Geometria Espacial - Troncos

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1 Geometria Espacial - Troncos ) (SpeedSoft) ) (Fuvest) A altura de um cone circular reto é H. Seja α um plano que é paralelo à base e que divide o cone em dois sólidos de mesmo volume. Calcule a distância entre α e o plano da base do cone. 4) (Uneb) A figura representa um cone reto com 0 cm de altura e 6 cm de raio da base. Esse cone foi seccionado por um plano perpendicular à altura e que contém seu ponto médio. Inaugurado em 7, o Transamerica Pyramid é o edifício mais alto de São Francisco, nos EUA, com cerca de 60m. Além de sua altura, o edifício chama a atenção pelo seu formato piramidal quadrangular. Segundo o site oficial do prédio, a área do o andar é de m e a do 4 o andar é de m. No 7 o andar, fica um mirante, de onde é possível observar toda a cidade de São Francisco. Considerando que a altura entre cada andar seja a mesma, qual seria a área do 7 o andar, em m? ) (UFBA) Qual é o volume do tronco de cone obtido? a) π cm b) π cm c) 7π cm d) π cm e) 0π cm ) (Vunesp) A figura representa uma pirâmide com vértice num ponto E. A base é um retângulo ABCD e a face EAB é um triângulo retângulo com o ângulo reto no vértice A. A pirâmide apresenta-se cortada por um plano paralelo à base, na altura H. Esse plano divide a pirâmide em dois sólidos: uma pirâmide EA'B'C'D' e um tronco de pirâmide de altura H. A figura representa dois tanques: um deles com a forma de um cubo de aresta b, e o outro com a forma de um cone circular reto, de altura também b e raio da base medindo r. Os tanques têm a mesma capacidade, estão com suas bases sobre um terreno horizontal plano e são ligados por um tubo, de modo que o nível de água, representado por h, seja o mesmo. Considere V(h) e V(h) os volumes de água no primeiro e no segundo tanque, respectivamente. Com base nessas informações e desprezando a espessura das paredes dos tanques, determine o valor de b, de modo que V(h) = V(h), com h 0. h Sabendo-se que H = 4 cm, AB = 6 cm, BC = cm e a altura h = AE = 6 cm, determine: a) o volume da pirâmide EA'B'C'D'; b) o volume do tronco de pirâmide. 6) (Fuvest) As bases de um tronco de cone circular reto são círculos de raios 6cm e cm. Sabendo-se que a área lateral do tronco é igual à soma das áreas das bases, calcule:

2 a) a altura do tronco de cone. b) o volume do tronco de cone. 7) (VUNESP) Com o fenômeno do efeito estufa e conseqüente aumento da temperatura média da Terra, há o desprendimento de icebergs (enormes blocos de gelo) das calotas polares terrestres. Para calcularmos o volume aproximado de um iceberg podemos compará-lo com sólidos geométricos conhecidos. Suponha que o sólido da figura, formado por dois troncos de pirâmides regulares de base quadrada simétricos e justapostos pela base maior, represente aproximadamente um iceberg. espaço interior à caixa e exterior à pirâmide é preenchido com água, até uma altura h, a partir da base (h ). Determine o volume da água para um valor arbitrário de h, 0 h. As arestas das bases maior e menor de cada tronco medem, respectivamente, 40dam e 0 dam e a altura mede dam. Sabendo que o volume VS da parte submersa do iceberg corresponde a aproximadamente 7/ do volume total V, determine VS. ) (ITA) Considere um cone circular reto cuja geratriz mede cm e o diâmetro da base mede cm. Traçam-se n planos paralelos à base do cone, que o seccionam determinando n + cones, incluindo o original, de modo que a razão entre os volumes do cone maior e do cone menor é. Os volumes destes cones formam uma progressão aritmética crescente cuja soma é igual a π. Então, o volume, em cm, do tronco de cone determinado por dois planos consecutivos é igual a: a) b) c) d) e) ) (Fuvest) Considere uma caixa sem tampa com a forma de um paralelepípedo reto de altura m e base quadrada de lado 6 m. Apoiada na base, encontra-se uma pirâmide sólida reta de altura m e base quadrada com lado 6 m. O 0) (PUC-MG) Cortando-se uma pirâmide de 0dm de altura por um plano paralelo à base e distante 4dm do vértice, obtém-se uma secção cuja área mede 44 dm. A medida da área da base de tal pirâmide, em dm, é: a) 0 b) 00 c) d) e) ) (Fatec) Divide-se a altura de um cone circular reto de volume V em três partes de medidas iguais. Pelos pontos de divisão são traçados planos paralelos à base. O volume do tronco de cone compreendido entre esses planos é igual a a) 7 V b) 7 V c) 7 7 V d) 7 V e) V ) (Vunesp) É dada uma pirâmide de altura H = cm e volume V = 0 cm. Um plano paralelo à base dessa pirâmide corta-a determinando um tronco de pirâmide de altura h = cm. O volume desse tronco de pirâmide resultante é: a) 6 cm b) cm c) 4 cm d) 7 cm e) 76 cm ) (UFSCar) Em uma lanchonete, um casal de namorados resolve dividir uma taça de milk shake com as dimensões mostradas no desenho.

3 a) Sabendo-se que a taça estava totalmente cheia e que eles beberam todo o milk shake, calcule qual foi o volume, em ml, ingerido pelo casal. Adote π =. b) Se um deles beber sozinho até a metade da altura do copo, quanto do volume total, em porcentagem, terá bebido? 4) (VUNESP) Numa região muito pobre e com escassez de água, uma família usa para tomar banho um chuveiro manual, cujo reservatório de água tem o formato de um cilindro circular reto de 0cm de altura e base com cm de raio, seguido de um tronco de cone reto cujas bases são círculos paralelos, de raios medindo cm e 6cm, respectivamente, e altura 0cm, como mostrado na figura. Nessa figura, estão representados um cubo, cujas arestas medem, cada uma, cm, e a pirâmide MABC, que possui três vértices em comum com o cubo. O ponto M situa-se sobre o prolongamento da aresta BD do cubo. Os segmentos MA e MC interceptam arestas desse cubo, respectivamente, nos pontos N e P e o segmento ND mede cm. Considerando-se essas informações, é CORRETO afirmar que o volume da pirâmide MNPD é, em cm a) 6 b) 4 c) d) Por outro lado, numa praça de uma certa cidade há uma torneira com um gotejamento que provoca um desperdício de 46,44 litros de água por dia. Considerando a aproximação =, determine quantos dias de gotejamento são necessários para que a quantidade de água desperdiçada seja igual à usada para 6 banhos, ou seja, encher completamente 6 vezes aquele chuveiro manual. Dado: 000cm = litro. ) (UFMG) Observe esta figura: 6) (VUNESP) Para calcularmos o volume aproximado de um iceberg, podemos compará-lo com sólidos geométricos conhecidos. O sólido da figura, formado por um tronco de pirâmide regular de base quadrada e um paralelepípedo reto-retângulo, justapostos pela base, representa aproximadamente um iceberg no momento em que se desprendeu da calota polar da Terra. As arestas das bases maior e menor do tronco de pirâmide medem, respectivamente, 40dam e 0dam, e a altura mede dam. Passado algum tempo do desprendimento do iceberg, o seu volume era de 00dam, o que correspondia a /4 do volume inicial. Determine a altura H, em dam, do sólido que representa o iceberg no momento em que se desprendeu.

4 área da base grande é de 70 cm e a área da base pequena é de 0 cm, qual o volume de madeira empregado para fazer o banquinho? 7) (Una) Se um tijolo, dos usados em uma construção, pesa 4, Kg, então um tijolinho de brinquedo feito do mesmo material e cujas dimensões sejam 4 vezes menores, pesará: a) 7g b) 00g c).7g d).00g ) (SpeedSoft) Um cilindro circular reto de altura 6cm e raio da base cm está inscrito em um cone circular reto de altura H e raio da base 6cm. Determine o volume simultaneamente interno ao cone e externo ao cilindro. ) (UNICAMP) Seja ABCDABCD um cubo com aresta de comprimento 6cm e sejam M o ponto médio de BC e O o centro da face CDDC, conforme mostrado na figura ao lado. ) (Mauá) Um cilindro circular reto de altura h e raio r da base está inscrito em um cone circular reto de altura H e raio R da base. Sendo R = r, determine a relação entre os seus volumes. a) Se a reta AM intercepta a reta CD no ponto P e a reta PO intercepta CC e DD em K e L, respectivamente, calcule os comprimentos dos segmentos CK e DL. b) Calcule o volume do sólido com vértices A, D, L, K, C e M. ) (ITA) Seja uma pirâmide regular de base hexagonal e altura 0 m. A que distância do vértice devemos cortá-la por um plano paralelo à base de forma que o volume da pirâmide obtida seja do volume da pirâmide original? a) m. b) 4 m. c) m. d) 6 m. e) m. 0) (SpeedSoft) Um banquinho maciço de madeira tem a forma de um tronco de cone. Sua altura é de 0 cm. Se a ) (UFPE) Um cone circular reto, com altura igual a 60cm, é interceptado por um plano perpendicular ao seu eixo, resultando numa circunferência de raio igual a 40cm. Se a distância deste plano à base do cone é de 0cm, quanto mede o raio, em cm, da base do cone? 4

5 4) (Faap) Um copo de chope é um cone (oco), cuja altura é o dobro do diâmetro. Se uma pessoa bebe desde que o copo está cheio até o nível da bebida fica exatamente na metade da altura do copo, a fração do volume total que deixou de ser consumida é: a) b) c) d) e) 4 ) (Cesgranrio) Um recipiente cônico, com altura e raio da base, contém água até a metade de sua altura (Fig. I). Inverte-se a posição do recipiente, como mostra a Fig. II. A distância do nível de água ao vértice, na situação da Fig. II, é: Sendo R e r os raios mostrados nas figuras, a) determine R e o volume do líquido no cone em cm (figura ), como múltiplo de π. b) dado que r =, determine a altura H da parte sem líquido do cone na figura. (Use a aproximação ) = 7) (UEL) Um reservatório de água possui a forma de um cone circular reto com a base voltada para cima e na horizontal. Sua profundidade é de m e seu diâmetro máximo é de 0 m. Se o nível da água estiver a metros do chão, qual é a porcentagem da sua capacidade total ocupada pelo volume de água? (Despreze a espessura do material) a) 0,% b),4% c),6% d) 6,7% e),% a) b) c) d) e) ) (Vunesp) Um recipiente tampado, na forma de um cone circular reto de altura cm e raio 6cm, contém um líquido até a altura de cm (figura ). A seguir, a posição do recipiente é invertida (figura ). ) (UFMG) Um reservatório de água tem forma de um cone circular reto, de eixo vertical e vértice para baixo. Quando o nível de água atinge a metade da altura do tanque, o volume ocupado é igual a π. A capacidade do tanque é: a) π b) c) 4 π d) 6 π e) π ) (Cesgranrio) Um tanque cônico, de eixo vertical e vértice para baixo, têm água até metade da sua altura. Se a capacidade do tanque é de 00 litros, então a quantidade de água nele existente é de: a) 600 litros b) 40 litros c) 00 litros d) 00 litros e) 0 litros

6 0) (Unicamp) Um tetraedro regular, cujas as arestas medem cm de comprimento, tem vértices nos pontos A, B, C e D. Um plano paralelo ao plano que contém a face BCD encontra as arestas AB, AC e AD, respectivamente, nos pontos R, S e T. a) Calcule a altura do tetraedro ABCD. b) Mostre que o sólido ARST também é um tetraedro regular. c) Se o plano que contém os pontos R, S e T dista centímetros do plano da face BCD, calcule o comprimento das arestas do tetraedro ARST. Lembrete : volume do cone = (área dabase) x (altura) ) (UNICAMP) Uma caixa d água tem o formato de um tronco de pirâmide de bases quadradas e paralelas, como mostra a figura abaixo, na qual são apresentadas as medidas referentes ao interior da caixa. ) (FUVEST) Um torneiro mecânico dispõe de uma peça de metal maciça na forma de um cone circular reto de cm de altura e cuja base B tem raio cm (Figura ). Ele deverá furar o cone, a partir de sua base, usando uma broca, cujo eixo central coincide com o eixo do cone. A broca perfurará a peça até atravessá-la completamente, abrindo uma cavidade cilíndrica, de modo a obter-se o sólido da Figura. Se a área da base deste novo sólido é da área de B, determine seu volume. a) Qual o volume total da caixa d água? b) Se a caixa contém (/6) m de água, a que altura de sua base está o nível d água? ) (UFRJ) Uma ampola de vidro tem o formato de um cone cuja altura mede cm. Quando a ampola é posta sobre uma superfície horizontal, a altura do líquido em seu interior é de cm (Figura ). Determine a altura h do líquido quando a ampola é virada de cabeça para baixo (Figura ). 4) (UEL) Uma caixa é totalmente preenchida por cinqüenta cubos idênticos. Quantos cubos iguais a esses podem ser colocados em uma caixa cujas dimensões internas têm, respectivamente, o dobro das dimensões da caixa anterior? a) 00 b) 0 c) 00 d) 400 e) 00 ) (SpeedSoft) Uma estatueta de ouro maciço custava R$ 400,00. Por ser tão cara, ela não era vendida nunca. Seu dono ordenou que ela fosse derretida e dela se fizeram novas e pequenas estatuetas, também maciças, perfeitamente semelhantes à original, mas com altura equivalente a da altura da original. Qual deve ser o preço justo de cada nova estatueta? 6) (NOVO ENEM) Uma fábrica produz velas de parafina em forma de pirâmide quadrangular regular com cm de altura e 6 cm de aresta da base. Essas velas são formadas 6

7 por 4 blocos de mesma altura troncos de pirâmide de bases paralelas e pirâmide na parte superior, espaçados de cm entre eles, sendo que a base superior de cada bloco é igual à base inferior do bloco sobreposto, com uma haste de ferro passando pelo centro de cada bloco, unindo-os, conforme a figura. cm. Faça uma figura representativa dessa situação e calcule o volume do cubo. ) (Mack) Uma xícara de chá tem a forma de um tronco de cone reto, conforme a figura. Se o dono da fábrica resolver diversificar o modelo, retirando a pirâmide da parte superior, que tem, cm de aresta na base, mas mantendo o mesmo molde, quanto ele passará a gastar com parafina para fabricar uma vela? a) 6 cm. b) cm. c) cm. d) 6 cm. e) 40 cm. Supondo π =, o volume máximo de líquido que ela pode conter é: a) 6cm b) 7cm c) 66cm d) 76cm e) 64cm 7) (Mack) Uma mistura de leite batido com sorvete é servida em um copo, como na figura. Se na parte superior do copo há uma camada de espuma de 4cm de altura, então a porcentagem do volume do copo ocupada pela espuma está melhor aproximada na alternativa: a) 6% b) 60% c) 0% d) 4% e) 70% ) (Unicamp) Uma pirâmide regular, de base quadrada, tem altura igual a 0cm. Sobre a base dessa pirâmide constrói-se um cubo de modo que a face oposta à base do cubo corte a pirâmide em um quadrado de lado igual a 7

8 ) O 7 o andar teria cerca de 7 m. ) Mesma capacidade b = V(h) = b h r b r = b () Gabarito A razão x dessa PA é o acréscimo de volume de um cone para outro, portanto é o volume de cada tronco entre planos consecutivos: Termo geral da PA: = +(4 - ).x π x = Usando semelhança de triângulos, V(h) = r ( b b h) r b Por (), V(h) = b (b h) = b h bh + h V(h) = V (h) b h -bh + h = b h h (h b) = 0 h b = (pois h 0) ) Alternativa: D 4) Alternativa: E ) a) 4/ cm b) 04/ cm 6) a) 4cm b) 4 π cm 7) Resposta: 00 dam ) Alternativa: C resolução: cone maior: g = cm; D = r = π R = cm g = h + R π = h + π h = cm. V =. = cm. Então, o volume do cone menor é = cm A soma de todos os volumes é uma soma de PA de n + termos: (n ) S = = π n = portanto temos planos e 4 cones, cujos volumes formam uma PA (, v, v, ) - ) ( h) 6h6 6 m 0) Alternativa: D As pirâmides semelhantes com razão de semelhança k têm suas áreas na proporção k. Assim, se k = k = 6 44 A e 6 ) Alternativa: C π A = dm 4 0 = 4, então ) Alternativa: E altura do tronco é cm, portanto a altura da pirâmide menor é = 6 cm, e a razão de semelhança k entre as pirâmides é k = 6 são proporcionais na razão k = v 0 7 =. Assim, os volumes das pirâmides 7 π v = cm. Portanto o volume do tronco é 0 - = 76 cm. ) a) 00 ml b) - 7 = 4) Resposta: dias ) Alternativa: B 6) Resposta: 7) Alternativa: A = 0,7 = 7,%.

9 São tijolos semelhantes e a razão é k = 4. Portanto os volumes (e, por conseqüência, a massa) são proporcionais com razão k = 64: m π m = 7g ) a) CK = cm e DL = 4cm b) 4cm metade da altura do tanque forma um cone semelhante ao tanque, com metade das dimensões do tanque, então: k = π k = 6 v π 00 = π v = 0 L 0) a) cm b) se o plano RST é paralelo ao plano BCD, então RS//BC, ST//CD e RT//BD e então os triângulos ARS, AST, ART e RTS são eqüiláteros e congruentes, portanto ARST também é tetraedro regular. ) Alternativa: C Duas figuras semelhantes com razão de semelhança k, têm volumes proporcionais com razão k. k = / π k = x π 0 = π x = 0) V = 600 cm c) - 6 cm ) Resposta: V = 4 cm ) Resposta: a razão é ) π cm ) R: 0cm 4) Alternativa: E Duas figuras semelhantes com razão de semelhança k, têm volumes proporcionais com razão k. Como o líquido na metade da altura do copo forma um cone semelhante ao copo, com metade das dimensões do copo, então: k = é π k = do copo. ) Alternativa: D 6) a) R = cm e V = cm. b) 7 cm. π o volume que deixou de ser consumido ) h =. ) a) A caixa d água comporta /4 m. b) O nível d água está a m da base menor da caixa d água. 4) Alternativa: D ) R$ 00,00 6) Alternativa: B 7) Alternativa: C ) O volume é 0 = 000 cm 7) Alternativa: C K = 0,6 k = 0,6 =,6% ) Alternativa: E ) Alternativa: E Duas figuras semelhantes com razão de semelhança k, têm volumes proporcionais com razão k. Como o líquido na ) Alternativa: A