A equação da posição em função do tempo t do MRUV - movimento retilíneo uniformemente variado é:

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1 Modellus Atividade 3 Queda livre. Do alto de duas torres, uma na Terra e outra na Lua, deixaram-se cair duas pedras, sem velocidade inicial. Considerando que cada uma das pedras leva 3,0s atingir o solo desprezando-se a resistência do ar, calcule: a) A altura de cada uma das torres. b) A velocidade com que cada uma das pedras atinge o solo. c) O instante em que cada uma das pedras se encontra a igual distância do alto da torre e do solo. Considerar: gt=9,8 m/s 2 e gl=1,67 m/s 2 Resolução. 1. Criando o modelo que descreve o movimento. A equação da posição em função do tempo t do MRUV - movimento retilíneo uniformemente variado é: Y = Yo + Vo.t - ½.a.t 2 sendo Yo a coordenada inicial da partícula segundo o eixo dos Y, e Vo a componente escalar da velocidade inicial e a a componente escalar da aceleração, segundo o mesmo eixo. A equação da velocidade é dada por V = Vo - a.t Escreva na janela Modelo em linhas diferentes as equações do movimento. 2. Interpretando o modelo. Dê um clique no botão Interpretar. O botão Interpretar faz com que o programa Modellus verifique se não há qualquer erro e possa efetuar os cálculos. (Nota: é necessário re-interpretar sempre que se alterar o modelo.) Logo após clicar no botão interpretar, caso as equações estejam corretas, a janela de Condições iniciais identifica os parâmetros do modelo. Veja a figura abaixo:

2 Vamos considerar 2 casos: - o caso Terra - o caso Lua Considerando o caso Terra inicialmente, adotemos então g = 9.8. Basta digitar esse valor na janela de condições iniciais no campo correspondente. 3. Configurando a janela de Controle. Dê um clique no botão Opções... da janela Controle. Estabeleça os seguintes valores para os parâmetros. Veja a figura. - A variável independente t irá variar de 01. em 0.1 de 0 até 3 (o tempo de queda)

3 4. Criando a janela de animação. - No menu Janela escolha a opção Nova Animação - insira uma partícula na janela - configure as propriedades conforme da partícula conforme a figura abaixo: - insira o seguinte texto na janela de animação: "Queda da pedra na torre da Terra". 5. Execute a simulação Após a execução da animação você poderá observar uma figura semelhante a que está ilustrada abaixo, veja:

4 6. Adicionando um vetor na janela de animação. - Vamos adicionar um vetor a pedra. O vetor estará representando a velocidade resultante da pedra. Coloque o vetor sobre a partícula que está representando a pedra e responda afirmativamente a pergunta de ligar o vetor a partícula. - Observe que a grandeza associada ao vetor é V. (velocidade). Ele nos ajudará a responder a questão sobre a velocidade com a pedra atinge o solo. - Preencha os valores da caixa de diálogo do vetor de acordo com a figura abaixo:

5 7. Adicionando um medidor digital na janela de animação. - Vamos adicionar um medidor digital a pedra. Ele nos fornecerá a medida do "espaço percorrido" pela pedra durante a queda. Em outras palavras, não considerando o sinal do valor, ele será uma medida da altura da torre. - Coloque o medidor digital sobre a partícula que está representando a pedra e responda afirmativamente a pergunta de ligar o medidor a partícula. Observe que a grandeza associada ao medidor é Y. (distância percorrida) Veja a figura abaixo: 8. Execute a animação novamente. A janela de animação deverá estar similar a figura abaixo. Confira!

6 Assim, a partir dos valores gerados acima podemos concluir que, em valores absolutos (módulo): - a altura da torre da Terra é de 44.10m e - a velocidade com que a pedra atinge o solo é de m/s. confira com os seus cálculos! Agora, e quanto a questão da letra c, a saber, o instante em que a pedra se encontra a igual distância do alto da torre e do solo?? 9. Adicionando mais um caso. (a queda na Lua) No menu principal na opção Caso selecione Adicionar. A janela Condições iniciais será apresentada e uma grade denominada caso 2 será apresentada com os parâmetros da simulação. Altere o valor do parâmetro g (aceleração da gravidade) para o valor da mesma na Lua, segundo apresentado pelo exercício, g = 1.67(m/s 2 ). Veja a figura abaixo:

7 10. Execute a simulação novamente Observe que agora há dois casos na janela de animação. Veja a figura abaixo, no qual apresentamos os valores para a simulação de queda livre na lua. Assim, a partir dos valores gerados acima podemos concluir que, em valores absolutos (módulo): - a altura da torre da Lua é de 7.51 m e - a velocidade com que a pedra atinge o solo é de 5.01 m/s. confira com os seus cálculos!

8 Agora, e quanto a questão da letra c, a saber, o instante em que a pedra se encontra a igual distância do alto da torre e do solo?? 11. Adequando o texto. Observe que, embora a figura acima esteja tratando da queda da pedra que ocorreu na Lua, o texto originalmente digitado apresenta como se a queda estivesse na torre da Terra. Com o segundo botão do mouse dê um clique sobre o texto. A caixa de diálogo será apresentada. Altere os dados conforme a figura abaixo: Quando concluir dê um clique no botão OK. 12. Sugestão para o cálculo da letra c. Observemos que, a posição da pedra em queda livre em qualquer instante t é dada pela seguinte expressão: Y = Yo + Vo.t - ½.a.t 2 quando o tempo transcorrido for de 3s então a pedra terá atingido o solo. Assim, a distância total percorrida pela pedra e que coincide com a altura da torre pode ser calculada substituindo-se o tempo t na expressão acima pelo valor 3. Desse modo, a distância que ainda falta para a pedra percorrer para atingir o solo (distância do solo à pedra) pode ser dada pela seguinte expressão: a percorrer = total - percorrido utilizando as nossas variáveis e substituindo t por 3 (tempo total de queda), temos: a percorrer = [Yo + Vo.3 - ½.a.3 2 ] - [Yo + Vo.t - ½.a.t 2 ] Yo=0, origem dos eixos. Vo=0, pois a pedra parte do repouso. assim, a percorrer = [- ½.a.3 2 ] - [- ½.a.t 2 ]

9 como estamos nos referindo a distâncias, os valores devem ser tomados em módulo, isto é, o importante é a diferença entre eles e não o seu sinal, desse modo: a percorrer = [½.a.3 2 ] - [½.a.t 2 ] A expressão acima nos dá a distância da pedra ao solo em função do tempo t de queda. A sugestão então é, incluir esse novo parâmetro no modelo e reinterpretar a simulação. No momento em que a distância a percorrer for igual a distância percorrida teremos o tempo procurado. A distância percorrida é o próprio parâmetro Y já definido no modelo (considerado em valor absoluto), desse modo, precisamos incluir esses dois novos parâmetros. Adicionando então essas novas variáveis ao modelo ficamos com: 13. Reinterpretando o modelo. - Dê um clique no botão interpretar. 14. Adicionando um novo gráfico. - No menu principal escolha a opção Janela / Novo Gráfico. Após o novo gráfico a janela do novo gráfico se abrir, selecione os parâmetros a_percorrer e percorrido, ambos em função do tempo t. Dê um clique no botão ajustar e confira abaixo: (execute a simulação novamente)

10 O ponto de intersecção acima é o ponto procurado. Calcule e verifique!