RESOLUÇÀO DA PROVA DE MATEMÁTICA VESTIBULAR DA FUVEST_2007_ 2A FASE. RESOLUÇÃO PELA PROFA. MARIA ANTÔNIA CONCEIÇÃO GOUVEIA

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1 RESOLUÇÀO DA PROVA DE MATEMÁTICA VESTIBULAR DA FUVEST_007_ A FASE RESOLUÇÃO PELA PROFA MARIA ANTÔNIA CONCEIÇÃO GOUVEIA Questão Se Amélia der R$3,00 a Lúcia, então ambas ficarão com a mesma quantia Se Maria der um terço do que tem a Lúcia, então esta ficará com R$6,00 a mais do que Amélia Se Amélia perder a metade do que tem, ficará com uma quantia igual a um terço do que possui Maria Quanto possui cada uma das meninas Amélia, Lúcia e Maria? A 3 L+ 3 M + L A+ 6 3 A M 3 A L 6 A + L A + 6 A L 6 A + L L 8 L 8 A M 36 RESPOSTA: Amélia possui R$,00, Lúcia possui R$ 8,00 e Maria R$ 36,00 Questão Na figura abaixo, os segmentos AB e CD são paralelos, o ângulo OÂB mede 0, AO 3 e AB Sabendo--se ainda que a área do triângulo OCD vale 600 3, a) calcule a área do triângulo OAB b) determine OC e CD

2 Sendo os segmentos AB e CD paralelos, os ângulos alternos internos, formados com as transversais BD e AC, são congruentes (A C e B D ) Podemos concluir então, que os triângulos AOB e COD são semelhantes a) A área do triângulo AOB pode ser calculada pela fórmula S med AB med AO sen(bâo) Então, S 3 ( ) ( ) 3 3 ua e COD semelhantes, RESPOSTA: A área do triângulo AOB é b) Sendo os triângulos S AB AO AOB S DOC CD CO AOB vale a relação: 3 3 Logo e y 600 y 0 y 00 y x 3600 x x x RESPOSTA: Os valores de OC e CD são, respectivamente, 60 e 0 Questão 3 Em uma progressão aritmética a, a,, an, a soma dos n primeiros termos é dada por Sn bn + n, sendo b um número real Sabendo-se que a3 7, determine a) o valor de b e a razão da progressão aritmética b) o 0o termo da progressão c) a soma dos 0 primeiros termos da progressão

3 Se na progressão aritmética a, a,, an, a soma dos n primeiros termos é dada por Sn bn + n, sendo b um número real, com n N*, temos: Para n, S a b + ; para n, S b + ; para n 3, S3 9b + 3; Sendo S a + a b + a b + a a b + (b + ) a 3b + r 3b + (b + ) b a) Sendo S3 9b + 3, então a3 S3 S 9b + 3 (b + ) b + 6 Pela questão a3 7 b + 7 b 6 Como r b r RESPOSTA: Os valores de b e da razão da PA são, respectivamente, 6 e b) a0 a + 9r b ( b) 39b RESPOSTA: O valor de a0 é 6 c) S0 0b RESPOSTA: A soma dos 0 primeiros termos da PA é 00 Questão A figura representa um trapézio ABCD de bases AB e CD, inscrito em uma circunferência cujo centro O está no interior do trapézio Sabe-se que AB, CD e AC 3 a) Determine a altura do trapézio

4 b) Calcule o raio da circunferência na qual ele está inscrito c) Calcule a área da região exterior ao trapézio e delimitada pela circunferência a) Conforme as informações da situação-problema, o trapézio ABCD é isósceles O triângulo AHC é retângulo no qual 3 cos   o h AH 3 3 ( ) RESPOSTA: A altura do trapézio é 3uc b) Resolvamos agora o triângulo retângulo BHC: x h + x x 0 Aplicando ao triângulo ABC a Lei dos Senos, em relação ao ângulo  e considerando r como a medida literal do raio, vem x 0 r r r r senâ RESPOSTA: O raio do círculo no qual o trapézio está inscrito mede uc c) A área da região exterior ao trapézio e delimitada pela circunferência é: S área do círculo área do trapézio πr ( b + B) h π ( + )3 π 9 RESPOSTA: A área da região exterior ao trapézio e delimitada pela circunferência mede (π 9) ua

5 Questão Um arco x está no terceiro quadrante do círculo trigonométrico e verifica a equação cosx + 3senx Determine os valores de senx e cosx Como cosx cosx senx a equação cosx + 3senx pode ser reduzida a (cosx senx) + 3senx cosx senx + 3senx ( senx) senx + 3senx 0senx 3senx 0 3 ± ± 7 senx senx ou senx 0 0 Como x está no terceiro quadrante do círculo trigonométrico, temos apenas senx Aplicando a relação fundamental trigonometria, temos: cosx + 6 cosx RESPOSTA: senx 6 e cosx Questão 6 Na figura abaixo, os pontos A, A, A3, A, A, A6 são vértices de um hexágono regular de lado 3 com centro na origem O de um sistema de coordenadas no plano Os vértices A e A pertencem ao eixo x São dados também os pontos B (, 0) e C (0, )

6 Considere a reta que passa pela origem O e intersecta o segmento BC no ponto P, de modo que os triângulos OPB e OPC tenham a mesma área Nessas condições, determine a) a equação da reta OP b) os pontos de interseção da reta OP com o hexágono a) A área do triângulo BOC é igual a ua Como os triângulos BOC e POC são equivalentes, as suas áreas são iguais a Considerando as ordenadas do ponto P como (x,y), podemos escrever: y x x y x y RESPOSTA: A equação da reta OP é y x b) No triângulo PP A temos y 3 3 3(6 3 ) 3 y 3 3 3y y( 3 + ) 3 3 y tg60o 3 y 3+ 3(6 3 ) 6(6 3 ) e OP Os pontos P e Q são os pontos nos quais a reta OP intersecta o hexágono Logo PP

7 6(6 3 ) 3(6 3 ) Como os, RESPOSTA:As coordenadas do ponto P são pontos P e Q, são simétricos em relação ao ponto ºO, origem dos eixos 6( 3 6) 3( 3 6), coordenados, as coordenadas de Q são Questão 7 Uma urna contém bolas brancas e 3 bolas pretas Três bolas são retiradas ao acaso, sucessivamente, sem reposição Determine a) a probabilidade de que tenham sido retiradas bolas pretas e bola branca b) a probabilidade de que tenham sido retiradas bolas pretas e bola branca, sabendo-se que as três bolas retiradas não são da mesma cor O número de modos de serem retiradas três bolas de uma urna contendo 8 bolas é C 8,3 3 Logo, sendo E o espaço amostral temos que n(e) 6 a) Sendo A o evento serem retiradas bolas pretas e bola branca de uma urna contendo bolas brancas e 3 bolas pretas, então n(a) C, C 3, 3 Então a probabilidade de que tenham sido retiradas bolas pretas e bola branca n(a) é n(e) 6 Considerando-se que as retiradas são sucessivas e sem reposição e que podem acontecer nas seguintes ordens: (b, p,p), (b, b, p) ou (b, p, b), também podemos 3/ / 3/ / 3/ / calcular esta probabilidade da seguinte forma: / 8 7 6/ 8 7 6/ 6 RESPOSTA: p 6 b) A afirmação sabendo-se que as três bolas retiradas não são da mesma cor determina um novo espaço amostral E, para o qual n(e) C 8,3 C,3 C 3,3 3 0 n(e) 6 3 Sendo A o evento serem retiradas bolas pretas e bola branca, para o qual já n(a) vimos que n(a), a probabilidade de ocorrência de A é n(e) 3 RESPOSTA: p 3

8 Questão 8 Um castelo está cercado por uma vala cujas bordas são dois círculos concêntricos de raios m e m A profundidade da vala é constante e igual a 3m O proprietário decidiu enchê-la com água e, para este fim, contratou caminhõespipa, cujos reservatórios são cilindros circulares retos com raio da base de,m e altura igual a 8m Determine o número mínimo de caminhões-pipa necessário para encher completamente a vala O volume da vala, em metros cúbicos, é a diferença entre os volumes dos dois cilindros: V 3π 3π 3( )(+) π 386π 03π O volume, também em metros cúbicos, dos reservatórios de cada caminhão-pipa é V (,)8π 8π O número mínimo de caminhões-pipa necessários para encher a vala será V 03π 7,33 encontrado pelo quociente V 8π RESPOSTA: 8 caminhões-pipa

9 Questão 9 a) Represente, no sistema de coordenadas desenhado na folha de respostas, os x+ 7 gráficos das funções f(x) x e g(x) b) Resolva a inequação x x+ 7 a) Determinemos as raízes da função f(x) x Chegamos aos valores x e x O gráfico de f(x) x é O gráfico de f(x) x é igualando x 0

10 os gráficos das funções x+ 7 f(x) x e g(x) estão representados ao lado x+ 7 x+ 7 x x + x 0 x x 0 b) x x+ 7 x 7 8 x x + 7 Raízes e estudo da variação dos sinais da função f ( x) x + x : x ± + 8 x ou x ou x Raízes e estudo da variação dos sinais da função g ( x ) x x A solução da inequação x + x 0 é S x x ± + 0 x ou x 3 A solução da inequação x x 0 é S x 3 x + x 0 A solução do sistema é S S S x x 0

11 Mostrando graficamente: RESPOSTA: x ou x 3 Questão 0 O cubo ABCDEFGH possui arestas de comprimento a O ponto M está na aresta AE e AM 3ME Calcule: a) O volume do tetraedro BCGM b) A área do triângulo BCM c) A distância do ponto B à reta suporte do segmento CM

12 a) O tetraedro BCGM tem altura MN a e como base o triângulo retângulo BCG, logo seu volume é 3 Bh a a a V RESPOSTA: a3 6 b) BM é a hipotenusa do triângulo retângulo BAM, logo sua medida é: a a 3a + a 6 A área do triângulo retângulo BCM é: a a S a 8 a RESPOSTA: 8 BM c) A distância do ponto B à reta suporte do segmento CMcorresponde à altura do triângulo BCM em relativa à hipotenusa CM a a a CM + a 6 Como em todo triângulo retângulo o produto da hipotenusa pela altura a ela relativa é igual ao produto dos catetos: CMh BCBM RESPOSTA: h a a h a a h a h a