1 ELEMENTOS DO CONE 3 ÁREAS E VOLUME DO CONE 2 SECÇÃO MERIDIANA. 3.1 Área lateral. 3.2 Área da base. 3.3 Área total. 3.4 Volume

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1 Matemática Pedro Paulo GEOMETRIA ESPACIAL VII 1 ELEMENTOS DO CONE Cone é um sólido formado por um círculo que é a base e um ponto fora do plano da base que é o vértice, que é ligado a todos os pontos do círculo. Ele também pode ser obtido pela rotação de um triângulo retângulo em torno de um eixo que contém um dos seus catetos. O eixo é a reta que passa pelo centro da base e pelo vértice. Além disso, o raio da base é denominado raio da base (claro) e o segmento de reta que liga o vértice a um ponto da circunferência da base é denominado geratriz. Finalmente, a altura do cone é a distância entre a base e o vértice. Na prática: o cone é uma pirâmide com base circular! Observação: A seção meridiana de um cone é um triângulo isósceles de base e dois lados iguais a Observação: Se a seção meridiana de um cone for um triângulo equilátero, temos um cone equilátero. Nesse caso, 3 ÁREAS E VOLUME DO CONE 3.1 Área lateral Seja o raio da base de um cone e a sua geratriz. Planificando a superfície lateral do cone, é obtido um setor circular de raio e ângulo, que enxerga um arco de comprimento. Logo a área lateral do cone é a área do setor circular abaixo: Figura 3 planificação da superfície lateral do cone Figura 1 elementos do cone Na figura acima,, e. Além disso, note que o triângulo é retângulo. Usando Pitágoras no triângulo A área do círculo de raio é A razão entre a área do setor e a área do círculo de raio é, que também é a razão entre o comprimento do arco e o comprimento da circunferência de raio : 2 SECÇÃO MERIDIANA É a secção feita no cone por um plano que contém o seu eixo. 3.2 Área da base Como a base do cone é um círculo de raio, a sua área da base é: 3.3 Área total A área total de um cone é a soma da área lateral com a área da base: 3.4 Volume Figura 2 secção meridiana do cone O volume de um cone é do produto da área da sua base pela sua altura : 1 Geometria CASD Vestibulares

2 Nível I EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1. (ENEM - 11) A figura seguinte mostra um modelo de sombrinha muito usado em países orientais. 4. (UEL - 09) Uma chapa com forma de um setor de raio e ângulo de graus é manuseada para se transformar num cone. Se o raio da base do cone obtido é então o valor de é: Esta figura é uma representação de uma superfície de revolução chamada de a) pirâmide. b) semiesfera. c) cilindro. d) tronco de cone. e) cone. 2. (ENEM 2ª APLICAÇÃO - 10) Um arquiteto está fazendo um projeto de iluminação de ambiente e necessita saber a altura que deverá instalar a luminária ilustrada na figura 5. (UECE - 10) A superfície lateral de um cone circular reto, quando planificada, torna-se um setor circular de de raio com um ângulo central de graus. A medida, em centímetros quadrados, da área da base deste cone é a) b) c) d) 6. (UPE - 11) Ao se planificar um cone reto, sua superfície lateral é igual a um quarto de um círculo e a sua área é igual a. Nessas condições, a área de sua base é igual a 7. (ITA - 12) A superfície lateral de um cone circular reto é um setor circular de e área igual a. A área total e o volume deste cone medem, em e, respectivamente Sabendo-se que a luminária deverá iluminar uma área circular de, considerando, a altura será igual a a) e d) e b) e e) e c) e 3. (UNICAMP - 11) Depois de encher de areia um molde cilíndrico, uma criança virou-o sobre uma superfície horizontal. Após a retirada do molde, a areia escorreu, formando um cone cuja base tinha raio igual ao dobro do raio da base do cilindro. 8. (UPE - 14) Um torneiro mecânico construiu uma peça retirando, de um cilindro metálico maciço, uma forma cônica, de acordo com a figura 01 a seguir: Considere A altura do cone formado pela areia era igual a a) da altura do cilindro. b) da altura do cilindro. c) da altura do cilindro. d) da altura do cilindro. Qual é o volume aproximado da peça em milímetros cúbicos? a) b) c) d) e) CASD Vestibulares Geometria 2

3 Nível II 9. (UEL - 13) Considere uma lata, com o formato de um cilindro reto de altura e raio (Figura 1), completamente cheia de doce de leite. Parte do doce dessa lata foi transferido para dois recipientes (Figura 2), iguais entre si e em forma de cone, que têm a mesma altura da lata e o raio da base igual à metade do raio da base da lata. Considere também que os dois recipientes ficaram completamente cheios de doce de leite. 11. (ENEM CANCELADO - 09) Um vasilhame na forma de um cilindro circular reto de raio da base de e altura de está parcialmente ocupado por de álcool. Suponha que sobre o vasilhame seja fixado um funil na forma de um cone circular reto de raio da base de e altura de, conforme ilustra a figura 1. O conjunto, como mostra a figura 2, é virado para baixo, sendo a distância da superfície do álcool até o fundo do vasilhame. Volume do cone: Desprezando a espessura do material de que são feitos os recipientes e a lata, determine quantos outros recipientes, também em forma de cone, mas com a altura igual à metade da altura da lata e de mesmo raio da lata (Figura 3), podem ser totalmente preenchidos com o doce de leite que restou na lata. Considerando-se essas informações, qual é o valor da distância? Observação: Na lata e nos recipientes completamente cheios de doce de leite, o doce não excede a altura de cada um deles e, na transferência do doce de leite da lata para os recipientes, não há perda de doce. 10. (UFMG - 13) Um cone circular reto de raio e altura é iluminado pelo sol a um ângulo de, como ilustrado a seguir. 12. (UNESP - 06) Um paciente recebe por via intravenosa um medicamento à taxa constante de. O frasco do medicamento é formado por uma parte cilíndrica e uma parte cônica, cujas medidas são dadas na figura, e estava cheio quando se iniciou a medicação. A sombra projetada pelo cone é delimitada pelos segmentos e, tangentes ao círculo da base do cone nos pontos e, respectivamente. Com base nessas informações, a) DETERMINE a distância de ao centro do círculo. b) DETERMINE o ângulo. c) DETERMINE a área da sombra projetada pelo cone. Após de administração contínua, a medicação foi interrompida. Dado que, e usando a aproximação, o volume, em, do medicamento restante no frasco após a interrupção da medicação é, aproximadamente, 3 Geometria CASD Vestibulares

4 13. (UFPB - 11) A prefeitura de certo município realizou um processo de licitação para a construção de cisternas de placas de cimento para famílias da zona rural do município. Esse sistema de armazenamento de água é muito simples, de baixo custo e não poluente. A empreiteira vencedora estipulou o preço de reais por construído, tomando por base a área externa da cisterna. O modelo de cisterna pedido no processo tem a forma de um cilindro com uma cobertura em forma de cone, conforme a figura abaixo. 16. (UEMG - 14) Uma empresa deseja fabricar uma peça maciça cujo formato é um sólido de revolução obtido pela rotação de um trapézio isósceles em torno da base menor, como mostra a figura a seguir. As dimensões do trapézio são: base maior igual a, base menor igual a e altura do trapézio igual a. Considerando que a construção da base das cisternas deve estar incluída nos custos, é correto afirmar que o valor, em reais, a ser gasto pela prefeitura na construção das cisternas será, no máximo, de: Use: a) b) c) d) e) 14. (UFG - 13) Um chapeuzinho, distribuído em uma festa, tem a forma de um cone circular reto e, quando planificado, fornece um semicírculo com de raio. Para o cone, que representa o formato do chapeuzinho, a) o raio da base é b) a área da base é c) a área lateral é d) a geratriz mede e) o volume é Considerando-se, o volume, em litros, da peça fabricada corresponde a a) b) c) d) Nível III 17. (ITA - 05) Um dos catetos de um triângulo retângulo mede. O volume do sólido gerado pela rotação deste triângulo em torno da hipotenusa é. Determine os ângulos deste triângulo. 18. (UFMG - 09) Nesta figura, está representada a região, do plano cartesiano, limitada pelo eixo e pelas retas e 15. (UFPR - 10) A parte superior de uma taça tem o formato de um cone, com as dimensões indicadas na figura. a) Qual o volume de líquido que essa taça comporta quando está completamente cheia? b) Obtenha uma expressão para o volume de líquido nessa taça, em função da altura indicada na figura. Seja o sólido obtido pela rotação da região em torno do eixo. Então, é correto afirmar que o volume de é: a) b) c) d) CASD Vestibulares Geometria 4

5 DICAS E FATOS QUE AJUDAM 1. Note que a base da figura é um círculo e existe um ponto fora do círculo ligado a todos os pontos da circunferência, que é o vértice 7. Sejam o raio da base do cone e a sua geratriz. Seja o ângulo central do setor circular. Então. Como o raio do setor circular é a geratriz do cone, o raio do círculo completo também é : Sejam a altura do cilindro, a altura do cone, o raio do cilindro, o raio do cone, o volume do cilindro e o volume do cone. Como a quantidade de areia é a mesma no cilindro e no cone, o cilindro e o cone têm a mesmo volume. Então, tem-se: A área total do cone é: O volume do cone é: 4. Sejam o raio da base do cone e a sua geratriz. Como o raio do setor circular é a geratriz do cone,. Além disso,. Então: 8. Como o cilindro tem raio da base e altura, o seu volume é: 5. Sejam o raio da base do cone e a sua geratriz. Como o raio do setor circular é a geratriz do cone,. Então: Como o cone tem raio da base, o seu volume é: e altura A área da base do cone é: 6. Sejam o raio da base do cone e a sua geratriz. Como a área de um quarto do círculo é, a área do círculo completo é. Como o raio do setor circular é a geratriz do cone, o raio do círculo é. Então: Como o setor circular é igual a um quarto de círculo, o ângulo central do setor circular é O volume da peça é a diferença entre o volume do cilindro e o volume do cone: Como, 9. O volume da lata da figua 1 é. O volume de cada um dos recepientes da figura 2 é: ( ) O volume do recepiente da figura 3 é: A área da base do cone é: O volume do doce de leite que restou na lata é: 5 Geometria CASD Vestibulares

6 10. a) O triângulo está ilustrado abaixo: 11. Sejam a altura do cilindro, a altura do cone, o raio do cilindro, o raio do cone, o volume do cilindro e o volume do cone, de acordo com a figura 2. Então, e, O volume total de álcool é. Então: Como e, tem-se que: Como, o triângulo é isósceles de base. Logo, b) O plano da base do cone está ilustrado abaixo: 12. Sejam a altura do cilindro, a altura do cone, o raio do cilindro, o raio do cone, o volume do cilindro e o volume do cone. Então,, e, O volume total do frasco é: Seja. Então, tem-se: c) A área do triângulo é:. Como o paciente recebe em, o volume recebido em é. Logo o volume restante no frasco é 13. Sejam a altura do cilindro, a geratriz do cone, o raio do cilindro, o raio do cone, a área lateral do cilindro, a ára lateral do cone a área da base do cilindro e a área externa da cisterna. Então, tem-se:: A área do quadrilátero é o dobro da área do triângulo. Logo: A área da base do cone é: ( ) A área do setor circular de ângulo é: Logo, a área externa de cisternas é A área da sombra é a diferença entre a área do quadrilátero e a área do setor circular Como custa reais, o valor a ser gasto pela prefeitura na construção das cisternas é CASD Vestibulares Geometria 6

7 14. Sejam o raio da base do cone, a sua altura e a sua geratriz. Como o raio do setor circular é a geratriz do cone,. 16. A figura do problema é a seguinte: Como o setor circular é igual a um semicírculo, o ângulo central do setor circular é A área da base do cone é: A área lateral do cone é: O volume do cone é: 15. a) Sejam o raio da base da taça e a sua altura Então. Logo o volume de líquido da taça completamente cheia é: b) Quando a altura do líquido é, seja o raio da base do líquido, conforme a figura abaixo Note que o volume da peça fabricada corresponde à diferença entre o volume de um cilindro e o volume de dois cones (um embaixo e outro em cima). Sejam a altura do cilindro, a altura do cone, o raio do cilindro, o raio do cone, o volume do cilindro e o volume do cone. A altura do cilindro é a base maior do trapézio, logo, e o raio da base é a altura do trapézio. Então, o volume do cilindro é: Como o trapézio é isósceles, tem-se que a base maior do trapézio é igual à base menor do trapézio mais o dobro da altura do cone. Então, tem-se: Então, o volume do cone é: Por semelhança de triângulos, tem-se: O volume da peça fabricada é: Quando a altura do líquido é, o líquido tem a forma de um cone de raio da base e altura. Logo: ( ) Note que 7 Geometria CASD Vestibulares

8 17. Seja o triângulo retângulo, onde é a hipotenusa,, é a altura relativa a,, e. Ilustrando o triângulo abaixo: De e, tem-se: Substituindo em, tem-se: Multiplicando essaa equação por, tem-se: Girando o triângulo em torno de, será gerado um cone de raio da base e altura. Logo, o volume desse cone é ; Girando o triângulo em torno de, será gerado um cone de raio da base e altura. Logo, o volume desse cone é ; ( ) Então, o volume do sólido gerado pela rotação do triângulo em torno da hipotenusa (que é o sólido formado pelos dois cones) é : Aplicando Pitágoras no triângulo : Os triângulos e são semelhantes, pois possuem os ângulos iguais. Escolhendo os triângulos que têm seus lados, escolhemos os triângulos como um de e : é oposto aos lados (no ) e (no ); No triângulo retângulo, tem-se: : é oposto aos lados (no ) e (no ); : é oposto aos lados (no ) e (no ); No triângulo, tem-se: Semelhança entre e : Logo os ângulos do triângulo são,, CASD Vestibulares Geometria 8

9 18. Sejam a reta, a reta, o ponto em que a reta corta o eixo e o ponto em que as retas e se cortam. Como pertence ao eixo, temse que. Logo: 1. E 2. B 3. A 4. E 5. D 6. C GABARITO Logo, e ( ) A figura do problema é a seguinte: 7. A 8. A 9. recepientes como o da figura 3 podem ser totalmente preenchidos com o doce de leite que restou na lata 10. a) A distância de a é b) O ângulo é c) A área da sombra projetada pelo cone é 11. B 12. A 13. E Note que o sólido obtido pela rotação da região em torno do eixo é a diferença entre um cone maior de altura e raio da base e um cone menor de altura e raio da base. O volume do cone maior é: 14. E 15. a) O volume de líquido que essa taça comporta quando está completamente cheia é b) O volume de líquido nessa taça, em função da altura indicada na figura é ( ) 16. B 17. Os ângulos do triângulo são, e O volume do cone menor é: 18. A ( ) O volume do sólido é: 9 Geometria CASD Vestibulares