QUESTÃO 17 Cada um dos cartões abaixo tem de um lado um número e do outro uma letra.

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1 Nome: N.º: endereço: data: telefone: Colégio PARA QUEM CURSA A ạ SÉRIE DO ENSINO MÉDIO EM 0 Disciplina: matemática Prova: desafio nota: QUESTÃO 6 A piscina da casa de Roberto vai ser decorada com azu lejos. Em cada uma das 5 figuras que se seguem, estão representados dois azulejos. Em qual delas o azulejo da direita é imagem do azulejo da esquerda, por meio de uma rotação, com centro no ponto O, de amplitude 90, no sentido anti-horário (sentido con - trário ao dos ponteiros do relógio)? I) Figura da esquerda: II) Figura da direita após giro de 90 no sentido anti-horário: Resposta: B QUESTÃO 7 Cada um dos cartões abaixo tem de um lado um número e do outro uma letra. Alguém afirmou que todos os cartões que têm uma vogal numa face têm um número par na outra. Para verificar se tal afirmação é verdadeira: a) é necessário virar todos os cartões. b) é suficiente virar os dois primeiros cartões. c) é suficiente virar os dois últimos cartões. d) é suficiente virar os dois cartões do meio. e) é suficiente virar o primeiro e o último cartão. MATEMÁTICA DESAFIO. a SÉRIE

2 Para confirmar a afirmação todos os cartões que têm uma vogal numa face têm um número par na outra, basta virar o primeiro (pois como A é vogal deve aparecer um número par na outra face), e o último (para confirmar que não há vogal na outra face do 3 que é ímpar). Observe que, no caso de haver uma consoante, pode aparecer qualquer número na outra face, já que a afirmação não cita este fato. Resposta: E QUESTÃO 8 (UNESP) Um grupo de x estudantes se juntou para comprar um computador portátil (notebook) que custa R$ 3 50,00. Alguns dias depois, mais três pessoas se juntaram ao grupo, formando um novo grupo com x + 3 pessoas. Ao fazer a divisão do valor do computador pelo número de pessoas que estão compondo o novo grupo, verificou-se que cada pessoa pa ga ria R$ 75,00 a menos do que o inicialmente programado para cada um no pri meiro grupo. O número x de pessoas que forma vam o primeiro grupo é: a) 9 b) 0 c) d) e) 3 Sejam x > 0 e y > 0, respectivamente, o número inicial de estudantes e o valor inicial da parcela que cabe a cada um x. y = 350 (x + 3). (y 75) = = + 75 x + 3x 30 = 0 x = 0 x x + 3 Resposta: B 350 y = x 350 y = + 75 x + 3 QUESTÃO 9 (UNESP) Em um dado comum, a soma dos nú meros de pontos desenhados em quaisquer duas faces opos tas é sempre igual a 7. Três dados comuns e idênticos são cola - dos por faces com o mesmo número de pontos. Em seguida, os da dos são colados sobre uma mesa não transparente, como mostra a figura. Sabendo-se que a soma dos números de pontos de todas as faces livres é igual a 36, a soma dos números de pontos das três faces que estão em contato com a mesa é igual a a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 8 MATEMÁTICA DESAFIO. a SÉRIE

3 Sejam: a) a, b e c os números marcados nas faces que estão em contato com a mesa. b) 7 a, 7 b, 7 c os números marcados nas faces superiores dos três dados. c) x o número da face lateral esquerda do dado da esquerda e 7 x o número da face lateral direita do primeiro dado, que é também o da face lateral esquerda do. dado. d) x, analogamente, é o número da face lateral comum do. e do 3. dado. e) 7 x é o número da face lateral direita do terceiro dado. f) = é a soma dos números das três faces da frente com as três faces de trás. Assim: (x + 7 x) (7 a) + (7 b) + (7 c) = (a + b + c) = 36 a + b + c = a + b + c = 3 QUESTÃO 0 A função f : é tal que, para todo x, temos f (x) = f (x). Se f (4) = 8, então: a) f() = 7 b) f() = 8 c) f() = 9 d) f() = 0 e) f() não pode ser calculada Se f(x) = f(x), "x e f(4) = 8 então: I) Para x =, temos: f(4) =. f() = 8 f() = 4 II) Para x =, temos: f() =. f() = 4 fi f() = 7 3 MATEMÁTICA DESAFIO. a SÉRIE

4 QUESTÃO Em um terreno de formato trian gular, deseja-se cons truir uma casa com formato retan - gular. Determine x e y de modo que a área construída seja máxima a) x =,5 e y = 7,5 b) x = 3 e y = 9 c) x = 4,5 e y = 0,5 d) x = 5 e y = 5 e) x = 3 e y = 0 I) Por semelhança de triângulos, podemos afirmar que x 5 y = 3x = 5 y y = 5 3x 5 5 II) A área do retângulo é dada por A = x. y = x. (5 3x) = 3x + 5x III) A área é uma função do ọ grau cujo gráfico é uma pará bola com concavidade para baixo (a < 0). Portanto, a área máxima ocorre para b 5 x v = = =,5 a 6 IV) Para x =,5, temos: y = 5 3. (,5) = 5 7,5 = 7,5 QUESTÃO (UNESP) O proprietário de um terreno trapezoidal, representado na figura, deseja colocar grama sintética em toda sua extensão. O metro quadrado de grama sintética custa 0 reais. Considerando 3 =,7 e des prezan - do outras despesas decorrentes dessa obra, serão gastos a) 90 reais. b) 98 reais. c) 0 reais. d) 0 reais. e) 60 reais. 4 MATEMÁTICA DESAFIO. a SÉRIE

5 h I) tg 60 = fi h = 3. x x 4 x 4 x II) tg 60 = fi 3 = fi 3x = 4 x fi x = h x3 Logo h = 3,7. (B + b). h (8 + 4).,7 III) área = = = 6.,7 = 0, IV) Serão gastos 0, m. 0 Resposta: C reais m = 0 reais. QUESTÃO 3 Em um determinado edifício, os primeiros andares são destinados às garagens e ao salão de festas e os demais andares, aos apartamentos. Interessado nas dimensões desse prédio, um topógrafo coloca um teodolito (instrumento óptico para medir ângulos horizontais e ângulos verticais) a uma distância d do pré dio. Com um ângulo vertical de 30, esse topógrafo observou que o primeiro piso de aparta men tos está a uma altura de,80 m do solo; e com um ângulo verti cal de 60, avistou o topo do edifício, conforme a figura a seguir. 5 MATEMÁTICA DESAFIO. a SÉRIE

6 De acordo com esses dados e saben do-se que a luneta do teodolito está a,70 m do solo, a altura do edifício é: a) 3 m b) 3,60 m c) 30,30 m d),90 m e) 3 m 0, I) tg 30 = fi d = d 0,0 tg 30 x + 0,0 II) tg 60 = d 0,0 fi tg 60. tg 30 fi tg 60. d = x + 0,0 fi = x + 0,0 fi fi 30,30 = x + 0,0 fi x = 0,0 III) A altura do edifício, em metros, é 0,0 + 0,0 +,70 = 3 Resposta: E QUESTÃO 4 (FUVEST) Em um triângulo retângulo OAB, retângulo em O, com AO = a e OB = b, são dados os pontos P em AO e Q em OB de tal maneira que AP = PQ = QB = x. Nestas condições, o valor de x é: a) ab a b c) a + b b) a + b ab d) a + b + ab e) ab + a + b No triângulo retângulo OPQ, temos: x = (a x) + (b x) x = a ax + x + b bx + x x (a + b)x + (a + b ) = 0 x = x = (a + b) ± ab Como x < a e x < b, a única possibilidade é x = a + b ab. Resposta: B (a + b) ± 8ab x = (a + b) ± ab 6 MATEMÁTICA DESAFIO. a SÉRIE

7 QUESTÃO 5 Na figura abaixo está representada a função real f, dada por f(x) = log a x, para todo x > 0. De acordo com os dados da figura, é correto concluir que a área do trapézio ABCO, em unidades de superfície, é a) 4 b) 4,5 c) 5 d) 5,5 e) 6 I) P ; f e, portanto: f = log a = a = a = II) f(x) = log 4 x III) A(0; ) e B(x B ; ) f Logo: f(x B ) = log 4 x B = x B = 4 fi B(4; ) IV) x C = x D e D(x C ;,5) f Logo: f(x C ) = log 4 (x C ) =,5 x C = 4,5 = 3 = 8 fi C(8; 0) e D(8;,5) V) A área do trapézio ABCO, em unidade de área é: OC + AB OA =. = 6 Resposta: E 7 MATEMÁTICA DESAFIO. a SÉRIE

8 QUESTÃO 6 (FUVEST) Os pontos D e E pertencem ao gráfico da função y = log a x, com a > (figura abaixo). Suponha que B = (x,0), C = (x +,0) e A = (x, 0). Então, o valor de x, para o qual a área do trapézio BCDE é o triplo da área do triângulo ABE, é a) b) + c) + 5 d) + 5 e) + 5 A BCDE = 3 A ABE fi log a x + log a (x + ). log a x fi. = 3. fi fi log a [x(x + )] = log a x 3 fi x + x = x 3 fi fi x(x x ) = 0 fi fi x = 0 ou x = ou x = fi + 5 fi x =, pois x > 0 x = Observação: Se x = +, então x = <. Assim, o ponto A encontra-se à esquerda do ponto de abscissa. 5 8 MATEMÁTICA DESAFIO. a SÉRIE

9 QUESTÃO 7 O produto das raízes da equação 4x x log x = 0 vale: a) b) c) 4 d) 6 e) 8 I) 4x x log x = 0 4x = x log x log (4x) = log (x log x ) log 4 + log x = log x. log x II) Substituindo log x por y, temos + y = y y y = 0 y = ± 3 y = ou y = III) Se y = então log x = x = 4 IV) Se y = então log x = x = V) O produto das raízes dessa equação é 4. = Resposta: B QUESTÃO 8 Na divisão 08 r k 5 são em número de:, k e r são números naturais com 0 r < k. Os possíveis valores de k a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 Se 08 r k 5, com {r; k} e 0 r k, então: 08 = 5k + r fi r = 08 5k fi k < k k 0 r < k 0 r < k 08 5k < k 08 k 5 fi k = 9 ou k = 0 ou k = 08 k,6 k > 8 k > 6 9 MATEMÁTICA DESAFIO. a SÉRIE

10 QUESTÃO 9 Na figura a seguir, os arcos QMP e MTQ me dem, respectivamente, 70 e 30. Então, o arco MSN mede: a) 60 b) 70 c) 80 d)00 e) 0 4) a = 80 a = 30 fi MSN = 60 QUESTÃO 30 Na praça principal de uma vila será inau gu rado um mural retangular. No projeto ilustrado na figura, o mu ral está representado pelo retângulo maior, e a tapeçaria pelo retân gulo menor, sombreado; x representa a medida, em metros, de um dos lados do mural. Cada um dos lados da tapeçaria ficará paralelo a dois dos lados do mural, com margens de 0,5 m e de m, como a figura ilustra. O mural terá 6 m de perímetro e < x <. 0 MATEMÁTICA DESAFIO. a SÉRIE

11 A área da tapeçaria em metros quadrados e o perímetro em metros, valem respectiva - mente: a) x x e b) x x e 0 c) x x e d) x + x e 0 e) x x e 0 Sendo x (indicado) e y as dimensões do mural, já que o perí metro é 6 m, temos: x + y = 6 x + y = 3 y = 3 x Portanto, de acordo com a figura, as dimensões da tapeçaria são, em metros, x 0,5 0,5 = x e y = y = 3 x = x Assim, a área da tapeçaria, em m, é A = (x )( x) = x + x e o perímetro é x + x = 0 Resposta: D MATEMÁTICA DESAFIO. a SÉRIE