2º BIMESTRE ª SÉRIE GEOMETRIA MÉTRICA ( SÓLIDOS )

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1 º BIMESTRE 018 ª SÉRIE GEOMETRIA MÉTRICA ( SÓLIDOS ) 1. (Enem 011) A figura seguinte mostra um modelo de sombrinha muito usado em países orientais. Esta figura é uma representação de uma superfície de revolução chamada de: a) pirâmide. b) semiesfera. c) cilindro. d) tronco de cone. e) cone. Resposta da questão 1: [E] A expressão superfície de revolução garante que a figura represente a superfície lateral de um cone.. (Enem 014) Um sinalizador de trânsito tem o formato de um cone circular reto. O sinalizador precisa ser revestido externamente com adesivo fluorescente, desde sua base (base do cone) até a metade de sua altura, para sinalização noturna. O responsável pela colocação do adesivo precisa fazer o corte do material de maneira que a forma do adesivo corresponda exatamente à parte da superfície lateral a ser revestida. Qual deverá ser a forma do adesivo? a) b) c) d)

2 e) Resposta da questão : [E] Lembrando que a superfície lateral de um cone é obtida a partir de um setor circular, segue-se que o objetivo do responsável pelo adesivo será alcançado se ele fizer o corte indicado na figura abaixo.. (Enem 01) Uma cozinheira, especialista em fazer bolos, utiliza uma forma no formato representado na figura abaixo. Nela identifica-se a representação de duas figuras geométricas tridimensionais. Essas figuras são: a) um tronco de cone e um cilindro. b) um cone e um cilindro. c) um tronco de pirâmide e um cilindro. d) dois troncos de cone. e) dois cilindros. Resposta da questão : É fácil ver que o sólido da figura é constituído por dois troncos de cone. 4. (Enem 010) Alguns testes de preferência por bebedouros de água foram realizados com bovinos, envolvendo três tipos de bebedouros, de formatos e tamanhos diferentes. Os bebedouros 1 e têm a forma de um tronco de cone circular reto, de altura igual a 60 cm, e diâmetro da base superior igual a 10 cm e 60 cm, respectivamente. O bebedouro é um semicilindro, com 0 cm de altura, 100 cm de comprimento e 60 cm de largura. Os três recipientes estão ilustrados na figura.

3 Considerando que nenhum dos recipientes tenha tampa, qual das figuras a seguir representa uma planificação para o bebedouro? a) b) c) d) e) Resposta da questão 4: [E] A superfície do bebedouro é constituída por dois semicírculos e por um retângulo. 5. (Pucrs 01) Um desafio matemático construído pelos alunos do Curso de Matemática tem as peças no formato de um cone. A figura abaixo representa a planificação de uma das peças construídas.

4 A área dessa peça é de cm. a) 10π b) 16π c) 0π d) 8π e) 40π Resposta da questão 5: [B] A área pedida corresponde à soma das áreas de um círculo de diâmetro 4cm e de um setor circular de raio 6cm e ângulo central igual a 10. Portanto, a área da peça, em cm, é igual a 4 10 π π 6 4π 1π + = + 60 = 16 π. 6. (Fgv 010) A figura indica a planificação da lateral de um cone circular reto. O cone a que se refere tal planificação é: a) b) c) d) e)

5 Resposta da questão 6: [B] 5π 7π 5 = = π π R =.10 R = 7 e g = 10 (raio do setor) 5 7. (Mackenzie 00) Planificando a superfície lateral de um cone, obtém-se o setor circular da figura, de centro O e raio 18 cm. Dos valores abaixo, o mais próximo da altura desse cone é: a) 1 cm. b) 18 cm. c) 14 cm. d) 16 cm. e) 0 cm. Resposta da questão 7: Resolução: O raio da figura é a geratriz do cone. R = raio da base do cone Para o cone vale a equação: 60º / θ = πg / Π R = g / R 60º / 160º = 18 / R Logo : R = 8 cm. Dentro do cone, podemos construir um triângulo retângulo g² = h² + R² h² = g² R² h² = 18² 8 ² h = 16, cm

6 8. (Pucrs 004) A figura a seguir mostra um cone inscrito num cilindro. Ambos têm raio da base x e altura x. Retirandose o cone do cilindro, o volume do sólido resultante é: a) b) c) πx 4πx 8πx πx d) e) πxᵌ..... Resposta da questão 8: [B] Resolução: O volume do cone é um terço do volume do cilindro. O volume do sólido restante será dois terços do volume do cilindro. 9. (Uel 009) Uma chapa com forma de um setor de raio 0 cm e ângulo de x graus é manuseada para se transformar num cone. Se o raio da base do cone obtido é r = 5 cm, então o valor de x é: a) 60. b) 75. c) 80. d) 85. e) 90. Resposta da questão 9: [E] Resolução: O raio do setor circular é a geratriz do cone. O raio da base do cone é r = 5 cm. Logo, g = 0 cm. 60º / x = 0 / 5 x = 90º

7 10. (Unicamp 011) Depois de encher de areia um molde cilíndrico, uma criança virou-o sobre uma superfície horizontal. Após a retirada do molde, a areia escorreu, formando um cone cuja base tinha raio igual ao dobro do raio da base do cilindro. A altura do cone formado pela areia era igual a(à): a) da altura do cilindro. 4 b) 1 da altura do cilindro. c) da altura do cilindro. d) 1 da altura do cilindro. e) altura do cilindro. Resposta da questão 10: [A] Como o volume de areia é o mesmo, segue que: 1 1 π r h = π r h (R) h = R h hcon = h cil. 4 con con cil cil con cil 11. (Pucrs 016) Um cone está inscrito em um paralelepípedo, como na figura. A altura do paralelepípedo é o dobro do lado da base quadrada, de área 400 cm. Então, a razão entre o volume do cone e o do paralelepípedo é: a) b) 4000 π. c) 1 π. d) 1 π. e) 6 π.

8 Resposta da questão 11: De acordo com as informações do problema, podemos escrever que: x = 400 x = 0cm r = 10cm h = 40cm Logo, a razão entre os volumes será dada por: 1 π π π = = (Ufsm 005) Assim, se π =, o volume do líquido contido no cone é de: a) 70,9 m. b) 4,00 m. c) 7,00 m. d),9 m. e) 0,76 m. Resposta da questão 1: 1. (Upe-ssa 017) Um cone reto está inscrito num cubo de aresta 8 cm. Se a altura do cone e o diâmetro de sua base têm medidas iguais, qual é a diferença entre as medidas dos seus volumes? Considere π =,0. a) b) c) d) e) 18 cm 56 cm 84 cm 44 cm 51 cm

9 Resposta da questão 1: [C] A diferença entre os volumes será dada por: 1 1 Vcubo Vcone = 8 π 4 8 = = 84 cm. 14. (Unesp 014) Prato da culinária japonesa, o temaki é um tipo de sushi na forma de cone, enrolado externamente com nori, uma espécie de folha feita a partir de algas marinhas, e recheado com arroz, peixe cru, ovas de peixe, vegetais e uma pasta de maionese e cebolinha. Um temaki típico pode ser representado matematicamente por um cone circular reto em que o diâmetro da base mede 8 cm e a altura 10 cm. Sabendo-se que, em um temaki típico de salmão, o peixe corresponde a 90% da massa do seu recheio, que a densidade do salmão é de 0,5 g/cm, e tomando π =, a quantidade aproximada de salmão, em gramas, nesse temaki, é de: a) 46. b) 58. c) 54. d) 50. e) 6. Resposta da questão 14: Portanto, a massa do salmão será dada por 0,5 144 = 50,4g. Logo, a alternativa correta é a D. O volume do cone (recheio) será dado por: Tomando π =, o volume do cone será dado por:

10 1 v = cm π =. Considerando que o peixe representa 90% do volume. 15. (Pucrs 015) Uma casquinha de sorvete na forma de cone foi colocada em um suporte com formato de um cilindro, cujo raio da base e a altura medem a cm, conforme a figura. O volume da parte da casquinha que está no interior do cilindro, em a) b) c) d) e) πa πa πa πa πa Resposta da questão 15: cm, é: 16. (Unesp 00) O prefeito de uma cidade pretende colocar em frente à prefeitura um mastro com uma bandeira, que será apoiado sobre uma pirâmide de base quadrada feita de concreto maciço, como mostra a figura. Sabendo-se que a aresta da base da pirâmide terá m e que a altura da pirâmide será de 4 m, o volume de concreto (em m ) necessário para a construção da pirâmide será: a) 6. b) 7. c) 18. d) 1. e) 4.

11 Resposta da questão 16: Resolução: V =..4/ = (Unirio 1998) Uma pirâmide está inscrita num cubo, como mostra a figura anterior. Sabendo-se que o volume da pirâmide é de 6 m, então, o volume do cubo, em m, é igual a: a) 9. b) 1. c) 15. d) 18.. e) 1. Resposta da questão 17: Resolução: O volume da pirâmide é um terço do volume do cubo. 18. (Ufrgs 001) A figura a seguir representa a planificação de uma pirâmide de base quadrada com AB = 6 cm, sendo ADV triângulo equilátero. O volume da pirâmide é: a) 1. b) 7. c) 6. d) 7. e) 108. Resposta da questão 18: [C]

12 Resolução: A altura do triângulo equilátero será a altura da pirâmide de base quadrada. Dentro do triângulo equilátero podemos dividi-lo em dois triângulos retângulos. Utilizando-se o Teorema de Pitágoras, calculamos a sua altura. 6² = h² + ² h = = H ( altura da pirâmide ) V = 6.6. / = (Ufpr 016) Temos, abaixo, a planificação de uma pirâmide de base quadrada, cujas faces laterais são triângulos equiláteros. Qual é o volume dessa pirâmide? 16 a) cm. b) 16 cm. c) d) e) cm. cm. 64 cm. Resposta da questão 19: Observe a figura a seguir. L 4 h = h = h = Observe a figura abaixo. ( ) ( ) h = H + r = H + H = cm

13 Portanto, L H (4) Vpir. = Vpir. = = cm. 0. (Ufpb 011) A prefeitura de certo município realizou um processo de licitação para a construção de 100 cisternas de placas de cimento para famílias da zona rural do município. Esse sistema de armazenamento de água é muito simples, de baixo custo e não poluente. A empreiteira vencedora estipulou o preço de 40 reais por m construído, tomando por base a área externa da cisterna. O modelo de cisterna pedido no processo tem a forma de um cilindro com uma cobertura em forma de cone, conforme a figura abaixo. Considerando que a construção da base das cisternas deve estar incluída nos custos, é correto afirmar que o valor, em reais, a ser gasto pela prefeitura na construção das 100 cisternas será, no máximo, de: Use:π =,14. a) b) c) d) e) Resposta da questão 0: [E] Área de uma cisterna = Área da sup. lateral do cone + área da superfície lateral do cilindro + área do círculo Área da cisterna = π..,5 +. π.. + π. Área da cisterna = 17π.m Área de 100 cisternas 1700π.m Valor das cisternas ,14 = 1.50 reais 1. (Enem 016) Em regiões agrícolas, é comum a presença de silos para armazenamento e secagem da produção de grãos, no formato de um cilindro reto, sobreposta por um cone, e dimensões indicadas na figura. O silo fica cheio e o transporte dos grãos é feito em caminhões de carga cuja capacidade é de 0 m. Uma região possui um silo cheio e apenas um caminhão para transportar os grãos para a usina de beneficiamento.

14 Utilize como aproximação para π. O número mínimo de viagens que o caminhão precisará fazer para transportar todo o volume de grãos armazenados no silo é: a) 6. b) 16. c) 17. d) 18. e) 1. Resposta da questão 1: O volume do silo é dado por: 1 π 1 + π m. Portanto, se n é o número de viagens que o caminhão precisará fazer para transportar todo o volume de grãos armazenados no silo, então 51 n = 17,55. 0 A resposta é 18.. (Upf 016) Um reservatório de água tem formato de um cilindro circular reto de m de altura e base com 1, m de raio, seguido de um tronco de cone reto cujas bases são círculos paralelos, de raios medindo 1, m e 0,6 m respectivamente, e altura 1m, como representado na figura a seguir. Nesse reservatório, há um vazamento que desperdiça 1 do seu volume por semana.

15 Considerando a aproximação π e sabendo que 1dcm = 1 l, esse vazamento é de: a) 4.0 litros. b) 15,48 litros. c) litros. d) litros. e) litros. Resposta da questão : [E] O volume do reservatório, em decímetros cúbicos, é dado por: π 10 π ( ) Assim, tem-se que a resposta é L. =. (Enem cancelado 009) Uma empresa precisa comprar uma tampa para o seu reservatório, que tem a forma de um tronco de cone circular reto, conforme mostrado na figura. Considere que a base do reservatório tenha raio r = m e que sua lateral faça um ângulo de 60 com o solo. Se a altura do reservatório é 1 m, a tampa a ser comprada deverá cobrir uma área de: a) 1 π m. b) 108 π m. c) (1 + ) π m. d) 00 π m. e) (4 + ) π m. Resposta da questão : [B] o x tg0 = x = 4 1 r = 4 + = 6, logo a área da tampa será: A = π.( 6 ) = 108π m.

16 4. (Enem PPL 014) Para fazer um pião, brinquedo muito apreciado pelas crianças, um artesão utilizará o torno mecânico para trabalhar num pedaço de madeira em formato de cilindro reto, cujas medidas do diâmetro e da altura estão ilustradas na Figura 1. A parte de cima desse pião será uma semiesfera, e a parte de baixo, um cone com altura 4 cm, conforme Figura. O vértice do cone deverá coincidir com o centro da base do cilindro. O artesão deseja fazer um pião com a maior altura que esse pedaço de madeira possa proporcionar e de modo a minimizar a quantidade de madeira a ser descartada. Dados: 4 O volume de uma esfera de raio r é r ; π O volume do cilindro de altura h e área da base S é S h; O volume do cone de altura h e área da base S é 1 S h; Por simplicidade, aproxime π para. A quantidade de madeira descartada, em centímetros cúbicos, é: a) 45. b) 48. c) 7. d) 90. e) 99. Resposta da questão 4: [E] A quantidade de madeira descartada corresponde ao volume do cilindro subtraído dos volumes da semiesfera e do cone. Portanto, o resultado é: π 7 π (7 4) π = 99cm. 5. (Enem 014) Uma lata de tinta, com a forma de um paralelepípedo retangular reto, tem as dimensões, em centímetros, mostradas na figura.

17 Será produzida uma nova lata, com os mesmos formato e volume, de tal modo que as dimensões de sua base sejam 5% maiores que as da lata atual. Para obter a altura da nova lata, a altura da lata atual deve ser reduzida em: a) 14,4%. b) 0%. c),0%. d) 6,0%. e) 64,0%. Resposta da questão 5: Se H é a altura da lata atual, então seu volume é igual a 4 Hcm. Agora, sabendo que as dimensões da nova lata são 5% maiores que as da lata atual, e sendo h a altura da nova lata, temos h = 4 H h = H h = 64% H, 4 5 isto é, a altura da lata atual deve ser reduzida em 100% 64% = 6%. 6. (Enem PPL 01) Um pequeno caminhão dispõe de dois reservatórios vazios, cada um com capacidade de 000 kg, os quais serão utilizados para transportar a produção de milho e soja até um centro consumidor. No centro de abastecimento, abre-se o registro de um primeiro silo às 1 horas para alimentar o reservatório 1 com milho, numa taxa de 10 kg por minuto. Passados cinco minutos, abre-se o registro de um segundo silo para alimentar o reservatório com soja, numa taxa de 80 kg por minuto. Considere que a encomenda de milho no centro consumidor seja de kg e que, pela lei rodoviária local, a carga máxima a ser transportada por caminhão seja de 400 kg. Nessas condições, em que instantes devem ser fechados os registros dos silos 1 e, respectivamente, para que a quantidade de soja transportada seja a máxima possível? a) 1h15min e 1h0min b) 1h15min e 1h5min c) 1h15min e 1h7min0seg d) 1h15min e 1h0min e) 1h15min e 1hmin0seg Resposta da questão 6: [B] Se a encomenda de milho no centro consumidor é de 1800kg, e a carga máxima a ser transportada pelo caminhão é de 400kg, então a quantidade de soja a ser transportada é igual a = 1600kg. Desse modo, o registro do silo 1 deve ser fechado 1800 = 15 minutos após ter sido aberto, ou seja, às 1 h 15min, e o 10 registro do silo deve ser fechado 1600 = 0 minutos após ter sido aberto, isto é, às 1 h 5min. 80

18 7. (Uerj 00) Leia os quadrinhos. Suponha que o volume de terra acumulada no carrinho de mão do personagem seja igual ao do sólido esquematizado na figura a seguir, formado por uma pirâmide reta sobreposta a um paralelepípedo retângulo. Assim, o volume médio de terra que Hagar acumulou em cada ano de trabalho é, em a) 1. b) 1. c) 14. d) 15. Resposta da questão 7: dm, igual a: 8. (Uel 000) O proprietário de uma fazenda quer construir um silo com capacidade para 770m, para armazenamento de grãos. O engenheiro encarregado do projeto mostrou-lhe o esquema do silo, composto de um cilindro acoplado a um tronco de cone, como mostra a figura a seguir. Se, em seus cálculos, o engenheiro considerou π =, então a altura H do silo, em metros, é: 7 a) 15. b) 16. c) 17. d) 18. e) 19.

19 Resposta da questão 8: [C] 9. (Enem 014) Um fazendeiro tem um depósito para armazenar leite formado por duas partes cúbicas que se comunicam, como indicado na figura. A aresta da parte cúbica de baixo tem medida igual ao dobro da medida da aresta da parte cúbica de cima. A torneira utilizada para encher o depósito tem vazão constante e levou 8 minutos para encher metade da parte de baixo. Quantos minutos essa torneira levará para encher completamente o restante do depósito? a) 8 b) 10 c) 16 d) 18 e) 4 Resposta da questão 9: [B] Sendo l a medida da aresta da parte cúbica de cima, tem-se que a aresta da parte cúbica de baixo mede l. ( l ) Por conseguinte, se a torneira levou 8 minutos para despejar = 4 4l + l 8 = 10 minutos para encher completamente o restante do depósito. 4l l unidades de volume, então ela levará 0. (Fgv 01) A figura mostra a maquete do depósito a ser construído. A escala é 1: 500, ou seja, 1cm, na representação, corresponde a 500 cm na realidade. Qual será a capacidade, em metros cúbicos, do depósito? Resposta da questão 0: O depósito pode ser dividido em um paralelepípedo reto-retângulo de dimensões 0,9 cm cm 7,cm; e um prisma triangular reto de altura 7,cm, com uma das arestas da base medindo cm e altura relativa 0,6cm. Logo, a capacidade do depósito da maquete é dada por:

20 0,6 0,9 7, + 7, = 5,9cm. 6 Portanto, como a escala adotada é 1: 500 e 1cm = 10 m, segue que a medida real da capacidade do depósito é: 5, = 40 m. 1. (Usf 016) Um funil de vidro, em formato de tronco de cone e cilindro, de espessura desprezível, é utilizado para envasar frascos de remédios. Suas dimensões são indicadas na figura. Cada frasco a ser envasado possui a mesma capacidade deste funil. Sabe-se que 5 L de xarope caseiro serão envasados. Determine o número mínimo de frascos necessários para o envase. (Use π,14). Resposta da questão 1: O volume do tronco de cone é dado por: π 1 ( ) 17 cm + + = π. O volume do cilindro é igual a: π 1 10 = 10πcm. Logo, o volume do funil é: 17π + 10π = 18π cm 571,5cm 0,57 L. Portanto, o número de frascos necessários para envasar 5 L é igual a que ou igual a x). 5 = 9 0,57 ( x denota o menor inteiro maior do. (Enem cancelado 009) Um vasilhame na forma de um cilindro circular reto de raio da base de 5 cm e altura de 0 cm está parcialmente ocupado por 65 π cm de álcool. Suponha que sobre o vasilhame seja fixado um funil na forma de um cone circular reto de raio da base de 5 cm e altura de 6 cm, conforme ilustra a figura 1. O conjunto, como mostra a figura, é virado para baixo, sendo H a distância da superfície do álcool até o fundo do vasilhame.

21 πr h Volume do cone: V cone = Considerando-se essas informações, qual é o valor da distância H? a) 5 cm b) 7 cm c) 8 cm d) 1 cm e) 18 cm Resposta da questão : [B] π.5.6 Volume do cone = = 50 π cm Volume do líquido do cilindro da figura = 65π 50π = 575π Altura do líquido do cilindro da figura π.5.h = 575π h = cm. Na figura, temos: H = 0 h logo H = 7 cm.. (Ufscar 00) A figura representa um galheteiro para a colocação de azeite e vinagre em compartimentos diferentes, sendo um cone no interior de um cilindro. Considerando h como a altura máxima de líquido que o galheteiro comporta e a razão entre a capacidade total de azeite e vinagre igual a 5, o valor de h é: a) 7 cm. b) 8 cm. c) 10 cm. d) 1 cm. e) 15 cm. Resposta da questão : [C]