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Diego Brás Canedo
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1 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO GEOMETRIA SÓLIDA ÁREAS E VOLUMES DE PRISMAS, CILINDROS E CONES 2 a SÉRIE ENSINO MÉDIO 2011 ========================================================================================== 1) Em cada Prisma representado a seguir, calcule a área da base (A b ), a área lateral (A L ), a área total (A T ) e o volume (V): a) b) Medidas das arestas: 2 cm, 4 cm e 6 cm Bases: triângulos Eqüiláteros com 4 cm de lado. Aresta lateral medindo 6 cm. c) d) Prisma reto cujas bases são triângulos retângulos de lados medindo 2 2 m, 1 m e 3 m. A aresta lateral mede 4 m. Prisma reto cujas bases são hexágonos regulares com 2 dm de lado. A aresta lateral mede 2 3 dm e) Piscina cuja superfície d água é um retângulo de lados medindo 4m e 16m; altura da parte rasa igual a 1m E altura da parte funda igual a 3 m.

2 2) Sabe-se que: Um recipiente com 1 cm 3 de volume tem uma capacidade de 1ml. Um recipiente com 1 dm 3 de volume tem uma capacidade de 1l. Um recipiente com 1 m 3 de volume tem uma capacidade de 1.000l. Calcule a capacidade de cada prisma do exercício anterior. 3) Veja o cálculo da diagonal de um prisma famoso: O Paralelepípedo. Observe que na figura temos um paralelepípedo cujo comprimento,largura e altura medem, respectivamente a, b e c, a diagonal do paralelepípedo mede D e digamos que a diagonal da base inferior mede x. Então, temos pelo teorema de pitágoras : D 2 = x 2 + c 2, mas também x 2 = a 2 + b 2. Então, temos D 2 = a 2 + b 2 + c 2 e, finalmente : a) Calcule a diagonal do paralelepípedo do exercício 1-a. b) Calcule a diagonal de um cubo com 2 3 dm de aresta. c) a soma das medidas de todas as arestas de um cubo é 120 cm. Calcule a medida da diagonal do cubo. d) Num paralelepípedo retângulo de base quadrada, a soma das medidas de todas as arestas é 40 m. calcule a diagonal do paralelepípedo, sabendo que cada aresta da base é o dobro de cada aresta lateral. 4) As dimensões de um paralelepípedo retângulo são dadas por números inteiros em P.A. de razão igual a 2 cm. Se a diagonal do paralelepípedo mede, em centímetros, 10 2, calcule sua capacidade em litros. 5) Calcule a área total de um cubo cuja diagonal mede 3 m. 2 2 a + b + 6) Num paralelepípedo retângulo, uma das dimensões da base é o dobro da outra. Se a área lateral é de 88 dm 2, calcule o volume do paralelepípedo. 7) Num aquário em forma de paralelepípedo retângulo cuja base é um quadrado com 1 m 2 de área, mergulha-se completamente uma pedra de modo que o nível da água se eleva em 1 mm. Se a pedra tem o formato de um cubo, calcule a medida da aresta desse cubo. 8) (U.F.MG) - Uma piscina tem 25 m de largura, 50 m de comprimento,1,5 m de profundidade numa das extremidades e 2,5 m na outra. Seu fundo é um plano inclinado. Calcule o volume da piscina. D = c 2

3 9) (U.F.MG) - Dois prismas oblíquos, de mesma altura h, têm um quadrado de lado a como base inferior comum e suas bases superiores têm apenas uma aresta comum de acordo com a figura. Calcule o volume do sólido formado pela interseção dos dois prismas. 10) (U.F.MG) - A base de uma paralelepípedo é uma região retangular cujos lados medem 20 cm e 4 2 cm.as extremidades são duas faces quadradas que fazem um ângulo de 45 o com a base. Um plano perpendicular à aresta maior intercepta o paralelepípedo segundo uma região retangular. Qual é a área total do paralelepípedo? (veja a figura a seguir) 11) (PUC-MG) - Na figura, o cubo tem aresta 4 cm e BP = 2 cm está sobre o prolongamento da aresta AB.Qual é a medida do segmento PG?

4 12) (U.F.MG) - Na figura, está representado um cubo de aresta 10. Sabendo que AP = QC = 4, calcule a distância de P a Q. 13) Uma torneira despeja litros/min de um líquido inflamável num compartimento da carroceria de um caminhão. Quanto tempo será necessário para ocupar o volume ideal do compartimento, que é de 95%, se esse compartimento tem a) o formato e as dimensões dos prismas do exercício 1.c, 1.d e 1.e? b) o formato, com as dimensões em metros do prisma do exercício ) Um chocolate em barra é fabricado caseiramente por uma família. Cada barra é vendida com um lucro de 40% sobre o preço de custo. O custo refere-se ao preço do chocolate mais o preço da embalagem, sendo que o chocolate custa R$ 0,90 cada porção de 2 cm 3 e o papel que embala, sem sobra, a barra de chocolate custa R$ 0,05 cada pedaço de 5 cm 2. Se a barra de chocolate tem o formato e as dimensões do prisma do exercício 1.b (use 3 = 1,7), por quanto é vendida cada barra? 15) Calcule a área da base (A b ), a área lateral (A L ), a área total (A T ) e o volume (V) de cada sólido apresentado a seguir: a) Cilindro circular reto com 6 cm de raio da base e 12 cm de altura.

5 b) Cilindro eqüilátero (diâmetro da base = altura) com 3π dm de perímetro da base. c) Cilindro circular reto cujo diâmetro da base é o dobro da altura e cujo perímetro da base é 30 cm, se π = 3. d) Sólido gerado pela rotação do quadrado ABCD em torno do seu lado AD, sendo 8 m a medida do lado. A B D C e) Sólido gerado pela rotação do polígono ABCDEF em torno do seu lado AF, sendo AF = 10 dm, DE = 4 cm, AB = 5 cm e EF = 12 cm. A B C D F E

6 e) Cone circular reto com 5 dm de raio da base E 11 dm de altura f) Cone circular reto com 10 cm de geratriz e 12 cm de diâmetro da base. g) Cone eqüilátero com 10π km de perímetro da base. h) Cone circular reto cuja área lateral é 60 m 2 e cuja geratriz tem 1 m a mais do que o triplo da medida do raio da base. (considere π = 3).

7 i) Sólido gerado pela rotação do triângulo retângulo ABC em torno do cateto AC, sendo AC = 12 cm e AB = 15 cm. A C B j) Sólido gerado pela rotação do polígono ABCDE em torno de AE, sendo AE = 12 m, CD = 5 m, ED = 6 m e BC = 3 m. A B C E D 16) Uma torneira enche até a borda uma piscina circular de profundidade única em 1 dia, despejando litros por hora. Se o raio da piscina é 6 m, qual é a sua profundidade? (Use π = 3) 17) Um pirulito tem o formato exato de um cone circular reto com 6 cm de altura e 2 cm de diâmetro da base. O pirulito é fabricado exclusivamente com açúcar, que custa R$ 1,80 o quilo, sendo que cada quilo, depois de derretido, rende 0,7 dm 3. Por outro lado, o pirulito, depois de esfriado é embalado com papel manteiga colado em toda a sua superfície. Se o papel manteiga custa R$ 0,50 cada dm 2, qual é o custo total do pirulito, sem a mão de obra? 18) (U.F.MG ) - Observe a figura que se segue. Nessa figura, AB = 1, BC = 3 e BD = 4 9. Calcule o volume do sólido gerado girando de 360 o, em torno da reta AE, a região do plano cujo contorno é a) o triângulo ACE ; b) o triângulo BCD.

8 19) (U.F.MG) - A área da base de um cilindro circular reto é 16π cm 2 esua área lateral é 250 cm 2. Calcule o tempo necessário para enchê-lo de água usando-se uma torneira de vazão 5 cm 3 /s. 20) (U.F.MG) - As áreas das superfícies laterais de dois cilindros retos V 1 e V 2, de bases circulares, são iguais. Se as alturas e os raios das bases dos dois cilindros são, respectivamente, H 1, R 1, H 2 e R 2, calcule a razão entre os volumes de V 1 e V 2, nesta ordem. 21) (U.F.MG) - Um cilindro reto, cuja altura é igual ao diâmetro da base, a área de uma secção perpendicular às bases, contendo os centros dessas, é 64 m 2. Calcule a área lateral do cilindro. 22) (U.F.MG) - Na figura a seguir, o cilindro reto, de altura igual ao diâmetro da base, é cortado por um plano paralelo ao seu eixo e à distância d = 3 cm do mesmo. A área da secção determinada pelo plano é 80 cm 2. Calcule a área lateral do cilindro. 23) (PUC - MG ) - A região plana limitada pelo retângulo ABCD gira em torno do lado AB e gera um cilindro de volume V 1. A mesma região, ao girar em torno do lado BC, gera um outro cilindro de volume V 2. Se AB = 4 cm e BC = 6 cm, determine V 1 em função de V 2.

9 D C A B 24) (U.F.MG ) - As medidas da geratriz, do raio da base e da altura de um cone circular reto são x + a, x e x - a, respectivamente. Ao calcular o volume do cone, usou-se, por engano, a fórmula do cilindro circular reto de mesmo raio e mesma altura do cone. O valor encontrado supera em 4π cm 3 o volume procurado. Calcule a altura e o raio da base do cone. 25) (PUC - MG) - Na figura, a região limitada pelo triângulo ABC faz um giro de 60 o em torno da reta AB. Sendo AB = 2.(AC) = 6 cm, calcule o volume do sólido gerado. 26) (U.F.J.F. -MG) - Uma pessoa bebeu vinho em um cálice em forma de cone. Estando o cálice cheio até a borda e tendo a pessoa bebido até o nível do vinho ficar exatamente na metade da altura do cálice, calcule a fração do volume total do vinho consumido. 27) (U.F.U. - MG) - Considere um tanque cilíndrico de 6 metros de comprimento e 2 metros de diâmetro que está inclinado em relação ao solo em 45 o, conforme mostra a figura abaixo. Sabendo-se que o tanque é fechado na base que toca o solo e aberto na outra, qual é o volume máximo de água que o tanque pode conter antes de derramar?

10 28) (F.C.M.MG) - Na figura, o recipiente de altura H é um cone circular reto de base horizontal e raio R. O líquido no recipiente ocupa 8 1 do volume deste. Calcule o nível h do líquido no recipiente, em função de H. 29) (U.F.V -MG) - O trapézio retângulo abaixo sofre uma rotação de 360 o em torno da base maior. Sabendo-se que AB = 3 cm, CE = 5 cm e que o volume do sólido obtido é 84π cm 3, determine AC.

11 30) (PUC - MG ) - Um cone reto de raio r = 4 cm tem um volume equivalente ao de um prisma de altura h = 12 cm e de base quadrada de lado l = π. Calcule a altura do cone. ********************************************************************** RESPOSTAS DAS QUESTÕES DE VESTIBULARES: 18) a) 16π b) 27π/2 19) 1 min 40 s 20) R 1 /R 2 21) 64π m 2 22) 100π cm 2 23) V 1 =3V 2 /2 24) h = 3/2 e r = 2 25) 3π m 3 26) (7/8)V total 27) ) 5π m 3 28) H/2 29) AC = 8 cm 30) 2,25 cm.

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