MATEMÁTICA. 1. A figura 1 representa um prisma obtido após a secção do paralelepípedo reto-retângulo ADFCGJLI representado na figura 2.

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1 MATEMÁTICA Prof. Favalessa. A figura representa um prisma obtido após a secção do paralelepípedo reto-retângulo ADFCGJLI representado na figura. a) Sendo que AB = BC = DE = EF e HI = KL = JL = JG = AG = x, o volume do prisma representado na figura é 5x x x 5x x. b). c). d). e) Um queijo tem o formato de paralelepípedo, com dimensões 0 cm x 8 cm x 5 cm. Sem descascar o queijo, uma pessoa o divide em cubos com cm de aresta, de modo que alguns cubos ficam totalmente sem casca, outros permanecem com casca em apenas uma face, alguns com casca em duas faces e os restantes com casca em três faces. Nesse caso, o número de cubos que possuem casca em apenas uma face é igual a a) 60. b). c). d) 68.. A altura, em centímetros, do nível da água armazenada em um reservatório com a forma de um prisma reto de base retangular é igual a x, conforme mostra a figura. Usando todo esse volume de água armazenado, pode-se encher completamente uma quantidade exata de recipientes com capacidade de 0 litros cada, ou uma quantidade exata de recipientes com h capacidade de 50 litros cada. Se x =, onde h é a altura do reservatório, então a menor capacidade, em litros, desse reservatório cheio é a) 00. b) 00. c) 00. d) 500. e) Sem perda do volume original, um ourives pretende transformar um cubo de ouro de cm em uma placa na forma de um paralelepípedo reto-retângulo. Adotando a medida da aresta do cubo como largura da placa e 50% da medida da aresta do cubo como altura da placa, a medida, em centímetros, do comprimento dessa placa resultará em: a),. b),5. c),8. d),0. e),.

2 5. Em uma gráfica, há uma pilha de papel no formato A com m. O papel A tem a forma retangular com cm de largura por 0 cm de comprimento. Assim sendo, o volume ocupado pela pilha de papel é de: a) 60cm. b) 5cm. c) 5 cm. d) cm. e) 6 000cm. 6. As figuras a seguir mostram dois pacotes de café em pó que têm a forma de paralelepípedos retângulos semelhantes. a) Se o volume do pacote maior é o dobro do volume do menor, a razão entre a medida da área total do maior pacote e a do menor é igual a: b) c) 6 d) 8 7. Considere uma placa metálica, muito fina, com formato de um triangulo isósceles de base 8m, imersa em um reservatório cheio de água, cuja forma é a de um paralelepípedo reto-retângulo. A placa está imersa de modo perpendicular à base do reservatório, seu vértice está ao nível da superfície da água e sua base está colocada sobre o fundo do reservatório. De quantos metros é a largura da placa a y metros de altura do fundo do reservatório, considerando que a altura desse reservatório mede 6m? a) y + 8 b) y 6 c) y 8 d) y 6 e) y 8. Se duplicarmos a medida da aresta da base de uma pirâmide quadrangular regular e reduzirmos sua altura à metade, o volume desta pirâmide: a) será reduzido à quarta parte. b) será reduzido à metade. c) permanecerá inalterado. d) será duplicado. e) aumentará quatro vezes. 9. Uma indústria de tonéis produz 000 unidades mensais. Estes tonéis são cilindros equiláteros de metro de altura. Para pintar a superfície lateral desses cilindros, é utilizada uma tinta cujo rendimento é de 00 gramas por m. Calculando a quantidade de tinta consumida a cada mês, encontramos um valor próximo de: Observação: Utilize o valor da constante π ( Pi) =, a).500 kg. b).800 kg. c).900 kg. d), toneladas. e),5 toneladas. 0. A lata abaixo deverá ser produzida a partir de uma chapa de metal que possui 0,8 g por centímetro quadrado de área. Sabendo que essa lata não possui tampa, é CORRETO afirmar que a massa de cada lata desse tipo será de: a) 900π g. b) 550π g. c) 000π g. d) 000π g. e) 80π g.

3 . As duas latas na figura abaixo possuem internamente o formato de cilindros circulares retos, com as alturas e diâmetros da base indicados. Sabendo que ambas as latas têm o mesmo volume, qual o valor aproximado da altura h? a) 5 cm. b) 6 cm. c) 6,5 cm. d) 7, cm. e) 8, cm.. Em uma festa, um garçom, para servir refrigerante, utilizou uma jarra no formato de um cilindro circular reto. Durante o seu trabalho, percebeu que com a jarra completamente cheia conseguia encher oito copos de 00 ml cada. Considerando-se que a altura da jarra é de 0cm, então a área interna da base dessa jarra, em cm, é: a) 0 b) 0 c) 60 d) 80. A água colhida por um pluviômetro cilíndrico de 0 cm de diâmetro, durante uma chuva torrencial, é depois colocada em um recipiente também cilíndrico, cuja circunferência da base mede π cm. Qual é a altura que a água havia alcançado no pluviômetro, se no recipiente ela alcançou 00 mm de altura? a), cm b) cm c),6 cm d) 7, cm e) 7 cm. Um artesão produz peças ornamentais com um material que pode ser derretido quando elevado a certa temperatura. Uma dessas peças contém uma esfera sólida e o artesão observa que as peças com esferas maiores são mais procuradas e resolve desmanchar as esferas menores para construir esferas maiores, com o mesmo material. Para cada 8 esferas de 0 cm de raio desmanchada, ele constrói uma nova esfera. O raio das novas esferas construídas mede a) 80,0 cm. b), cm. c) 8, cm. d) 0,0 cm. 5. Oscar Niemayer é um arquiteto brasileiro, considerado um dos nomes mais influentes na arquitetura moderna internacional. Ele contribuiu, através de uma doação de um croqui, para a construção do planetário da UFSM, um marco arquitetônico importante da cidade de Santa Maria. Suponha que a cobertura da construção seja uma semiesfera de 8 m de diâmetro, vazada por partes iguais, as quais são aproximadas por semicírculos de raio m. Sabendo que uma lata de tinta é suficiente para pintar 9 m de área, qual a quantidade mínima de latas de tinta necessária para pintar toda a cobertura do planetário? (Use π = ) a) 0. b) 6. c) 0. d) 5. e) 60.

4 TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: Arquimedes,candidato a um dos cursos da Faculdade de Engenharia, visitou a PUCRS para colher informações. Uma das constatações que fez foi a de que existe grande proximidade entre Engenharia e Matemática. 6. A quantidade de materiais para executar uma obra é essencial para prever o custo da construção. Querse construir um telhado cujas dimensões e formato são indicados na figura abaixo. a) A quantidade de telhas de tamanho 5 cm por 0 cm necessárias para fazer esse telhado é 0 b) 5 0 c) 5.0 d) 5.0 e) Uma metalúrgica produz uma peça cujas medidas são especificadas na figura a seguir. a) A peça é um prisma reto com uma cavidade central e com base compreendida entre dois hexágonos regulares, conforme a figura. Considerando que os eixos da peça e da cavidade coincidem, qual o volume da peça? 60 cm b) 80 cm c) 560 cm d) 0 cm e) 90 cm 8. Há.500 anos, o Imperador Quéops do Egito mandou construir uma pirâmide regular que seria usada como seu túmulo. As características e dimensões aproximadas dessa pirâmide hoje, são:.ª) Sua base é um quadrado com 0 metros de lado;.ª) Sua altura é de 0 metros. Suponha que, para construir parte da pirâmide equivalente a,88 0 m, o número médio de operários utilizados como mão de obra gastava em média 60 dias. Dados que,, 6,78 e,6,88, e mantidas estas médias, o tempo necessário para a construção de toda pirâmide, medido em anos de 60 dias, foi de, aproximadamente, a) 0. b) 0. c) 0. d) 50. e) É possível usar água ou comida para atrair as aves e observá-las. Muitas pessoas costumam usar água com açúcar, por exemplo, para atrair beija-flores. Mas é importante saber que, na hora de fazer a mistura, você deve sempre usar uma parte de açúcar para cinco partes de água. Além disso, em dias quentes, precisa trocar a água de duas a três vezes, pois com o calor ela pode fermentar e, se for ingerida pela ave, pode deixá-la doente. O excesso de açúcar, ao cristalizar, também pode manter o bico da ave fechado, impedindo-a de se alimentar. Isso pode até matá-la. Ciência Hoje das Crianças. FNDE; Instituto Ciência Hoje, n. 66, mar 996.

5 Pretende-se encher completamente um copo com a mistura para atrair beija-flores. O copo tem formato cilíndrico, e suas medidas são 0 cm de altura e cm de diâmetro. A quantidade de água que deve ser utilizada na mistura é cerca de (utilize π= ) a) 0 ml. b) ml. c) 00 ml. d) 0 ml. e) 600 ml. 0. Um paralelepípedo reto-retângulo, de volume V, e um cilindro circular reto, de raio R = 0,5 m e volume V, têm a mesma altura h = m. Se V V =, então a medida x da aresta da base do paralelepípedo é igual a π a) 5. b) 5. c). d). e) 0.. Arquimedes, para achar o volume de um objeto de forma irregular, mergulhou-o num tanque cilíndrico circular reto contendo água. O nível da água subiu 0 cm sem transbordar. Se o diâmetro do tanque é 0 cm, então o volume do objeto é: a).000π b).000π c).000π d).000π e) 5.000π. Observe a seguir as planificações de duas caixas. A base de uma das caixas é um hexágono regular; a base de outra é um triângulo equilátero. Se os retângulos ABCD e A B C D são congruentes, então a razão dos volumes da primeira e da segunda caixa é: a). b). c). d). e). 5

6 . A figura indica a planificação da lateral de um cone circular reto: O cone a que se refere tal planificação é a) b) c) d) e). Um arquiteto está fazendo um projeto de iluminação de ambiente e necessita saber a altura que deverá instalar a luminária ilustrada na figura Sabendo-se que a luminária deverá iluminar uma área circular de 8,6m, considerando π,, a altura h será igual a a) m. b) m. c) 5 m. d) 9 m. e) 6 m. 5. Se pudéssemos reunir em esferas toda a água do planeta, os diâmetros delas seriam: A razão entre o volume da esfera que corresponde à água doce superficial e o volume da esfera que corresponde à água doce do planeta é a) b) c) d) 9 e)

7 6. Em um casamento, os donos da festa serviam champanhe aos seus convidados em taças com formato de um hemisfério (Figura ), porém um acidente na cozinha culminou na quebra de grande parte desses recipientes. Para substituir as taças quebradas, utilizou-se um outro tipo com formato de cone (Figura ). No entanto, os noivos solicitaram que o volume de champanhe nos dois tipos de taças fosse igual. Considere: V esfera = πr e Vcone = πr h Sabendo que a taça com o formato de hemisfério e servida completamente cheia, a altura do volume de champanhe que deve ser colocado na outra taça, em centímetros, é de a),. b) 6,00. c),00. d) 56,5. e),0. 7. Um vasilhame na forma de um cilindro circular reto de raio da base de 5 cm e altura de 0 cm está parcialmente ocupado por 65 π cm de álcool. Suponha que sobre o vasilhame seja fixado um funil na forma de um cone circular reto de raio da base de 5 cm e altura de 6 cm, conforme ilustra a figura. O conjunto, como mostra a figura, é virado para baixo, sendo H a distância da superfície do álcool até o fundo do vasilhame. πrh Volume do cone: V cone = Considerando-se essas informações, qual é o valor da distância H? a) 5 cm. b) 7 cm. c) 8 cm. d) cm. e) 8 cm. 8. Considere o cubo de aresta cm e vértices ABCDEFG. Considere o ponto P situado no prolongamento da aresta EA de modo que PA = 5 cm, como está estabelecido na figura. A maior e a menor aresta lateral da pirâmide PEFGH medem, respectivamente: a) 8 cm e 8 cm b) 8 cm e cm c) cm e 8 cm d) 0 cm e 0 cm e) cm e 8 cm 7

8 9. Um recipiente com água tem, internamente, o formato de um cilindro reto com base de raio R cm. Mergulhando nesse recipiente uma esfera de metal de raio r cm, o nível da água sobe 9R cm. Qual é o 6 raio dessa esfera? a) r = 9R 6 cm b) r = R 5 cm c) r = R cm d) r = R cm e) r = R cm 0. Um vaso em forma de cilindro circular reto tem medida de raio da base 5 cm, altura 0 cm e contém água até a altura de 9 cm (despreze a espessura das paredes do vaso). Assinale a alternativa na qual consta o maior número de esferas de aço, de cm de raio cada, que podemos colocar no vaso a fim de que a água não transborde. a) b) 5 c) 6 d) 7 e) 8. Duas esferas de raio r foram colocadas dentro de um cilindro circular reto com altura r, raio da base r e espessura desprezível, como na figura a seguir. Nessas condições, a razão entre o volume do cilindro não ocupado pelas esferas e o volume das esferas é a) 5. b). c). d). e).. As figuras A e B indicam, respectivamente, planificações de sólidos em forma de prisma e pirâmide, com todas as medidas sendo dadas em metros. Denotando por V e V os volumes do prisma e da pirâmide, respectivamente, conclui-se que V representa de V a) 5%. b) 5%. c) 50%. d) 65%. e) 75%.. Derretendo uma peça maciça de ouro de forma esférica, quantas peças da mesma forma se pode confeccionar com este ouro, se o raio das novas peças é um terço do raio da anterior? Admita que não houve perda de ouro durante o derretimento. a) b) 9 c) 8 d) e) 7 8

9 . Leia os quadrinhos: Suponha que o volume de terra acumulada no carrinho-de-mão do personagem seja igual ao do sólido esquematizado na figura, formado por uma pirâmide reta sobreposta a um paralelepípedo retângulo. Assim, o volume médio de terra que Hagar acumulou em cada ano de trabalho é, em dm, igual a: a) b) c) d) 5 5. Na figura estão representados três sólidos de mesma altura h - um cilindro, uma semi-esfera e um prisma - cujos volumes são V, V e V, respectivamente. A relação entre V, V e V é: a) V < V < V b) V < V < V c) V < V < V d) V < V < V e) V < V < V GABARITO: Resposta da questão : A O volume do prisma é dado por: x x + AB + GH x x 5x AG JG = =. Resposta da questão : A Total de cubos com casca em apenas uma face será dado por:. 6.8 (superior e inferior) +.8. (frente e fundo) +.6. (laterais) = 60. 9

10 Resposta da questão : B O volume de água armazenado é dado por A h, em que A é a área da base do reservatório. Se é possível encher completamente recipientes de 0 e 50 litros cada, então o volume de água no reservatório deve é tal que mmc(0, 50) = 00 litros. h Portanto, como a capacidade do reservatório é dada por A h, vem A = 00 A h = 00 L. Resposta da questão : D Seja c o comprimento da placa. Sabendo que o volume do cubo é cm, segue que sua aresta mede Portanto, como não houve perda na transformação, vem = c c = cm. Resposta da questão 5: E = cm. V = 0 00 = cm. Resposta da questão 6: B A razão entre os volumes é o cubo da razão se semelhança. Logo, a razão de semelhança é k = ; A razão entre as áreas é o quadrado da razão de semelhança. Logo, a razão entre as áreas dos pacotes é k = =. Resposta da questão 7: A Supondo que y seja a distância da base do triângulo até a base do reservatório, considere a seguinte vista lateral. Como os triângulos ABC e ADE são semelhantes, e supondo que DE = x é a largura pedida, obtemos x y y = x =. 8 6 Observação: Se considerarmos que y é a distância do vértice A até a base do reservatório, então a largura pedida seria igual a y 8. Contudo, esse resultado não consta nas alternativas. Além disso, o gabarito oficial indica a alternativa [A] como sendo a correta. 0

11 Resposta da questão 8: D Area da base Altura V Pirâmide =. Portanto: H (L) L H L H V = e V = =. Logo: V = V (O dobro do volume inicial). Resposta da questão 9: E A área total a ser pintada é dada por 000 π 000, m. Portanto, como o rendimento da tinta é 000, =.5kg,5 ton g m = kg m, segue que o consumo mensal de tinta é 5 Resposta da questão 0: A Área da superfície externa da lata: A = π 5 + π 5 60 = 65 π π = 65 π cm. Cálculo da massa da lata: 0,8 65 π = 900 π g. Resposta da questão : D V I = V II π.6.h =.8. π 6. h = 6 h 7, cm Resposta da questão : A

12 Ab = área da base ml = cm Volume da jarra = 8 0mL = 00mL = 00cm A b.0 = 00 Ab = 80cm Resposta da questão : D Seja r o raio da base do recipiente. Se a circunferência da base do recipiente mede π cm, então π = π r r = cm. Logo, o volume de água transferido para o recipiente é dado por π 0cm. Por outro lado, como o diâmetro da base do pluviômetro mede 0 cm, segue que o raio da sua base mede 0 0 cm. = Portanto, se h é a altura que a água atingiu no pluviômetro, então π 0 h = π 0 h = = 7,cm. 0 Resposta da questão : D O artesão disporá de 8 0 cm π de material ao derreter 8 esferas menores. Com esse material ele poderá construir uma esfera de raio r, tal que π r = 8 π 0 r = 0 r = 0cm. Resposta da questão 5: B A = área da semiesfera de raio m: A = área de cada semicírculo lateral: π = = A 9 π m. π = = 9π A' m. 9π Área que será pintada: A A = 9π = 8π 0( π = ). Número de latas de tinta: = Resposta da questão 6: A Supondo que o telhado tem a forma de um prisma triangular reto, temos que a= 5m.

13 Portanto, supondo que apenas as faces de dimensões 5m 0m serão cobertas por telhas, segue que o 5 0 resultado pedido é dado por 0. 0 = Resposta da questão 7: E V = V V V = maior menor = 90 Resposta da questão 8: A (,).,.0 6,78.0 V =.(,.0 ).,.0 = = =,6.0 m, dias, x X =,6.60.0, =,.60.0 = 700 dias = 0 anos. Resposta da questão 9: C Supondo que o volume de açúcar e o volume de água somem o volume do copo. De acordo com o texto, temos: Volume de água = 5x Volume de água = x Volume do copo = π..0 =..0 = 0cm Então x + 5x = 0 6x = 0 x = 0cm Portanto, a quantidade de água deverá ser 5.0 = 00 cm = 00 ml. Resposta da questão 0: C x.h = x = x = π.(0,5).h π Resposta da questão : A O volume do objeto é dado por 0 π 0 =.000πcm. Resposta da questão : D

14 V ( hexagonal) = V ( triangular) 6x. (x) = 6 = Resposta da questão : B 5 o 5π 7π = = π π. R =.0 R = 7 e g = 0 (raio do setor) 5 Resposta da questão : B Se a área a ser iluminada mede 8,6 π r = 8,6 r r m., Portanto, como g = 5m e r = m, segue que h= m. 8,6 m e r é o raio da área circular iluminada, então Resposta da questão 5: A Sejam V ds e V, d respectivamente, o volume da esfera que corresponde à água doce superficial e o volume da esfera que corresponde à água doce do planeta. A razão pedida é dada por π r V ds ds = rds 9 = = = =. V d r π d 0 7 rd Resposta da questão 6: B π = π = =....h h 8 h 6cm Resposta da questão 7: B π.5.6 Volume do cone = = 50 π cm Volume do líquido do cilindro da figura = 65π - 50π = 575π Altura do líquido do cilindro da figura. π.5.h = 575π h = cm. Na figura, temos: H = 0 h logo H = 7 cm Resposta da questão 8: A Resposta da questão 9: C Resposta da questão 0: E Resposta da questão : D Resposta da questão : E Resposta da questão : E Resposta da questão : D Resposta da questão 5: E