Raio é o segmento de recta que une um ponto da circunferência com o seu centro.

Transcrição

1 Catarina Ribeiro 1

2 Vamos Recordar: Circunferência de centro C e raio r é o lugar geométrico de todos os pontos do plano que estão à mesma distância r de um ponto fixo C. Círculo de centro C e raio r é o lugar geométrico de todos os pontos do plano que estão a uma distância menor ou igual a r de um ponto fixo C. Raio é o segmento de recta que une um ponto da circunferência com o seu centro. Corda é qualquer segmento de recta cujas extremidades são dois pontos da circunferência. Diâmetro é acorda que passa pelo centro da circunferência, sendo por isso a maior corda.o diâmetro divide a circunferência em duas semicircunferências. 2

3 Arco de circunferência é qualquer porção de circunferência compreendida entre dois pontos que se dizem extremidades do arco. Arco menor é qualquer arco menor que uma semicircunferência e que se pode designar com duas letras. De acordo com a fig. seria o arco AF. Arco maior é qualquer arco maior que uma semicircunferência e que se pode designar com três letras. De acordo com a fig. seria o arco FEA. 3

4 Posição relativa de uma recta e uma circunferência A recta r intersecta a circunferência de centro C, em dois pontos. r é secante à circunferência. A recta t intersecta a circunferência no ponto T. t é tangente à circunferência. A recta s não intersecta a circunferência de centro C. s é exterior à circunferência. 4

5 Posição relativa de duas circunferências As circunferências são exteriores As circunferências são tangentes exteriores As circunferências são secantes 5

6 Simetrias numa circunferência O eixo de simetria de uma figura divide-a em duas partes geometricamente iguais. Toda a recta que passa pelo centro da circunferência é eixo de simetria da circunferência. A circunferência tem uma infinidade de eixos de simetria. A tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio que passa pelo ponto de tangência, T. Numa circunferência a recta perpendicular ao meio de uma corda passa pelo centro da circunferência. Numa circunferencia: arcos (ou cordas) compreendidos entre cordas paralelas são geometricamente i guais 6

7 Ângulo ao centro Ângulo ao centro é um ângulo que tem o vértice no centro da circunferência e cada lado contém um raio dessa circunferência. AOB é um ângulo ao centro 7

8 Amplitude do ângulo ao centro A cada ângulo ao centro corresponde um arco, que é a sua intersecção com a circunferência. Reciprocamente, a cada arco corresponde um ângulo ao centro A amplitude do ângulo ao centro é igual à amplitude do arco correspondente. 8

9 Exercício: 1. Determine a amplitude do ângulo x e do seu arco correspondente. A amplitude do arco correspondente ao ângulo é 120º. 2. xˆ 60º A amplitude do arco correspondente é também 60º. 9

10 Ângulo inscrito Ângulo inscrito é um ângulo que tem o vértice na circunferência e os lados contém cordas dessa circunferência. AVB é um ângulo inscrito 10

11 Na figura, [ABC] é um triângulo equilátero. Logo, ACB 60º ˆ O arco AB tem de amplitude 120º, porque AOB ˆ 120º C 60 O Portanto, ACB ˆ 1 2 AÔB A 120 B OU A amplitude do ângulo inscrito é igual a metade da amplitude do ângulo ao centro correspondente. A amplitude do ângulo inscrito é igual a metade da amplitude do arco que ele contém. 11

12 Alguns Exemplos: 12

13 1. Exercícios: determine a amplitude dos ângulos pedidos. ˆ y 86º 86º x ˆ 43º º x ˆ 20º 2 ˆ y 40º 13

14 Propriedades 1. Ângulos inscritos que contêm o mesmo arco ACB ˆ ADB ˆ AEB ˆ, porque os três ângulos contêm o mesmo arco AB. Então, Os ângulos inscritos que contêm o mesmo arco são geometricamente iguais. 50º 50º 50º 14

15 2. Ângulos inscritos numa semi-circunferência ACB ˆ ADB ˆ AEˆ B 90º 90º 90º 90º Então, Um ângulo inscrito numa semi-circunferência é um ângulo recto. 15

16 4. Ângulos opostos de um quadrilátero inscrito numa circunferência aˆ bˆ 2 ABC ˆ 2 ADC ˆ aˆ bˆ 2( ABC ˆ ADˆ C ) Mas, aˆ bˆ 360º Portanto, Logo, 2( ABC ˆ ADˆ C ) 360º ABC ˆ ADˆ C 180º Então, A soma dos ângulos opostos de um quadrilátero inscrito numa circunferência é 180º. 16

17 3. Ângulo ao centro, arcos e cordas Na figura estão representados dois ângulos ao centro iguais, as cordas e os arcos correspondentes. CD AB 40º Então, CD AB Numa circunferência, as cordas correspondentes a dois ângulos ao centro iguais são geometricamente iguais, e reciprocamente. Numa circunferência, os arcos correspondentes a dois ângulos ao centro iguais são geometricamente iguais, e reciprocamente. 17

18 4. Ângulo ao centro, arcos e cordas Um arco de amplitude 50º corresponde a um ângulo ao centro de amplitude de 50º. Embora os três arcos tenham 50º de amplitude, os seus comprimentos são diferentes. O comprimento de cada um depende do raio da circunferência que o contém. Quanto maior for o raio da circunferência, maior é o comprimento do arco. Se o raio da circunferência que contém o arco EF, de amplitude 50º, for 2 cm o seu comprimento é: 18

19 1. Exercícios: determine a amplitude dos ângulos pedidos. ˆ Pela propriedade 1 vêm: x 62º y ˆ 2 62º 124 º 2. A amplitude do arco correspondente ao ângulo (inscrito) de 130º é de 260º. x ˆ 100º Logo, 360º 260º 19

20 3. Usando a propriedade 2 vêm: ˆx 180º (90º 30º ) 180 º 120 º 60º 4. OAB ˆ ABO ˆ BOA ˆ Então, 180º 84º 96º Logo, xˆ 96º 2 48º 20