Questão 1. Questão 3. Questão 2. Resposta. Resposta. Resposta. a) calcule a área do triângulo OAB. b) determine OC e CD.

Transcrição

1 Questã Se Amélia der R$,00 a Lúcia, entã ambas ficarã cm a mesma quantia. Se Maria der um terç d que tem a Lúcia, entã esta ficará cm R$ 6,00 a mais d que Amélia. Se Amélia perder a metade d que tem, ficará cm uma quantia igual a um terç d que pssui Maria. Quant pssui cada uma das meninas Amélia, Lúcia e Maria? Sejam x, y e z as quantidades de reais que pssuem, respectivamente, Amélia, Lúcia e Maria. Entã, das cndições dadas: x y + z + y x + 6 x x z y x 6 x + + x x 6 x 6 y 8 z 6 z x Prtant Amélia, Lúcia e Maria pssuem, respectivamente, R$,00, R$ 8,00 e R$ 6,00. Questã Na figura abaix, s segments AB e CD sã paralels, ângul OÂB mede 0,AO e AB. Sabend-se ainda que a área d triângul OCD vale 600, a) calcule a área d triângul OAB. b) determine OC e CD. AB AO sen OAB a) A área d triângul OAB é sen0. b) Supnd que O pertença a AC ebd, cm AB ecdsã paralels, pel cas AA s triânguls OAB e OCD sã semelhantes. OA AB Send k a razã de semelhança, a OC CD razã entre as áreas de OAB e OCD é k, de nde btems k Lg OC 60 e CD 0. 0 OC CD Questã Em uma prgressã aritmética a, a,..., a n,... a sma ds n primeirs terms é dada pr Sn bn + n, send b um númer real. Sabend-se que a 7,determine a) valr de b e a razã da prgressã aritmética. b) 0º term da prgressã. c) a sma ds 0 primeirs terms da prgressã. Para n, tems: Sn a + a an + an Sn + an an Sn Sn bn + n (b(n ) + n ) bn b + a) Send a 7, b b 7 b 6 +. A razã da prgressã aritmética é an an bn b + (b(n ) b + ) b 6.

2 matemática b) O 0º term da prgressã aritmética é: a0 0 + c) A sma ds 0 primeirs terms da prgressã 6 aritmética é S Cm trapézi é inscritível, se m(a) α, entã m ( C ) 80 α. Além diss, AB // CD e, prtant, m( B ) αe m ( D ) 80 α. Lg, trapézi ABCD é isósceles de lads nã paralels medind. Questã A figura representa um trapézi ABCD de bases AB e CD, inscrit em uma circunferência cuj centr O está n interir d trapézi. Sabe-se que AB, CD e AC. a) Determine a altura d trapézi. b) Calcule rai da circunferência na qual ele está inscrit. c) Calcule a área da regiã exterir a trapézi e delimitada pela circunferência. Observe a figura: AB CD a) Tems BH. Lg, AH. Aplicand Terema de Pitágras a ΔAHC, HC ( ) HC. b) N ΔAHC, tg (CAH) m (CAH). Aplicand Terema de Pitágras a ΔBCH, tems BC + BC 0. Send R rai da circunferência, aplicand a lei ds sens a ΔABC: BC 0 R sen R R c) A área pedida é a diferença entre a área d círcul de rai R e a área d trapézi ABCD, ist é: π( ( + ) ) π 9 Questã Um arc x está n terceir quadrante d círcul trignmétric e verifica a equaçã csx + senx. Determine s valres de senx e csx. cs x + sen x ( sen x) + sen x

3 matemática 0 sen x sen x 0 ( ) sen x ± 9 0 sen x u sen x. Cm x é um ângul d terceir quadrante, sen x < 0 e cs x < 0. Assim, sen x e cs x sen x cs x 6. Questã 6 Na figura abaix, s pnts A, A, A, A, A, A 6 sã vértices de um hexágn regular de lad cm centr na rigem O de um sistema de crdenadas n plan. Os vértices A e A pertencem a eix x. Sã dads também s pnts B (, 0) e C (0, ). OC b a b a b. Assim uma equaçã da reta OP de ceficiente angular é y 0 (x 0) y x. b) Send a medida d rai d círcul que circunscreve hexágn regular, A (, 0) e uma equaçã da reta A A é y 0 tg 0 (x ) y (x ) y x +. A intersecçã D de OP e AA é btida reslvend sistema: 6 y x + x x + y x y 6 6 x 8 y D, O utr pnt de intersecçã de OP cm hexágn, E A A, simétric de D em relaçã à rigem, tem crdenadas pstas às de D, u seja: E, Questã 7 Cnsidere a reta que passa pela rigem O e intersecta segment BC n pnt P, de md que s triânguls OPB e OPC tenham a mesma área. Nessas cndições, determine a) a equaçã da reta OP. b) s pnts de interseçã da reta OP cm hexágn. a) Send P (a, b) e s triânguls OPB e OPC OB a de mesma área, pdems escrever Uma urna cntém blas brancas e blas pretas. Três blas sã retiradas a acas, sucessivamente, sem repsiçã. Determine a) a prbabilidade de que tenham sid retiradas blas pretas e bla branca. b) a prbabilidade de que tenham sid retiradas blas pretas e bla branca, sabend-se que as três blas retiradas nã sã da mesma cr. a) A prbabilidade de a primeira bla ser branca e a segunda eaterceira,pretasé Cm a bla branca pde ser também a segunda u a terceira, a prbabilidade pedida é 6 6.

4 matemática b) Sabend que as três blas nã sã da mesma cr, pdem ter saíd duas blas pretas e uma branca u duas blas brancas e uma preta. A prbabilidade de sair duas blas pretas e uma branca é e, através de um racicíni análg, tems que a prbabilidade de sair duas blas bran- 6 cas e uma preta é. Ou seja, a prbabilidade de que as três blas nã sejam da mesma cr é Lg, cnsiderand s events: A: sã retiradas duas blas pretas e uma branca; B: as três blas retiradas nã sã da mesma cr, A B e p(a B). p(a B) p(b) p(a) p(b) 6 6 π( ) ( + ) π 86 m. O vlume de cada caminhã-pipa é π, 8 m. Assim, númer mínim de caminhões-pipa necessári é menr inteir n tal que: 7 π, 8n π 86 n 7 + Lg n 8. Questã 9 a) Represente, n sistema de crdenadas desenhad a seguir, s gráfics das funções f(x) x x + 7 e g(x). Questã 8 Um castel está cercad pr uma vala cujas brdas sã dis círculs cncêntrics de rais m e m. A prfundidade da vala é cnstante e igual a m. x+7 b) Reslva a inequaçã x. Nesse prblema, vams supr que f e g sã funções de R em R. a) O gráfic de fx ( ) x é btid refletind a parte d gráfic de y x abaix d eix x em relaçã a esse eix: O prprietári decidiu enchê-la cm água e, para este fim, cntratu caminhões-pipa, cujs reservatóris sã cilindrs circulares rets cm rai da base de, m e altura igual a 8 m. Determine númer mínim de caminhões-pipa necessári para encher cmpletamente a vala. O vlume da vala é igual à área da cra circular de rais m e m multiplicada pela prfundidade, u seja, π( ) x + 7 Adicinand gráfic de g( x), que é a reta que passa pr (0; g(0)) 0; 7 e (; g()) (; ), btems:

5 matemática a) O vlume d tetraedr BCGM. b) A área d triângul BCM. c) A distância d pnt B à reta suprte d segment CM. x + 7 b) x x + 7 x + 7 x x 7 8 x x x 0 8 x x + 7 x + x 0 x x u x x u x V ; ; Questã 0 O cub ABCDEFGH pssui arestas de cmpriment a. O pnt M está na aresta AE e AM ME. Calcule: a) Cnsiderand triângul retângul BCG, cuja área é a, cm base d tetraedr e a distância de M a plan que cntém s pnts B, C e G cm sua altura, cuja medida é igual à aresta d cub, tems que vlume d tetraedr BCGM é a a a. 6 b) Cm a aresta BC é perpendicular à face ABFE e BM está cntid na face ABFE, pdems afirmar que BC é perpendicular a BM. Lg triângul CBM é retângul em B e, send AM a a BC BM e ME, sua área é + a a a a. 8 c) Já que m(cbm) 90, n triângul CBM tems (CM) (BC) + (BM) + a (CM) a CM a. Pelas relações métricas n triângul retângul, se h é a distância de B à reta suprte de MC, tems BC BM CM h a a a h a h.