ENERGIA POTENCIAL E CONSERVAÇÃO DE ENERGIA Física Geral I ( ) - Capítulo 04

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1 ENERGIA POTENCIAL E CONSERVAÇÃO DE ENERGIA Física Geral I ( ) - Capítulo 04 I. Paulino* *UAF/CCT/UFCG - Brasil / 15

2 Sumário Trabalho e EP Energia potencial Forças conservativas Calculando EP Energia Potencial Gravitacional Energia Potencial Elástica Energia Mecânica Conservação de Energia Mecânica Curva de energia potencial Trab. Forças Externa e Cons. Energia Trabalho devido à forças externas Conservação de Energia 2 / 15

3 Trabalho e Energia Potencial A energia potencial U é o tipo de energia que pode ser associada à configuração (arranjo) de um sistema que exercem forças entre si. Se a configuração do sistema se alterar, a energia potencial também será alterada. Um tipo especial de energia potencial é a energia potencial gravitacional que deve-se ao estado de separação entre objetos. Outro tipo de energia potencial que será bastante discutido neste curso é a energia potencial elástica que está associada ao estado de compressão e estiramento de um objeto elástico tipo uma mola. 3 / 15

4 Trabalho e Energia Potencial No movimento do tomate ao lado, durante a subida, sabe-se que o trabalho realizado pela força gravitacional é negativo, ou seja, a força gravitacional retira energia da energia cinética do tomate. Isto acontece até que toda a energia seja transferida completamente. Quando o tomate chega ao topo da sua trajetória, este possui apenas energia potencial gravitacional. O processo contrário acontece quando o tomate realiza o movimento de descida. Durante a descida, sabe-se que o trabalho realizado pela força gravitacional é positivo. A energia potencial, que o tomate adquirira quando chegou ao topo da trajetória, é completamente transferido para a forma de energia cinética. Desta maneira, tanto na subida, quanto na descida, a variação da energia potencial pode ser escrita por: U = W. (1) Embora, o exemplo tomado se diz respeito à energia potencial gravitacional, a Equação 1 pode ser aplicada também para um sistema de uma massa presa a uma mola. 4 / 15

5 Forças conservativas e não-conservativas Sempre que um campo vetorial qualquer G puder ser escrito como ± gradiente de uma campo escalar φ, diz-se que este campo vetorial é um campo conservativo. Matematicamente, tem-se: G = ± φ, neste caso, é o operador gradiente e pode ser escrito, em coordenadas cartesianas, por: = ˆx x ŷ y + ẑ z. O campo escalar φ é dito campo potencial de G. Em analogia a essa definição matemática, pode-se escrever a seguinte expressão: F = U, neste caso, F é a força que atua sobre o sistema. Sempre que isto for possível, diz que U é a energia potencial associada à força F e a força F é dita conservativa. 5 / 15

6 Forças conservativas e não-conservativas Admitindo que a força variável F mude apenas em uma única direção, o módulo do campo vetorial F pode ser calculado por: F (x) = du dx Quando apenas forças conservativas atuam sobre um sistema, a solução do problema pode ser significantemente simplificada, utilizando-se os conceitos de energia Seja W 1 o trabalho realizada sobre o sistema e W 2 o trabalho realizado pelo sistema. Numa situação em que W 1 = W 2, a força resultante que está realizando trabalho é conservativa. Exemplos de forças conservativas: força gravitacional, força elástica (lei de Hooke), força eletrostática, etc. Um típico exemplo de uma força não conservativa é a força de atrito. 6 / 15

7 Independência do percurso para forças conservativas O principal teste para saber se uma força é conservativa é o seguinte: O Trabalho resultante realizado por uma força conservativa sobre um sistema que se move ao longo de qualquer percurso fechado é igual a zero. O exemplo dado anteriormente sobre a subida e descida do tomate é justamente sobre um percurso fechado, no qual a tomate sai de um ponto inicial e retorna aquele mesmo ponto. Um resultado importante do teste do caminho fechado é que: O trabalho realizado por uma força conservativa sobre um sistema em movimento entre dois pontos independe do percurso seguido. Em termos matemáticos, pode-se se escrever: W ab,1 = W ab,2 (2) Para demostrar a Equação 2, faz-se o seguinte: Sabe-se que o trabalho realizado por uma força conservativa ao longo de um percurso fechado é nulo, logo portanto, W ab,1 + W ba,2 = 0, W ab,1 = W ba,2, ou seja, o trabalho realizado ao longo da trajetória de ida deve ser igual ao trabalho realizado pela trajetória de volta. 7 / 15

8 Energia Potencial Gravitacional Sabendo que a variação da energia potencial pode ser escrita por: U = W Por outro lado, o trabalho de uma força variável qualquer que atua em apenas uma direção pode ser encontrado da seguinte forma: W = xf x i F (x)dx. Desta maneira, a variação da energia potencial pode ser calculada por: U = xf x i F (x)dx. (3) Para o caso da energia potencial gravitacional tem-se que F (y) = mg, em que g é o módulo do campo gravitacional que está atuando sobre o sistema. Substituindo na Equação 3, tem-se que: U = y f y i mgdy = mg y i y dy f U = mg(y f y i ) = mg y. Tomando um ponto de referência como sendo y i = 0 correspondente a um valor de energia potencial inicial U i = 0, pode-se se escrever a enrgia potencial para um y f = y como (4) U(y) = mgy. (5) Isto quer dizer que a energia potencial gravitacional depende apenas da posição vertical y do sistema em relação à um nível de referência arbitrário. 8 / 15

9 Energia Potencial Elástica Da mesma maneira, pode-se utilizar a lei de HooKe, ou seja, F (x) = kx, para calcular a energia potencial elástica, i.e.,: U = x f x i kxdx = k y i y f U = 1 2 kx 2 f 1 2 kx 2 i. xdx Escolhendo o valor de U i = 0 em x = 0 e fazendo x f = x tem-se que (6) U(x) = 1 2 kx 2. (7) O que quer dizer que a energia potencial elástica é proporcional ao quadrado da distância de deslocamento do sistema preso à mola. 9 / 15

10 Conservação de Energia Mecânica A energia mecânica de um sistema pode ser considerada como a soma da energia cinética e a energia potencial. Ou seja, E m = U + K. (8) Quando apenas forças conservativas atuam sobre o sistema e não há transferência de energia mecânica para uma outra forma de energia. Ou seja, quando nehuma força atua sobre o sistema. Sabe-se que neste caso a variação da energia cinética pode ser calculada por: K = W (9) e ainda, a variação da energia potencial pode ser estimada por: U = W. (10) Comparando as Equações 10 e 9, pode-se escrever que: U = K U f U i = K f K i K f + U f = K i + U i E mf = E mi E m = 0. (11) Isto implica que, num sistema isolado (sem a ação de uma força externa), a energia mecânica se conserva. Portanto, pode-se relacionar a soma da energia cinética e a energia potencial em instantes distintos sem se preocupar com o movimento intermediário que o sistema foi submetido. 10 / 15

11 Leitura da curva de Energia Potencial Olhando para curva de energia potencial pode-se facilmente escrever a curva da força variável que está atuando sobre o sistema considerando a seguinte equação: F (x) = du dx. No painel (c) desta figura, o ponto x 1 é conhecido como ponto de retorno. Os pontos x 2 e x 4 são conecidos como pontos de equiĺıbrio estável. O ponto x 3 é o ponto de equiĺıbrio instável e todos os pontos à direita de x 5 são pontos de equiĺıbrio neutro. 11 / 15

12 Equiĺıbrio neutro, estável e instável Na prática, os pontos de equiĺıbrio podem ser melhor visualizados na esquema da figura abaixo. 12 / 15

13 Trabalho realizado por uma força externa Trabalho é a energia transferida para um sistema ou retirada dele por meio de uma força externa que age sobre este sistema Quando a energia é tranferida para o sistema, o trabalho é positivo. Quando a energia é retirada do sistema, o trabalho é negativo. Como tática para solução de problemas, é sempre necessário escolher adequadamente o sistema que pretende-se estudar. Para o caso de um sistema livre de forças dissipativas, pode-se calcular o trabalho devido a uma força externa por: W = K + U W = E m, isto é, o trabalho devido à força externa sem a presença de atrito pode ser calculado a partir da variação da energia mecânica do sistema. (12) 13 / 15

14 Trabalho realizado por uma força externa Considere uma força F constante que puxa um bloco ao longo de um eixo x deslocando por uma distância d e fazendo a velocidade aumentar de v 0 para v. Durante este deslocamento, o piso exerce uma força de atrito cinético constante f k sobre o bloco. Aplicando a segunda lei de Newton, pode-se escrever que: F f k = ma, em que m é a massa do bloco e a é o módulo da aceleração que atua sobre o bloco. Utilizando a equação de Toricelli, pode-se reescrever a equação acima por: Fd = 1 2 mv mv f k d, Para uma situação mais geral (por exemplo, obloco subindo numa rampa) pode-se também considerar a energia potencial, ou seja: Fd = K + U + f k d Fd = E m + f k d. (13) Porém, o termo f k d que é o trabalho realizado pala força de atrito serve, por exemplo, para aquecer a superfície enquando to bloco desliza, logo este termo pode ser considerado como sendo uma energia térmica (E Te ), portanto, W = E m + E Te, (14) que é o trabalho de uma força externa na presença do atrito. 14 / 15

15 A energia total E de uma sitema deve obedecer ao princípio de conservação de energia que diz que: A energia total de um sistema pode variar apenas através de quantidades de energia que são transferidas para o sistema ou retiradas dele. O trabalho foi a única forma de transferência de energia estudada, sendo assim, W = E = E m + E Te + E int, aqui E int é a variação de energia interna do sistema. Esta é uma lei física formulada a partir de inúmeras experimentações e nunca foi encontrado exceções à essa lei. Se o sistema estiver isolado de sua vizinhaça, a lei de conservação de energia estabelece que: A energia total E de um sistema isolado não pode variar. Conservação de Energia Desta maneira pode-se escrever que: E m + E Te + E int = 0. De onde pode-se concluir que: E m,f = E m,i E Te E int. (15) Ou seja, em um sistema isolado pode-se relacionar a energia total em um instante qualquer com a energia em outro instante sem considerar valores da energia em instantes intermediários. A potência média devida à força que atua durante um intervalo t, de uma forma mais geral pode ser escrita por: P med = E t, (16) analogamente, a potência instantânea fica: P = de dt. (17) 15 / 15