CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA Cinemática. Isabelle Araújo Engenharia de Produção Myllena Barros Engenharia de Produção

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1 CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA Cinemática Isabelle Araújo Engenharia de Produção Myllena Barros Engenharia de Produção

2 Cinemática Na cinemática vamos estudar os movimentos sem levar em consideração suas causas. Isso quer dizer que vamos determinar a posição, a velocidade e a aceleração de um corpo em cada instante, sem nos preocuparmos com suas causas. 2/67

3 Conceitos de Movimento Referencial: Corpo de referência para ver se outro corpo está ou não em movimento; Ponto Material: Todo corpo cujas as dimensões não interferem no estudo. (depende do referencial) Corpo Extenso: Não pode ter massa desprezada. (não depende do referencial) 3/67

4 Conceitos de Movimento Movimento: Distância entre o corpo e o referencial varia com o tempo. Repouso: Distância entre o corpo e o referencial não varia com o tempo. Trajetória: Linha determinada, caminho percorrido por um corpo ao decorrer do tempo. 4/67

5 Conceitos de Movimento Posição Escalar: Distância do corpo até a origem das posições. Espaço percorrido: Todo o caminho percorrido. Deslocamento: Distância entre dois objetos. 5/67

6 Praticando... Leia com atenção a tira da Turma da Mônica mostrada a seguir e analise as afirmativas que se seguem, considerando os princípios da Mecânica Clássica. 6/67

7 Praticando... I. Cascão encontra-se em movimento em relação ao skate e também em relação ao amigo Cebolinha. II. Cascão encontra-se em repouso em relação ao skate, mas em movimento em relação ao amigo Cebolinha. III. Em relação a um referencial fixo fora da Terra, Cascão jamais pode estar em repouso. Estão corretas: a) apenas I b) I e II c) I e III d) II e III e) I, II e III 7/67

8 Deslocamento Escalar É a diferença entre espaço final (S f ) e o espaço inicial (S i ) do móvel. Digite a equação aqui. s= S f S i 8/67

9 Distância Percorrida É a soma de todos os deslocamentos. d = d 1 + d 2 9/67

10 Praticando... Um móvel parte do km 50, indo até o km 60, onde, mudando o sentido do movimento, vai até o km 32. O deslocamento escalar e a Distância efetivamente percorrida são, respectivamente: a) 28 km e 28 km d) 18 km e 18 km b) 18 km e 38 km e) 38 km e 18 km c) -18 km e 38 km 10/67

11 Velocidade Escalar Média É a razão entre o deslocamento ( s ) e o correspondente intervalo de tempo ( t ): V m = s t 11/67

12 Praticando... Maria saiu de Mosqueiro às 6 horas e 30 minutos, de um ponto da estrada onde o marco quilométrico indicava km 60. Ela chegou a Belém às 7 horas e 15 minutos, onde o marco quilométrico da estrada indicava km 0. A velocidade média, em quilômetros por hora, do carro de Maria, em sua viagem de Mosqueiro até Belém, foi de: a) 45 d) 80 b) 55 e) 120 c) 60 12/67

13 Aceleração Escalar Média É a razão entre a variação da velocidade escalar instantânea ( v ) e o correspondente intervalo de tempo ( t ). A m = v t 13/67

14 Praticando... Um carro de corrida é acelerado de forma que sua velocidade em função do tempo é dada conforme a tabela. Determine o valor da aceleração média desse carro. R: 6,66 m/s² 14/67

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16 Movimento Vertical QUEDA LIVRE No vácuo, todos os corpos soltos simultaneamente de uma mesma altura chegam ao solo ao mesmo tempo e com a mesma velocidade. 16/67

17 Movimento Vertical Aceleração da gravidade(g) = 9,8m/s² Como a aceleração da gravidade de queda livre é vertical e para baixo, podemos representá-la pelo vetor: 17/67

18 Movimento Vertical Gráfico da evolução Velocidade x Tempo 18/67

19 Equações: Função horária do espaço Função horária da velocidade Torricelli 19/67

20 Praticando... Uma bola é abandonada do repouso de uma altura de 80 m acima do solo. Despreze a resistência do ar e considere g=10m/s². Determine: a) A função horária do espaço, a função da velocidade e a equação de Torricelli para o movimento da bola, considere a trajetória orientada para baixo com a origem no ponto em que o corpo foi abandonado. b) O tempo em que a bola demora para chegar ao solo. c) a velocidade da bola ao atingir o solo. R.: a) s = 5t², v= 10t, v²=20(s-s0) b) t = 4s c) v = 40m/s 20/67

21 Lançamento Vertical A diferença entre a queda livre a partir do repouso e o lançamento vertical reside nas condições iniciais. No lançamento vertical a velocidade inicial não é nula, mas continua valendo a propriedade de que os corpos, sob ação exclusiva da atração gravitacional, têm a mesma aceleração. Subida: retardado uniformemente, pois a velocidade e a aceleração tem sinais diferentes. Descida: acelerado uniformemente. 21/67

22 Equações: Altura máxima: (v = 0) em Torricelli O tempo de subida = tempo de descida O tempo total = tempo de subida + tempo de descida 22/67

23 Praticando... Do alto de uma torre, a uma altura de 35m em relação ao solo, um corpo é lançado verticalmente para cima, com velocidade inicial de 30m/s. Despreze a resistência do Ar e considere g=10m/s². Determine: a) O tempo até o corpo atingir o ponto de altura máxima; b) A altura máxima atingida pelo corpo,em relação ao ponto de lançamento e ao solo. c) Quanto tempo, desde o lançamento, o corpo demora para atingir o solo. R: a) 3,0 s b) 45 m, 80m c)7,0 s 23/67

24 Lançamento Horizontal Quando um corpo lançado horizontalmente entra em queda, ele descreve uma trajetória parabólica até atingir o solo. 24/67

25 Lançamento Horizontal Direção horizontal (eixo Ox) O movimento é retilíneo e uniforme, ou seja, a velocidade é constante e não-nula. x = x o + v o t x = v o t s = s o + v o t 25/67

26 Equações: Direção vertical(eixo Oy) O movimento é retilíneo acelerado uniformemente, ou seja, a velocidade aumenta uniforme com o tempo e seu módulo é dado por vy = gt. Y = (gt²) /2 26/67

27 Equações: Para obter a equação da trajetória (coordenada y em função de x), isola t em I e substitui em II. Desse modo: 27/67

28 Praticando... Um corpo é lançado horizontalmente com velocidade de 20m/s do alto de um prédio de 20 m de altura, g = 10m/s². Determinar: o tempo de queda, o ponto onde o corpo atinge o solo e a velocidade do corpo ao atingir o solo. R: Tempo 2,0s ; x= 40m ; v= /67

29 Lançamento Oblíquo Considerando um lançamento oblíquo, devemos relacionar a velocidade inicial e o ângulo de lançamento com o alcance e do jato e a altura máxima atingida por ele. Para tal, decompõe-se as forças em duas direções, vertical e horizontal: 29/67

30 Lançamento Oblíquo É a composição de dois movimentos: No movimento horizontal(ox): v0cos No movimento vertical(oy): v0,y = v0sen, o movimento é retardado (do lançamento até a altura máxima) e depois acelerado (do ponto de altura até o solo). 30/67

31 Equações: Direção Horizontal (Ox) x = v o cosθ t Direção Vertical (Oy) y o = v o senθ gt y = v o senθ t gt² 2 31/67

32 Equações: Tempo de Vôo t subida = t descida = v osenθ g t vôo = t subida + t descida 32/67

33 Equações: Altura Máxima h máximo = (v o. senθ)² 2g 33/67

34 Praticando... Numa competição nos jogos de Winnipeg, no Canadá, um atleta arremessa um disco com velocidade de 72 km/h, formando um ângulo de 30º com a horizontal. Desprezando-se os efeitos do ar, a altura máxima atingida pelo disco é: (g 10 m/s²) a) 5,0 m d) 25,0 m b) 10,0 m e) 64,0 m c) 15,0 m 34/67

35 Obrigada pela atenção! /67