2 CILINDRO E ESFERA 1 CUBO E ESFERA. 2.1 Cilindro inscrito. 1.1 Cubo inscrito. 2.2 Cilindro circunscrito. 1.2 Cubo circunscrito

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1 Matemática Pedro Paulo GEOMETRIA ESPACIAL XI A seguir, nós vamos analisar a relação entre alguns sólidos e as esferas. Os sólidos podem estar inscritos ou circunscritos a uma esfera. Lembrando: A figura INscrita está dentro da outra; 2 CILINDRO E ESFERA 2.1 Cilindro inscrito A figura CIRCUNscrita está fora da outra; 1.1 Cubo inscrito 1 CUBO E ESFERA Figura 3: cilindro inscrito em uma esfera Sejam, o raio da base e a altura do cilindro e o raio da esfera. Note que a distância entre o centro da esfera e a base do cilindro é, formando um triângulo retângulo. Por Pitágoras, temos: Figura 1: cubo inscrito em uma esfera Sejam a aresta do cubo e o raio da esfera. Note que a diagonal do cubo (que vale ) é igual ao diâmetro da esfera (que vale ). Logo: 2.2 Cilindro circunscrito 1.2 Cubo circunscrito Figura 4: cilindro circunscrito a uma esfera Sejam, o raio da base e a altura do cilindro do cubo e o raio da esfera. Na figura à esquerda, note que. Na figura à direita, note que. Assim, para o cilindro circunscrito, tem-se: Figura 2: cubo circunscrito a uma esfera Sejam a aresta do cubo e o raio da esfera. Note que a aresta do cubo (que vale ) é igual ao diâmetro da esfera (que vale ). Logo: Como a altura do cilindro é o dobro do raio da sua base, a sua secção meridiana é um quadrado, isto é, o cilindro é um cilindro equilátero. 1 Geometria CASD Vestibulares

2 3.1 Cone inscrito 3 CONE E ESFERA 4 OCTAEDRO REGULAR E ESFERA 4.1 Octaedro regular inscrito Figura 5: cone inscrito em uma esfera Sejam, o raio da base e a altura do cone e o raio da esfera. Note que a distância entre o centro da esfera e a base do cone é, formando um triângulo retângulo. Por Pitágoras, temos: 3.2 Cone circunscrito Figura 7: octaedro regular inscrito em uma esfera Sejam a aresta do octaedro regular e o raio da esfera. Observando o quadrado que divide o octaedro ao meio, note que a diagonal do quadrado (que vale ) é igual ao diâmetro da esfera (que vale ).Assim, tem-se: 4.2 Octaedro regular circunscrito Figura 6: cone circunscrito a uma esfera Sejam, e o raio da base, a altura e a geratriz do cone e o raio da esfera. Na figura à direita, tem-se que,,, e que. Usando Pitágoras no triângulo, tem-se: Figura 8: octaedro regular circunscrito a uma esfera Note que, e, logo os triângulos retângulos e são semelhantes. Então, tem-se: Sejam a aresta do octaedro regular e o raio da esfera. Na figura, é o ponto de tangência entre a esfera e o octaedro. Então tem-se que,, e Como, a área do triângulo retângulo é. Além disso, como, a área do triângulo retângulo é. CASD Vestibulares Geometria 2

3 5 TETRAEDRO REGULAR E ESFERA 5.1 Tetraedro regular inscrito ( ) ( ) ( ) Figura 9: tetraedro regular inscrito em uma esfera Sejam, a aresta e a altura do tetraedro regular e o raio da esfera. A figura do tetraedro regular isolado da esfera é a seguinte: Como é a projeção ortogonal de sobre o plano da base, a altura do tetraedro regular é 5.2 Tetraedro regular circunscrito Figura 10 tetraedro regular isolado da esfera Como, vale. Logo, é o centro do triângulo equilátero (isto é, é baricentro, incentro, circuncentro, ortocentro). O ponto está no segmento e é o centro da esfera. Então Na figura, é o ponto médio de. Assim, é mediana. Logo, pela propriedade do baricentro, se, e. Como o triângulo é equilátero, a mediana também é altura. Logo. Então: Figura 11: tetraedro regular circunscrito a uma esfera Sejam,, a aresta, a altura e a área da base do tetraedro regular e o raio da esfera. Na figura, o tetraedro maior foi dividiro em tetraedros menores, todos com área da base igual a e altura. Sejam e os volumes do tetraedro maior e de cada tetraedro menor, respectivamente. Então: A altura do tetraedro regular é, logo: ( ) Observação: A soma do raio da esfera circunscrita com o raio da esfera inscrita é a altura do tetraedro: 3 Geometria CASD Vestibulares

4 Nível I EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1. (UFF - 10) Em 1596, em sua obra Mysterium Cosmographicum, Johannes Kepler estabeleceu um modelo do cosmos onde os cinco poliedros regulares são colocados um dentro do outro, separados por esferas. A ideia de Kepler era relacionar as órbitas dos planetas com as razões harmônicas dos poliedros regulares. A razão harmônica de um poliedro regular é a razão entre o raio da esfera circunscrita e o raio da esfera inscrita no poliedro. A esfera circunscrita a um poliedro regular é aquela que contém todos os vértices do poliedro. A esfera inscrita, por sua vez, é aquela que é tangente a cada uma das faces do poliedro. 4. (UEL - 06) Um joalheiro resolveu presentear uma amiga com uma joia exclusiva. Para isto, imaginou um pingente, com o formato de um octaedro regular, contendo uma pérola inscrita, com o formato de uma esfera de raio, conforme representado na figura a seguir. Se a aresta do octaedro regular tem comprimento, o volume da pérola, em, é: de a) b) c) d) e) A razão harmônica de qualquer cubo é igual a: a) b) c) d) e) 5. (ENEM 2ª APLICAÇÃO - 10) Numa feira de artesanato, uma pessoa constrói formas geométricas de aviões, bicicletas, carros e outros engenhos com arame inextensível. Em certo momento, ele construiu uma forma tendo como eixo de apoio outro arame retilíneo e rígido, cuja aparência é mostrada na 2. (UFC - 09) Seja um cubo com medida de aresta igual a. a) Calcule o volume da esfera inscrita no cubo. b) Secciona-se em mil cubos congruentes,,,...,, e inscreve-se uma esfera em cada cubo,. Calcule a soma dos volumes das esferas, 3. (UFPR - 14) Um cilindro de raio está inscrito em uma esfera de raio, como indica a figura abaixo. Ao girar tal forma em torno do eixo, formou-se a imagem de um foguete, que pode ser pensado como composição, por justaposição, de diversos sólidos básicos de revolução. Sabendo que, a figura, os pontos,, e são colineares,,,, e utilizando-se daquela forma de pensar o foguete, a decomposição deste, no sentido da ponta para a cauda, é formada pela seguinte sequência de sólidos: a) pirâmide, cilindro reto, cone reto, cilindro reto. b) cilindro reto, tronco de cone, cilindro reto, cone equilátero. c) cone reto, cilindro reto, tronco de cone e cilindro equilátero. d) cone equilátero, cilindro reto, pirâmide, cilindro. e) cone, cilindro equilátero, tronco de pirâmide, cilindro. Obtenha o maior valor de, de modo que o volume desse cilindro seja igual a a) b) c) d) e) CASD Vestibulares Geometria 4

5 Nível II 6. (UEPB - 12) Um cilindro reto está inscrito em um cubo de aresta. A relação entre o volume do cubo e o volume do cilindro a) b) c) d) e) 9. (FUVEST - 06) Um cone circular reto está inscrito em um paralelepípedo reto retângulo, de base quadrada, como mostra a figura. A razão entre as dimensões do paralelepípedo é e o volume do cone é. Então, o comprimento da geratriz do cone é 7. (UFSCAR - 10) A figura mostra um prisma retangular reto de base quadrada com um cilindro circular reto inscrito no prisma. O lado da base do prisma mede e a altura é dada por, com a) b) c) d) e) 10. (FUVEST - 13) Os vértices de um tetraedro regular são também vértices de um cubo de aresta. A área de uma face desse tetraedro é a) Calcule o volume do prisma para b) Para o volume do cilindro inscrito é. Encontre os outros valores de para os quais isto acontece. 8. (UNESP - 08) Um porta-canetas tem a forma de um cilindro circular reto de de altura e de raio. Sua parte interna é um prisma regular de base triangular, como ilustrado na figura, onde o triângulo e equilátero e está inscrito na circunferência. a) b) c) d) e) 11. (FUVEST - 14) Três das arestas de um cubo, com um vértice em comum, são também arestas de um tetraedro. A razão entre o volume do tetraedro e o volume do cubo é a) b) c) d) e) 12. (UERJ - 13) Um cristal com a forma de um prisma hexagonal regular, após ser cortado e polido, deu origem a um sólido de faces triangulares congruentes. Os vértices desse poliedro são os centros das faces do prisma, conforme representado na figura. A região entre o prisma e o cilindro é fechada e não aproveitável. Determine o volume dessa região. Para os calculos finais, considere as aproximações e. Calcule a razão entre os volumes do sólido e do prisma. 5 Geometria CASD Vestibulares

6 13. (UERJ - 14) Uma esfera de centro e raio igual a é tangente ao plano de uma mesa em um ponto. Uma fonte de luz encontra-se em um ponto de modo que, e são colineares. Observe a ilustração: 16. (UFMG - 07) Nesta figura, estão representados o cubo e o sólido : Considere o cone de vértice cuja base é o círculo de centro definido pela sombra da esfera projetada sobre a mesa. Se esse círculo tem área igual à da superfície esférica, então a distância, em decímetros, corresponde a: a) b) c) d) 14. (UERJ - 10) Uma embalagem em forma de prisma octogonal regular contém uma pizza circular que tangencia as faces do prisma. Cada aresta do cubo mede e os vértices do sólido são os pontos centrais das faces do cubo. Então, é correto afirmar que a área lateral total do sólido mede a) b) c) d) 17. (UERJ - 09) A figura a seguir representa uma caixa, com a forma de um prisma triangular regular, contendo uma bola perfeitamente esférica que tangencia internamente as cinco faces do prisma. Desprezando a espessura da pizza e do material usado na embalagem, a razão entre a medida do raio da pizza e a medida da aresta da base do prisma é igual a: a) b) c) d) 15. (UNICAMP - 14) Considere a pirâmide reta de base quadrada, ilustrada na figura abaixo, com lado da base e altura Admitindo, determine o valor aproximado da porcentagem ocupada pelo volume da bola em relação ao volume da caixa. 18. (UFRJ - 08) Um cone circular reto de altura circunscreve duas esferas tangentes, como mostra a figura a seguir. A esfera maior tem raio de e seu volume é oito vezes o volume da menor. Determine. a) Encontre o valor de de modo que a área de uma face triangular seja igual a. 19. (ITA - 10) Um cilindro reto de altura esta inscrito num tetraedro regular e tem sua base em uma das faces do tetraedro. Se as arestas do tetraedro medem, o volume do cilindro, em, é igual a b) Para, determine o raio da esfera circunscrita à pirâmide. a) b) c) d) e) CASD Vestibulares Geometria 6

7 DICAS E FATOS QUE AJUDAM 1. Sejam a aresta do cubo, o raio da esfera circunscrita e o raio da esfera inscrita. Então: 4. Sejam a aresta do octaedro regular e o volume da pérola. Então. Além disso: ( ) 2. a) Sejam a aresta do cubo e, o volume e o raio da esfera. Então. Logo, tem-se: 5. Girando a forma em torno do arame rígido, obtemos a figura abaixo. b) Como o cubo tem volume. Como ele foi divido em cubos,cada cubo tem um volume igual a e aresta Sejam, o volume e o raio de cada esfera. Logo: Portanto, a decomposição do foguete, no sentido da ponta para a cauda, é formada pela seguinte sequência de sólidos: cone reto ( o cone não é equilátero, pois ), cilindro reto (o primeiro cilindro não é equilátero, pois ), tronco de cone e cilindro equilátero (pois ) A soma dos volumes das esferas é 6. Seja a base do cubo. A figura do plano da base do cubo (e da base do cilindro) é a seguinte: 3. Usando Pitágoras no triângulo retângulo da figura: Note que a altura do cilindro é. Então, se o volume do cilindro é igual a, tem-se: Note que é raiz da equação acima, pois Sejam,, o raio, a altura e o volume do cilindro e o volume do cubo. Como o cilindro está inscrito no cubo, e. E. Logo, é divisor de. Dividindo por, tem-se que. Logo: Note que 7 Geometria CASD Vestibulares

8 7. a) Sejam, a área da base e o volume do prisma. Como a base é um quadrado de lado, 8. Seja a base do prisma. A figura do plano da base do cubo (e da base do cilindro) é a seguinte: b) Seja a base do cubo. A figura do plano da base do cubo (e da base do cilindro) é a seguinte: Sejam,, o raio, a altura e o volum do cilindro e,, o lado da base, a altura, a área da base e o volume do prisma. Como o prisma é regular de base triangular, a sua base é um triângulo equilátero. Então,, e Sejam, o raio da base e o volume do cilindro ( ) Como para, é raiz de. De fato, Seja o volume da região aproveitável. Então: Logo, é divisor de. Dividindo por, tem-se que. Logo: 9. Seja a base do paralelepípedo. A figura do plano da base do paralelepípedo (e da base do cone) é a seguinte: Sejam,, o raio da base, a altura e o volume do cone. Então, e CASD Vestibulares Geometria 8

9 10. A figura do problema é a seguinte: 12. A figura do plano horizontal que divide o prisma e o sólido ao meio é a seguinte: Sejam a aresta do cubo e, a aresta e a área da base do tetraedro. Como, tem-se que. Como todas as faces do tetraedro é um triângulo equilátero de lado, tem-se: ( ) Sejam a aresta da base do prisma, e o lado da base das duas pirâmides hexagonais regulares. Então. E como os hexágonos são regulares, o ângulo interno é Usando a Lei dos Cossenos no triângulo : 11. A figura do problema é a seguinte: Sejam,, a altura, a área da base e o volume do prisma, e,, a altura, a área da base e o volume de cada pirãmide hexagonal. Então, tem-se: Sejam, a aresta e o volume do cubo e,, a altura, a área da base e o volume do tetraedro. A base do tetraedro é um triângulo retângulo de catetos iguais a, logo a área da sua base é. Aa altura do tetraedro é, logo o seu volume é: O volume do cubo é A razão entre o volume do tetraedro e o volume do cubo é Seja o volume do sólido formado pelas pirâmides. A razão entre o volume do sólido e o volume do prisma é 9 Geometria CASD Vestibulares

10 13. Seja um ponto em que a esfera toca o cone e o ponto em que a reta corta a base do cone. A figura da secção transversal do cone é a seguinte: 14. A figura do plano da base do prisma e da pizza é a seguinte: Sejam,,, o raio, a altura, a geratriz e a área da base do cone, e, o raio e a área da superfície da esfera. Logo,, Como o círculo da base do cone tem área igual à da superfície esférica, tem-se: Sejam e. Como os triângulos e são semelhantes, tem-se: Sejam o octógono da base, a aresta da base e o raio da pizza. Prolongando os lados do octógono, obtemos os pontos e, que são vértices de um quadrado de lado, onde é um dos catetos dos triângulos retângulos dos cantos. No triângulo retângulo, tem-se: Lembre-se que deve ser positivo CASD Vestibulares Geometria 10

11 15. a) A figura do problema é a seguinte: 16. Seja o ponto médio de. Então. O triângulo retângulo está ilustrado abaixo: Sejam o vértice da pirâmide, o centro da base e o ponto médio da aresta. Como a área do triângulo é, tem-se: Logo, a aresta do octaedro é. A área lateral do octaedro é a área de equiláteros de lado. Logo: triângulos ( ) 17. A figura do plano horizontal que divide o prisma e a esfera ao meio é a seguinte: b) A figura do problema é a seguinte: Sejam, o raio e o volume da esfera, e,, e o lado da base, a altura, a área da base e o volume do prisma. Como o prisma é triangular regular, a sua base é um triângulo equilátero. Assim, o círculo máximo da esfera de raio está inscrito nesse triângulo. Logo: Sejam o centro e o raio da esfera circunscrita à pirâmide. Como, o centro está na reta vertical. Suponha por absurdo que está dentro da pirâmide. Nesse caso,, logo. Mas, logo (Contradição, pois ). Assim, a hipótese de que está dentro da pirâmide é falsa. Como a esfera está inscrita no prisma, a altura da esfera (que é ) é a altura do prisma, logo ( ) Seja a porcentagem ocupada pelo volume da bola em relação ao volume da caixa. Logo, tem-se: ( ) 11 Geometria CASD Vestibulares

12 18. A figura do problema é a seguinte: 19. A figura do problema é a seguinte: V B B' C' D' D C Sejam, a aresta e a altura do tetraedro regular,, a aresta e a altura do tetraedro regular e,, o raio, a altura e o volume do cilindro. Logo, e Sejam, o volume e o raio da esfera maior, e, o volume e o raio da esfera menor. Então e. Note que é o raio do círculo inscrito no triângulo equilátero, de lado. Então, tem-se: Logo,, e. Logo: ( ) Como e são paralelos, os triângulos e são semelhantes. Assim, tem-se: CASD Vestibulares Geometria 12

13 GABARITO 1. D 2. a) O volume da esfera inscrita no cubo é b) A soma dos volumes das esferas é 3. E 4. E 5. C 6. D 7. a) O volume do prisma para é b) O colume do cilindro inscrito também é quando 8. O volume dessa região é 9. D 10. A 11. B 12. A razão entre os volumes do sólido e do prisma é 13. C 14. C 15. a) Para que a área de uma face triangular seja igual a, o valor de deve ser b) Para, o raio da esfera circunscrita à pirâmide é 16. D 17. O valor da porcentagem ocupada pelo volume da bola em relação ao volume da caixa é, que é aproximadamente 18. O valor de é 19. D 13 Geometria CASD Vestibulares