locomove perpendicularmente à resultante das forças conservativas (nessa última situação, a trajetória seguida pelo corpo fica contida numa superfície chamada equipotencial)

16 Teorema da nergia Potencial Interpretação c) τ Fcons < 0, ou seja, é resistente. Nesse caso, pi pf < 0 ou pf > pi. Isso significa que o corpo ganha energia potencial e realiza movimento forçado.

17 Teorema da nergia Potencial xemplo de aplicação p. 1 3) Um corpo de massa 5 kg percorre 10 metros numa superfície horizontal sob ação de uma força de intensidade 8N de mesma direção e sentido do deslocamento realizado. Sob a luz do Teorema da nergia Potencial, quanto vale o trabalho do peso desse corpo nessa situação? Resposta: Segundo o Teorema da nergia Potencial, para que haja o trabalho de uma força conservativa, é necessário que haja variação da energia potencial. No caso de um corpo que se desloca sobre uma superfície horizontal, a energia potencial gravitacional não se altera e, consequentemente, o trabalho de seu peso é nulo.

18 Teorema da nergia Potencial xemplo de aplicação p. 1 4) Um conjunto massa-mola possui uma energia potencial elástica de 30J. Após sofrer certo deslocamento, esse conjunto passa a ter uma energia potencial de 50J. Nessa situação, quanto vale o trabalho da força elástica que atuou sobre o corpo durante o deslocamento? O movimento foi espontâneo ou forçado? τ τ τ Fcons A B Fcons A B Fcons A B = = 30 PA = 0J 50 PB Sempre que o trabalho das forças conservativas é resistente (negativo). O movimento é forçado.

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20 Teorema da nergia Mecânica Forças Conservativas As energias cinética e potencial dependem de fatores diferentes. nquanto a primeira é função da velocidade de um corpo; nquanto a segunda é função da posição que ela ocupa; Assim, um corpo pode apresentar, simultaneamente, essas duas modalidades de energia. A soma algébrica das energias cinética e potencial de um corpo é denominada energia mecânica. Matematicamente, poderíamos escrever: = + M C P

21 Teorema da nergia Mecânica Forças Não Conservativas Relembrar: As forças que atuam em um corpo pode ser de dois tipos: Conservativas: peso, elástica e elétrica Não conservativas: atrito, resistência do ar, normal, tração, etc. Para trabalho de forças não conservativas podemos definir matematicamente que: O trabalho das forças não conservativas que atuam sobre um corpo é igual à variação de sua energia mecânica: τ Fñcons = Mf Mi

22 Teorema da nergia Mecânica Forças Não Conservativas - Interpretação a) τ Fñ cons > 0, ou seja, é motor. Nesse caso, Mf Mi > 0 ou Mf > Mi. Isso significa que as forças não conservativas forneceram energia cinética, potencial ou ambas ao corpo em que atuam. b) τ Fñ cons = 0, ou seja, é nulo. Nesse caso, Mf Mi = 0 ou Mf = Mi. Isso significa que não atuou qualquer força não conservativa sobre o corpo, ou que ele não se deslocou (e, por isso, elas não realizaram trabalho) ou que mais de uma força não conservativa atuou sobre o corpo e realizou trabalho, sendo toda energia fornecida por algumas delas retirada por outras. c) τ Fñ cons < 0, ou seja, é resistente. Nesse caso, Mf Mi < 0 ou Mf < Mi. Isso significa que as forças não conservativas retiraram energia cinética, potencial ou ambas do corpo em que atuam.

23 xemplo de aplicação p. e = + + = = mgh mv mgh mv i f Fñcons Pi Ci Pf Cf Fñcons Mi Mf Fñcons.. ) ( ) ( τ τ τ ( ) ( ) = + + = Fñcons Fñcons τ τ J Fñcons = 300 τ

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