Definição A figura geométrica formada pela reunião de todos os segmentos de reta paralelos à reta r, com uma extremidade num ponto do círculo R e a

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1 CILINDRO

2 Definição A figura geométrica formada pela reunião de todos os segmentos de reta paralelos à reta r, com uma extremidade num ponto do círculo R e a outra no plano, denomina-se cilindro circular.

3 Elementos Bases: círculos de raio r e centros O e O, situados nos planos paralelos e, respectivamente.

4 Elementos Altura: é a distância h entre os planos paralelos e.

5 Elementos Eixo: É a reta que contém os centros das bases.

6 Elementos Geratriz: São os segmentos paralelos ao eixo e cujas extremidades são pontos das circunferências das bases.

7 Cilindro circular reto Um cilindro se diz reto (revolução) quando as geratrizes são perpendiculares as bases. Ele pode ser obtido pela rotação completa de um retângulo de lados r e g em torno do eixo OO. Nesse caso, a altura do cilindro coincide com a medida g da geratriz. fio.html udosdigitais/conversores%20e%20simuladores/ /solidoscirculares9.swf

8 Área da superfície do cilindro Planificando a superfície do cilindro:

9 Área da superfície do cilindro Área da base (S b ) É a área do círculo de raio r: S b = r 2

10 Área da superfície do cilindro Área lateral (S l ) É a área do retângulo de dimensões 2 r e h: S l =2 rh

11 Área da superfície do cilindro Área total (S t ) É a soma da área lateral com as áreas das duas bases do cilindro. S t =S l +2S b S t =2 rh+2 r 2 S t =2 r(h+r)

12 Exemplo1 Um tanque, na forma de um cilindro circular reto, tem altura igual a 3m e área total (área da superfície lateral mais áreas da base e da tampa) igual a 20 m 2. Calcule, em metros, o raio da base deste tanque. Dados: h=3m e S t =20 m 2 S t =2 r(h+r) 20 =2 r(3+r) 20=2r(3+r) 10=r(3+r) 10=3r+r 2 r 2 +3r-10=0

13 Exemplo1 Um tanque, na forma de um cilindro circular reto, tem altura igual a 3m e área total (área da superfície lateral mais áreas da base e da tampa) igual a 20 m 2. Calcule, em metros, o raio da base deste tanque. r 2 +3r-10= (-10) =49 Dados: h=3m e S t =20 m x = 2 e x = 5 Como -5 não convém, o raio da base do tamque é igual a 2m.

14 Exemplo2 Calcule a área total do sólido obtido pela rotação completa de um retângulo de dimensões 4cm e 12cm em torno do lado: a) Menor b) Maior

15 Exemplo2

16 Exemplo2 Calcule a área total do sólido obtido pela rotação completa de um retângulo de dimensões 4cm e 12cm em torno do lado: a) Menor O sólido obtido nesse caso é um cilindro reto de raio da base 12cm e altura 4cm. S t =2 r(h+r) S t =2.12(4+12) S t =384 cm 2

17 Exemplo2 Calcule a área total do sólido obtido pela rotação completa de um retângulo de dimensões 4cm e 12cm em torno do lado: b) Maior O sólido obtido nesse caso é um cilindro reto de raio da base 4cm e altura 12cm. S t =2 r(h+r) S t =2.4(12+4) S t =128 cm 2

18 Volume do cilindro V=(Área da base). (altura) Em um cilindro circular reto de raio r e altura h, a área da base é dada por S b = r 2 V=Sb.h V= r 2 h

19 Exemplo1 Uma comunidade consome litros de água por dia. Para isso, conta com um reservatório de forma cilíndrica cujo raio é 10m e a altura 10m. Por quanto tempo, aproximadamente, o reservatório poderá abastecer essa comunidade?

20 Exemplo1 Uma comunidade consome litros de água por dia. Para isso, conta com um reservatório de forma cilíndrica cujo raio é 10m e a altura 10m. Por quanto tempo, aproximadamente, o reservatório poderá abastecer essa comunidade? O volume de água que o reservatório cheio pode conter é dado por: V= r 2 h V= V=1000 m 3 Assumindo com 3,14: V=1000.3,14 V=3.140m 3 Como 1m 3 =1000l V= V= litros A comunidade consome l por dia. t = t 105dias 30000

21 Exemplo2 Um líquido que ocupa uma altura de 10cm num determinado recipiente cilíndrico será transferido para outro recipiente, também cilíndrico, com diâmetro duas vezes maior que o primeiro. Qual será a altura ocupada pelo líquido nesse segundo recipiente?

22 Um líquido que ocupa uma altura de 10cm num determinado recipiente cilíndrico será transferido para outro recipiente, também cilíndrico, com diâmetro duas vezes maior que o primeiro. Qual será a altura ocupada pelo líquido nesse segundo recipiente? Vamos indicar o volume de líquido no primeiro recipiente por V 1 e no segundo por V 2. V1= r 2 h e V2= R 2 H Dados: R=2r e h=10cm Como o volume de líquido é o mesmo, temos: V 1 =V 2 r 2 h= (2r) 2 H r 2 h=4r 2 H H=h/4 H=10/4 H=2,5cm Exemplo2

23 Exercício Determinar a área lateral e o volume de um cilindro reto de 30 cm 2 de área total, sabendo que o raio da base é 3/2 da altura. S t = S l + S b 30π = 2πrh + 2πr 2 30π = 2πrh + 2πr 2 15 = rh + r 2

24 Exercício Determinar a área lateral e o volume de um cilindro reto de 30 cm 2 de área total, sabendo que o raio da base é 3/2 da altura. Substituindo r por 3/2h: h. h h = h h2 = h2 = 15 15h 2 = h 2 = 60 h 2 = h2 = 4 h = 4 h = 2

25 Exercício Como h=2, temos r = r = 6 2 r = 3 Área lateral S l = 2πrh S l = 2π. 3.2 S l = 12π Volume V = πr 2 h V = π V = 18π A área lateral é 12 cm 2 e o volume é 18 cm 2

26 Exercícios Um cilindro reto tem altura igual a 5cm e raio da base medindo 6cm. Calcule a área: a) Da base b) Lateral c) Total R: a) 36 cm 2 b) 60 cm 2 c) 132 cm 2

27 Exemplo3 Um prisma quadrangular regular de aresta l está inscrito num cilindro equilátero (h=2r), conforme nos mostra a figura. Determinar o volume V do cilindro em função da aresta l da base do prisma.

28 Exemplo3 Um prisma quadrangular regular de aresta l está inscrito num cilindro equilátero (h=2r), conforme nos mostra a figura. Determinar o volume V do cilindro em função da aresta l da base do prisma. Como a base do prisma é um quadrado podemos obter o raio usando a relação de Pitágoras: r 2 = l 2 + l 2 r 2 = 2l r = l2 2 r = l 2 Como o cilindro é equilátero: h = 2r h = 2. l 2 2 h = l 2 V = πr 2 h V = π. l 2 2 V = π. 2l2 4. l 2 π 2l3 V = 2 2. l 2

29 Exercício Determinar a área lateral e o volume de um cilindro reto de 30 cm 2 de área total, sabendo que o raio da base é 3/2 da altura. S t = S l + S b 30π = 2πrh + 2πr 2 30π = 2πrh + 2πr 2 15 = rh + r 2

30 Exercício Determinar a área lateral e o volume de um cilindro reto de 30 cm 2 de área total, sabendo que o raio da base é 3/2 da altura. Substituindo r por 3/2h: h. h h = h h2 = h2 = 15 15h 2 = h 2 = 60 h 2 = h2 = 4 h = 4 h = 2

31 Exercício Como h=2, temos r = r = 6 2 r = 3 Área lateral S l = 2πrh S l = 2π. 3.2 S l = 12π Volume V = πr 2 h V = π V = 18π A área lateral é 12 cm 2 e o volume é 18 cm 2