# Cone Elementos #Cone Reto (ou de Revolução) #Panificação do Cone Reto. Altura. Raio. Base

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1 # Cone Elementos #Cone Reto (ou de Revolução) #Panificação do Cone Reto Eixo eratriz Superfície Lateral eratriz eratriz Altura eratriz Altura Raio Base Raio Base Raio Base Raio # Secção Meridiana do Cone Reto: # Planificação das Superfície Intersecção do cone com um plano que Lateral do Cone Reto contém o eixo: triângulo isósceles H Secção Meridiana R R R R Sendo: R o raio da base e H a altura do cone e a geratriz do cone reto: Área da Base Área do Círculo A Base π R Volume 1 V Cone = Área da Base Altura 1 R VCone π H No cone reto: Área da Superfície Lateral A S. Lateral = Área do Setor Circular A R S. Lateral π Área Total A Total = Área da Superfície Lateral + Áreas da Base A Total π R π R Ângulo do setor circular que forma a superfície lateral π R α rad Observação: Cone equilátero é um cone cuja secção meridiana é um triângulo equilátero. 1

2 ATIVIDADES PARTE A 1) Um cone de revolução tem 8 cm de altura e raio da circunferência da base valendo 6 cm. Calcule: a) a geratriz b) a área lateral c) a área total d) a área da secção meridiana e) o volume f) o ângulo do setor circular que forma a superfície lateral ) Um cone equilátero tem 6m de geratriz. Calcule: a) a geratriz b) a área lateral c) a área total d) a área da secção meridiana e) o volume f) o ângulo do setor circular que forma a superfície lateral ) (UNESP 014) Prato da culinária japonesa, o temaki é um tipo de sushi na forma de cone, enrolado externamente com nori, uma espécie de folha feita a partir de algas marinhas, e recheado com arroz, peixe cru, ovas de peixe, vegetais e uma pasta de maionese e cebolinha. Um temaki típico pode ser representado matematicamente por um cone circular reto em que o diâmetro da base mede 8 cm e a altura 10 cm. Sabendo-se que, em um temaki típico de salmão, o peixe corresponde a 90% da massa do seu recheio, que a densidade do salmão é de 0,5 g/cm, e tomando π, a quantidade aproximada de salmão, em gramas, nesse temaki, é de a) 46 b) 58 c) 54 d) 50 e) 6 PARTE B 4) Um cone reto tem 8 cm de altura e 6 cm de raio. Ache o comprimento da geratriz. 5) A altura da secção meridiana de um cone eqüilátero mede cm. Ache quanto mede o raio da base do cone. 6) Ache a área lateral e a área total de um cone reto de raio igual a 1 cm e altura, 8 cm. 7) A circunferência que limita a base de um cone reto tem comprimento igual a 6 cm. Sendo 4 cm a altura do cone, ache sua área lateral.

3 8) A altura de um cone reto mede o dobro do raio. Ache sua área lateral e total, sabendo que a geratriz mede 15 cm. 9) Ache o volume de um cone com raio de 1 cm e altura de 4 cm. 10) Um cone de 5 cm de altura tem volume de 4800 cm. Determine o raio da sua base. 11) A área lateral de um cone reto é 605 dm. Ache seu volume, sabendo que a geratriz mede 7,5dm. 1) Ache o volume do sólido gerado pela rotação completa de um triângulo retângulo de lados iguais a 18 cm, 4 cm e 0cm em torno: a) do menor cateto b) do maior cateto 1) A área da secção meridiana de um cone eqüilátero é 5 cm. Determine a área da sua base e a altura do cone. PARTE C Exercícios de Vestibulares 14) (UPE 014) Um torneiro mecânico construiu uma peça retirando, de um cilindro metálico maciço, uma forma cônica, de acordo com a figura 01 a seguir: Considere π Qual é o volume aproximado da peça em milímetros cúbicos? a),16 10 b) 7, 10 c),8 10 d) 8, 10 e), ) (ITA 014) Três circunferências C 1, C e C são tangentes entre si, duas a duas, externamente. Os raios r 1, r e r destas circunferências constituem, nesta ordem, uma progressão geométrica de razão 1. A soma dos comprimentos de C 1, C e C é igual a 6π cm. Determine: a) a área do triângulo cujos vértices são os centros de C 1, C e C. b) o volume do sólido de revolução obtido pela rotação do triângulo em torno da reta que contém o maior lado. 16) (UEM 014) Uma empresa deseja fabricar uma peça maciça cujo formato é um sólido de revolução obtido pela rotação de um trapézio isósceles em torno da base menor, como mostra a figura a seguir. As dimensões do trapézio são: base maior igual a 15 cm, base menor igual a 7 cm e altura do trapézio igual a cm.

4 Considerando-se π, o volume, em litros, da peça fabricada corresponde a a) 0,1. b) 0,. c) 0,478. d) 0,56. 17) (ENEM 014) Um sinalizador de trânsito tem o formato de um cone circular reto. O sinalizador precisa ser revestido externamente com adesivo fluorescente, desde sua base (base do cone) até a metade de sua altura, para sinalização noturna. O responsável pela colocação do adesivo precisa fazer o corte do material de maneira que a forma do adesivo corresponda exatamente à parte da superfície lateral a ser revestida. Qual deverá ser a forma do adesivo? a) b) c) d) e) 4

5 18) (UF 01) Um chapeuzinho, distribuído em uma festa, tem a forma de um cone circular reto e, quando planificado, fornece um semicírculo com 10 cm de raio. Para o cone, que representa o formato do chapeuzinho, a) o raio da base é 10 cm. b) a área da base é 50π cm. c) a área lateral é 5π cm. d) a geratriz mede 5 cm. 15 π e) o volume é cm. 19) (PUCRS 01) Um desafio matemático construído pelos alunos do Curso de Matemática tem as peças no formato de um cone. A figura abaixo representa a planificação de uma das peças construídas. A área dessa peça é de cm. a) 10π b) 16π c) 0π d) 8π e) 40π 0) (UEL 01) Considere uma lata, com o formato de um cilindro reto de altura h cm e raio r cm (Figura 1), completamente cheia de doce de leite. Parte do doce dessa lata foi transferido para dois recipientes (Figura ), iguais entre si e em forma de cone, que têm a mesma altura da lata e o raio da base igual à metade do raio da base da lata. Considere também que os dois recipientes ficaram completamente cheios de doce de leite. Desprezando a espessura do material de que são feitos os recipientes e a lata, determine quantos outros recipientes, também em forma de cone, mas com a altura igual à metade da altura da lata e de mesmo raio da lata (Figura ), podem ser totalmente preenchidos com o doce de leite que restou na lata. 5

6 Observação: Na lata e nos recipientes completamente cheios de doce de leite, o doce não excede a altura de cada um deles e, na transferência do doce de leite da lata para os recipientes, não há perda de doce. 1) (UFM 01) Um cone circular reto de raio r e altura h é iluminado pelo sol a um ângulo de 45, como ilustrado a seguir. A sombra projetada pelo cone é delimitada pelos segmentos PA e PB, tangentes ao círculo da base do cone nos pontos A e B, respectivamente. Com base nessas informações, a) DETERMINE a distância de P ao centro O do círculo. b) DETERMINE o ângulo AOB. ˆ c) DETERMINE a área da sombra projetada pelo cone. ) (FV 01) Um ralador de queijo tem a forma de cone circular reto de raio da base 4 cm e altura 10 cm. O queijo é ralado na base do cone e fica acumulado em seu interior (figura 1). Deseja-se retirar uma fatia de um queijo com a forma de cilindro circular reto de raio da base 8 cm e altura 6 cm, obtida por dois cortes perpendiculares à base, partindo do centro da base do queijo e formando um ângulo α (figura ), de forma que o volume de queijo dessa fatia corresponda a 90% do volume do ralador. Nas condições do problema, α é igual a a) 45. b) 50. c) 55. d) 60. e) 65. 6

7 ) (UPE 011) Ao se planificar um cone reto, sua superfície lateral é igual a um quarto de um círculo com área igual a 1π. Nessas condições, a área de sua base é igual a a) π b) π c) π d) 4π e) 5π 4) (UFPB 011) A prefeitura de certo município realizou um processo de licitação para a construção de 100 cisternas de placas de cimento para famílias da zona rural do município. Esse sistema de armazenamento de água é muito simples, de baixo custo e não poluente. A empreiteira vencedora estipulou o preço de 40 reais por m construído, tomando por base a área externa da cisterna. O modelo de cisterna pedido no processo tem a forma de um cilindro com uma cobertura em forma de cone, conforme a figura abaixo. Considerando que a construção da base das cisternas deve estar incluída nos custos, é correto afirmar que o valor, em reais, a ser gasto pela prefeitura na construção das 100 cisternas será, no máximo, de: Use: π =,14 a) b) c) d) e) ) (UNICAMP 011) Depois de encher de areia um molde cilíndrico, uma criança virou-o sobre uma superfície horizontal. Após a retirada do molde, a areia escorreu, formando um cone cuja base tinha raio igual ao dobro do raio da base do cilindro. A altura do cone formado pela areia era igual a a) da altura do cilindro. 4 b) 1 da altura do cilindro. c) da altura do cilindro. d) 1 da altura do cilindro. 7

8 6) (UFSC 011) O volume de um cone reto é 104πcm Se a altura, o raio da base e a geratriz desse cone formam, nessa ordem, uma progressão aritmética, então calcule a medida da geratriz, em centímetros, e assinale o valor obtido no cartão-resposta. 7) (CFTM 010) Um aluno gira um retângulo em torno do eixo que contém um de seus lados e calcula o volume V do sólido obtido. Depois, ele traça a diagonal do retângulo e o separa em dois triângulos,como mostra a figura. Ao girar cada um dos triângulos, em torno do mesmo eixo de rotação, os volumes dos sólidos obtidos são a) 1 V e V b) 1 V e V 4 4 c) 1 V e 4 V 5 5 d) 1 V e 5 V 6 6 8) (UECE 010) A superfície lateral de um cone circular reto, quando planificada, torna-se um setor circular de 1 cm de raio com um ângulo central de 10 graus. A medida, em centímetros quadrados, da área da base deste cone é a) 144 π. b) 7 π. c) 6 π. d) 16 π. RESPOSTAS ) Alternativa D. Solução: O volume do cone (recheio) será dado por: Tomando π, o volume do cone será dado por: 1 v cm π Considerando que o peixe representa 90% do volume do recheio, temos: 0, cm (volume do salmão). Portanto, a massa do salmão será dada por 0, ,4 g. Logo, a alternativa correta é a [D]. 8

9 4) 10 cm 5) cm 6) A l =75 cm e A t = 1176 cm 7) 540 cm 8) A l =65 cm e A t =650 cm 9) 15 cm 10) 4 cm 11) 66 dm 1) a)456 cm b)59 cm 1) B=5 cm e h=15 cm. 14) Alternativa A. 1 Solução: O volume do cone retirado é dado por 6 54 cm, π enquanto que o volume do cilindro é π cm. Portanto, o volume da aproximado da peça é igual a 15) Solução: a) De acordo com os dados do problema, temos: cm,16 10 mm. r1 9r, r r e r r e π 9r π r π r 6π r 1 cm Temos então um triângulo de lados 4cm, 10cm e 1cm com vértices nos centros das circunferências. Portanto, sua área será dada por: p 1 A 1 (1 4) (1 10) (1 1) A 9cm b) O sólido de revolução é a união entre dois cones. Calculando a medida do raio da base dos cones, que também é a altura do triângulo considerado. 1 R 9 9 R cm Portanto o volume do sólido será dado por: 9

10 π 9 π 9 V (x y) 1 9πcm 16) Alternativa B. Solução: Volume da embalagem em cm : V Vcilindro Vcone 1 V π 15 π 4 15π 4π 111π cm 0,L 17) Alternativa E. Solução: Lembrando que a superfície lateral de um cone é obtida a partir de um setor circular, seguese que o objetivo do responsável pelo adesivo será alcançado se ele fizer o corte indicado na figura abaixo. 18) Alternativa E. Solução: Fazendo a planificação da superfície lateral do cone, temos: π r 10π R 5 h 10 5 h 5 Cálculo da área lateral: A π R g 50π π π Cálculo do volume: V 19) Alternativa B. Solução: A área pedida corresponde à soma das áreas de um círculo de diâmetro 4cm e de um setor circular de raio 6cm e ângulo central igual a 10. Portanto, a área da peça, em cm, é igual a 0) Solução: Volume da figura 1: V π r h Volume da figura : Volume da figura : 1 1 r π r h V V 1 π h h π r h V1 V π r π π 6 4π 1π π. 10

11 Número de recipientes da figura : 1) Solução: V1 V 1 1 V V 1 5 V V1 6 a) O Δ POT é isósceles, pois PO = OT, logo PO = (figura 1) b) No Δ POA (figura ), temos: 1 cosα α 60 AÔB α 10 c) Sendo A = área da sombra do cone, temos: A A A PAOB setor(10 ) 1 π A sen60 π. ) Alternativa A. Solução: Volume do ralador: π π VR α 16π α Volume do pedaço de queijo: VQ π Como V Q =90% de V R, temos: 16 α π α ) Alternativa C. Solução: Considerando 1π como sendo a área da superfície lateral, r o raio da base e g sua geratriz temos:. r. g 1 r. g 1. r g 4. r g Logo, r. 4r. 1 r. Portanto, a área da base será A =.. 11

12 4) Alternativa E. Solução: Área de uma cisterna = Área da sup. lateral do cone + área da superfície lateral do cilindro + área do círculo. Área da Cisterna =.., Área da cisterna = 17.m Área de 100 cisternas 1700.m Valor das cisternas ,14 = 1.50 reais. 5) Alternativa A. Solução: Como o volume de areia é o mesmo, segue que: 1 1 rcon hcon rcil h cil (R) hcon R hcil hcon h cil. 4 6) Solução: H(altura), R(raio da base) e g(geratriz) formam uma P.A, que pode ser escrita da seguinte forma: (R - r, R, R + r) onde r é a razão da P.A. Aplicando o teorema de Pitágoras, temos: (R r) R (R r) R.R.r r R R.R.r r R 0( não convém) R 4.Rr 0 R 4.r(convém) logo h = r e g = 5r Considerando o volume do cone 104 π, temos: 1..(4r).r 104 r 64 r 4cm π π Portanto, a geratriz do cone será g = 5. r = 0 cm. 1

13 7) Alternativa A. Solução: V π.r.h 1 1 V 1 π.r.h.v V V V V1 V V 8) Alternativa D. Solução:.1. R R 4 A.4 a 16 cm 1