Um capacitor é um sistema elétrico formado por dois condutores separados por um material isolante, ou pelo vácuo.

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1 Capacitores e Dielétricos Um capacitor é um sistema elétrico formado por dois condutores separados por um material isolante, ou pelo vácuo. Imaginemos uma configuração como a de um capacitor em que os dois condutores estejam inicialmente descarregados (com carga líquida nula). O processo chamado de carregamento de um capacitor consiste em transferir elétrons de um dos condutores para o outro de maneira que, no fim do processo, um dos condutores esteja com carga líquida positiva +Q e o outro condutor esteja com carga líquida negativa Q. Note que a carga líquida total do sistema formado pelos dois condutores continua nula. Após o carregamento de um capacitor, dizemos que ele armazena ou possui carga Q. Note que entre os dois condutores de um capacitor carregado existe um campo elétrico que aponta do condutor com carga +Q para o condutor com carga Q. Consequentemente, o condutor com carga +Q está a um potencial maior que o condutor com carga Q. 1

2 Nos diagramas de circuitos elétricos, representa-se um capacitor pelo símbolo abaixo:. Uma maneira de carregar um capacitor é ligar fios metálicos aos condutores e conectá-los aos terminais opostos de uma bateria. Espera-se até que as cargas +Q e Q se estabeleçam nos dois condutores e depois desconectam-se os fios da bateria. Como as cargas não podem passar de um condutor para outro, a carga armazenada no capacitor permanece constante. A voltagem V ab entre os condutores (V a V b ) permanece constante e é igual à voltagem da bateria. Capacitor de placas planas e paralelas Consideremos um capacitor cujos condutores sejam placas metálicas planas e paralelas carregadas com cargas +Q e Q. Vamos supor que as placas têm área A e estejam separadas por uma distância d. 2

3 Se a distância d for muito menor que a área das placas, podemos tratá-las, aproximadamente e longe das bordas, como se fossem planos infinitos. Neste caso, como visto em aulas anteriores, o campo elétrico entre as placas é uniforme, aponta da placa carregada positivamente para a carregada negativamente e seu módulo vale ==, (1) onde σ é a densidade superficial de carga nas placas do capacitor, A diferença de potencial entre as duas placas é =. (2) = = l o que implica que, substituindo (1) em (3): =, (3) = =. (4) A diferença de potencial entre as placas é proporcional à carga Q armazenada. Este resultado vale para qualquer capacitor: a diferença de potencial V entre dois condutores, de qualquer forma, carregados com carga Q é proporcional a Q. Invertendo a equação (4), podemos escrever Q em função de V: 3

4 Define-se =. (5) como a capacitância do capacitor (como vimos, esta relação vale para qualquer capacitor). Portanto, a relação entre a carga armazenada num capacitor e a diferença de potencial entre os condutores é (6) =. (7) A unidade de capacitância é o farad (F), em homenagem a Michael Faraday (veja a aula 3). 1 farad = 1 F = 1 = 1. Quanto maior for a capacitância de um capacitor, maior a carga Q armazenada no capacitor para uma mesma diferença de potencial. A equação (6) nos permite escrever as unidades da constante ε 0 em termos do farad: ou = = F m, ε 0 = 8, F/m. 4

5 Capacitor esférico Um capacitor esférico é formado por uma esfera condutora interna de raio r a e uma casca esférica condutora concêntrica de raio r b. As duas estão separadas pelo vácuo. A esfera interna tem carga +Q distribuída por sua superfície externa e a casca esférica externa tem carga Q distribuída por sua superfície interna (figura abaixo). Para calcular a capacitância desse capacitor, vamos usar a relação (7), que é válida para qualquer capacitor: =. (8) Para determinar V, precisamos determinar o campo elétrico entre a esfera e a casca esférica. Tomemos uma superfície gaussiana de raio r entre a esfera e a casca esférica. O fluxo elétrico por essa superfície vale Q/ε 0 : 5

6 Φ = =. Por simetria, é constante em módulo ao longo dessa superfície gaussiana. Ele também aponta na direção radial, que coincide com a direção de. Logo Então, Φ ==4 =. = 1 4. O campo elétrico entre a esfera e a casca esférica é igual ao de uma carga puntiforme +Q colocada no centro delas. Como o campo elétrico é o mesmo de uma carga puntiforme no centro, o potencial elétrico também o será: = 1 4. Portanto, a diferença de potencial entre a esfera de raio r a e a casca esférica de raio r b é = = 4 4 = = 4. A capacitância do capacitor esférico é então = =4. (9) 6

7 Um caso particular da equação (9) ocorre para o caso em que a casca esférica de raio r b está muito longe da esfera de raio r a. Se a distância entre elas for tão grande que se possa aproximar r b, a capacitância do sistema torna-se =4 =4, (10) ou seja, a capacitância depende apenas do raio da esfera interna. Podemos então definir a capacitância de uma esfera condutora de raio R como: =4. (11) As linhas de força entre a esfera de raio R e a casca esférica de raio infinito se estendem até o infinito. Por exemplo, se pudermos tratar a Terra como uma esfera condutora esférica, sua capacitância vale (o raio da Terra é R 6, km) C Terra 7, F = 710 µf. Este é um valor bastante grande. Tão grande que podemos supor, em geral, que quando se escoa uma quantidade de carga Q para a Terra a alteração no seu potencial é desprezível (veja abaixo) Δ= Δ. É por isso que a Terra é um bom terra. 7

8 Capacitor cilíndrico Um capacitor cilíndrico é formado por um cilindro condutor de raio r a e densidade linear de carga λ 1 circundado por uma casca cilíndrica condutora coaxial de raio interno r b e densidade linear de carga λ (veja a figura abaixo). Para calcular a diferença de potencial entre os cilindros, lembremos que p potencial em um ponto externo a um cilindro carregado a uma distância r do centro vale = 2 ln, onde r 0 é uma distância arbitrária onde V = 0. Podemos usar esta expressão aqui porque a carga elétrica sobre a casca cilíndrica externa não contribui para o potencial no interior do cabo coaxial. 1 Para relacionar a densidade linear de carga λ com a densidade superficial de carga σ, mais usual quando se trata de superfícies, basta lembrar que a carga total em um comprimento L do cilindro é Q = λ L = σa = 2πr a Lσ. Isto nos dá: λ = 2πr a σ. 8

9 Vamos escolher r 0 = r b, o raio da parte de dentro da casca cilíndrica externa. Então, o potencial em r a será =() ()= 2 ln 0= 2 ln. (12) Essa diferença é positiva, pois V(a) > V(b). Para calcular a capacitância, vamos usar a fórmula C = Q/V ab. A carga Q é dada por Q = λl, de maneira que = 2 ln. (13) A capacitância por unidade de comprimento é, então = 2 ln. (14) Note que, assim como nos casos dos capacitores de placas planas paralelas e esférico, a capacitância do capacitor cilíndrico depende apenas das dimensões do capacitor. Substituindo ε 0 = 8, F/m = 8,85 pf/m em (14), obtemos uma expressão útil para a capacitância por unidade de comprimento: =55,6 pf/m ln. (15) 9

10 Capacitores em série e em paralelo A figura (a) abaixo mostra o diagrama de circuitos para um arranjo de capacitores denominado de arranjo em série. Em um arranjo desse tipo, dois ou mais capacitores são conectados um após o outro (em série) por fios condutores. Os terminais do circuito estão ligados aos polos de uma bateria, de maneira que a diferença de potencial entre eles é V. A placa superior do capacitor de capacitância C 1 acumula carga +Q. Portanto, a placa inferior desse capacitor possui carga Q. Os elétrons que se acumulam nessa placa vieram da placa superior do segundo capacitor (com capacitância C 2 ). Desta forma, a placa superior desse segundo capacitor também tem carga +Q e a placa inferior tem carga Q. Quando capacitores são conectados em série, cada um deles possui a mesma carga. 10

11 A partir deste resultado, podemos escrever que as diferenças de potencial entre os pontos a e c e c e b na figura são: = = e = =. Isto implica que == + = Isto sugere que podemos substituir os dois capacitores em série no circuito acima por um único capacitor equivalente com capacitância = A figura (b) acima mostra o capacitor equivalente. Generalizando, se tivermos N capacitores em série em um circuito eles podem ser substituídos por um capacitor equivalente com capacitância = (16) A figura abaixo mostra um arranjo de capacitores em um circuito denominado de arranjo em paralelo. 11

12 Note que os terminais dos capacitores estão ligados aos mesmos polos da bateria, de maneira que as diferenças de potenciais entre eles são todas iguais a V. Vamos supor que a carga total presente no circuito vale Q e ela se encontra distribuída pelos capacitores de maneira que o primeiro possui carga Q 1 e o segundo possui carga Q 2 : Q = Q 1 + Q 2. (17) Temos, então = + =( + ). Isto sugere que podemos substituir os dois capacitores em paralelo no circuito acima por um único capacitor equivalente com capacitância = +. O capacitor equivalente está mostrado na figura (b) acima. 12

13 Generalizando, se tivermos N capacitores em paralelo em um circuito eles podem ser substituídos por um capacitor equivalente com capacitância = +. (18) 13