VOLUMES DE SÓLIDOS GEOMÉTRICOS. l = Aresta ou lado da base

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1 1 VOLUMES DE SÓLIDOS GEOMÉTRICOS Nomenclatura: P = Perímetro da ase a = Apótema da ase A FL = Área de uma face lateral At = Área total l = Aresta ou lado da ase A = Área da ase d = Diagonal da ase Al = Área lateral Volume H = Altura 1. Prisma quadrangular regular É o sólido em que: a) As ases são quadrados iguais; ) As faces laterais são retângulos iguais. P=l A =l a = l d= l A FL =l.h Al=.l.H At=Al+A V=A.H Exemplo: Determine o volume de um prisma quadrangular regular cuja diagonal da ase mede da área da ase. d= l Þ l=6 cm A =l =6cm Al=A Þ Al=7cm Al=.l.H Þ H=cm V=A.H Þ V=108 cm 6 cm e a área lateral é o doro RS 77 km 7 Passo Novo Fone/Fax: (55)

2 . Prisma triangular regular É o sólido em que: a) As ases são triângulos eqüiláteros iguais; ) As faces laterais são retângulos iguais. P=l l A = l a = 6 l h= (altura da ase) A FL =l.h Al=.l.H At=Al+A V=A.H Exemplo: O perímetro da ase de um prisma triangular regular é 0cm. A altura do prisma é o doro da altura da ase. Determine o volume do prisma. l P=0 Þ P=l Þ l=10cm h = = 5 cm H=h Þ H= 10 cm A = l = 5 cm V=A.H=50.=750 cm Logo o volume total é 750cm.. Prisma hexagonal regular É o solido em que: a) As ases são hexágonos regulares iguais; ) as faces laterais são retângulos iguais. P=6l 6l A = l a = A FL =l.h Al=6.l.H At=Al+A V=A.H RS 77 km 7 Passo Novo Fone/Fax: (55)

3 Exemplo: Calcule a área lateral, a área total e o volume de um prisma hexagonal regular cujo lado mede cm, saendo que a altura do prisma mede 9cm. Al=6.l.H Þ 16cm l A = = cm At=Al+A =(9+ )cm V=A.H=16 cm Exercícios 1) Um prisma Quadrangular regular tem 0cm de perímetro da ase e sua altura é o doro da aresta da ase. Seu volume é igual a a) 15cm ) 00cm c) 50cm d) 00cm e) 1000cm ) Um prisma quadrangular regular, de altura cm, tem área total igual a 80cm. A aresta da ase mede, em cm a) ) 10 c) 6 d) 8 e) 9 ) Se a diagonal de um prisma quadrangular regular mede 9cm e um lado de sua ase mede cm, então sua altura mede a) 7 cm ) 7cm c) 11cm d) 11 cm e) 15 cm ) O volume de um prisma quadrangular regular é 56cm e a sua altura é igual ao apótema da ase. A área lateral do prisma é a) cm ) 56cm c) 51cm d) 6cm e) 18cm 5) A área de uma face lateral de um prisma quadrangular regular é 18cm. Saendo que a altura do prisma mede o doro da aresta da ase, a área total do prisma, em cm, é a) 90 ) 10 c) 60 d) 50 e) 0 6) A medida da aresta da ase de um prisma triangular regular é e a de sua altura. O volume deste prisma é igual a a) 1 ) 1 c) d) 6 e) 7 RS 77 km 7 Passo Novo Fone/Fax: (55)

4 7) A altura de um prisma triangular regular cujo volume é 7 m e cuja aresta da ase mede m é 7 a) m 7 ) m c) m d) 7m e) 1 m 8) O lado da ase de um prisma triangular regular mede 8cm. Saendo que a altura do prisma é igual a altura da ase, a área lateral do prisma, em cm, é a) 19 ) 108 c) 96 d) 1 e) 100 9) A área total de um prisma triangular regular cujo volume é cm e a altura é / do perímetro da ase, mede, em cm a) ) 1 c) 1+ d) (1+ ) e) (1+ ) 10) O apótema da ase de um prisma hexagonal regular mede cm. Se a altura do prisma é igual ao semiperímetro da ase, a área lateral do prisma é, em cm, igual a a) 115 ) 576 c) 0 d) 97 e) 1 11) Num prisma hexagonal regular de área lateral A, a altura é o doro da aresta da ase. O volume do prisma é a) A A ) A A 1 c) A A 8 d) A A e) A A Gaarito 1) c ) a ) ) e 5) a 6) d 7) d 8) c 9) d 10) a 11)c. Paralelepípedo retângulo ou ortoedro É um sólido em que todas as faces são retângulos, iguais dois a dois. Al=ac+c At=Al+a ou At=a+ac+c V=AxBxC D=a + +c RS 77 km 7 Passo Novo Fone/Fax: (55)

5 5 Exemplo: Calcule a área lateral, a área total e ao diagonal de um paralelepípedo retângulo de dimensões 5cm, cm e cm. Al = ac+ c= 5cm D = a + + c = 50cm At = ac+ c+ a= 9cm 5. Cuo ou hexagono regular É um tipo especial de paralelepípedo retângulo em que todas as faces são quadrados iguais. S=1a (soma das arestas) A face =a Al=a At=6a V=a d=a D=a Exemplo: A área lateral de um cuo é 6cm. Calcule a sua área total. Al=6cm Þ Al=a =6 Þ a= 6. Pirâmide quadrangular regular ap = apótema da pirâmide L = aresta lateral da pirâmide É o solido que: a) A ase é um quadrado; ) As faces laterais são triângulos iguais. H +a =ap H +R =L l.ap A FL =.l.ap Al = At=Al+A A.H RS 77 km 7 Passo Novo Fone/Fax: (55)

6 6 Exemplo: Numa pirâmide quadrangular regular, a aresta da ase mede 6cm e a altura mede cm. Calcule a área lateral, a área total e o volume da pirâmide..l.ap Al = = 60cm a =l/=cm H +a =ap Þ ap=5cm At=Al+A =96cm A =6cm V=8cm 7 Pirâmide triangular regular É o solido que: a) A ase é um triângulo equilátero; ) As faces laterais são triângulos iguais. H +a =ap H +R =L l.ap A FL =.l.ap Al= At=Al+A A.H Exemplo: Calcule a área lateral, a área total e o volume de uma pirâmide triangular regular cuja aresta da ase mede 6cm e a altura da pirâmide 1cm..l.ap Al= Þ Al=60cm a =l/ Þ a =cm H +a =ap Þ ap=cm At=Al+a Þ At=9(+ )cm A =9 cm V= cm 8 Pirâmide hexagonal regular É o sólido em que: a) A ase é um hexágono regular; ) As faces laterais são triângulos iguais. RS 77 km 7 Passo Novo Fone/Fax: (55)

7 7 H +a =ap H +R =L l.ap A FL = 6.l.ap Al = At=Al+A A.H Exemplo: Calcule a área lateral, a área total e o volume de uma pirâmide hexagonal regular cuja aresta da ase mede 8cm e a altura cm. l 8 a = = = H +a =ap Þ 8+16=ap Þ ap=8 6.l.ap Al = 6.l = 19cm A = = 96 A.H = cm At=Al+A Þ At=96(+ )cm 9 Tetraedro regular É a pirâmide triangular regular em que todas as faces são triângulos equiláteros iguais. Portanto, todas as arestas de um tetraedro regular são iguais e vamos representar cada uma por l. S=6l (soma das arestas) l ap = l H= 6 l Al= At = l l 1 Exemplo: A área da ase de um tetraedro regular é 9 cm. Calcule o seu volume. A l = 9 Þ l=6 = l 16 = = cm RS 77 km 7 Passo Novo Fone/Fax: (55)

8 8 Exercícios 1) A área de cada uma das faces de um cuo é igual a 1,5cm. O volume deste cuo vale, em cm, a) 6,75 ) 1, c),875 d) 8,75 e) 6,75 ) A área total de um cuo é de m. O seu volume será, em cm, a) 16 ) 8 c) d) 16 e) 1 ) O número que expressa a área total de um cuo, em cm, é o mesmo que expressa seu volume, em cm. Qual o comprimento, em cm, de cada uma das arestas desse cuo? a) 9 ) 6 c) d) e)1 ) Se a diagonal da face de um cuo mede cm, então a diagonal do cuo mede a) cm ) 5cm c) cm d) 6 e) cm 5) O volume de um cuo cuja diagonal mede é a) 7 ) 9 c) 6 d) e) 6) A altura de uma pirâmide quadrangular regular mede 5 cm e a aresta da ase mede 8cm. A área lateral da pirâmide, em cm, vale a) 19 ) 160 c) 96 d) 6 e) 7) Em uma pirâmide regular com 1cm de altura, tendo com ase um quadrado de lado 10cm, a área lateral é a)0cm )60cm c)0cm d)00cm e)0 119 cm 8) A área lateral de uma pirâmide quadrangular regular é igual ao doro da área de sua ase. Se a aresta da ase mede cm, então o apótema da pirâmide mede RS 77 km 7 Passo Novo Fone/Fax: (55)

9 9 a) cm ) 6cm c) 9cm d) 1cm e) 15cm 9) Em uma pirâmide quadrangular regular com cm de altura, tendo o apótema da ase igual a cm, a área lateral a) 60cm ) 0cm c) 10cm d) 5cm e) 1cm 10) (UFPR) Uma pirâmide quadrangular regular tem 8m de altura e 10m de apótema. O seu volume é a) 115m ) 88m c) 96m d) 8m e)8m 11) (PUC) A ase de uma pirâmide é um hexágono regular cujo lado mede cm. Se a altura da pirâmide é cm, seu volume, em cm, é igual a a) 11 ) 1 c) 1 d) 1 e) 15 1) Se o lado da ase de uma pirâmide hexagonal regular mede cm e sua aresta lateral mede 6cm, então sua altura mede a) cm ) cm c) cm d) 5 cm e) 5cm 1) A ase de uma pirâmide regular é um hexágono que tem 6cm de lado. Se a altura da pirâmide mede 5cm, então sua aresta lateral mede a) 0 cm ) 11cm c) 61cm d) 0cm e) 7cm 1) O volume de um tetraedro regular de aresta 1 vale a) 1 ) c) 8 6 d) 9 6 e) 1 15) A soma das arestas de um tetraedro regular é igual a 6cm. A sua área total, em cm, é igual a a) 100 ) 10 c) 6 d) 1 e) 108 Gaarito: 1) c ) ) ) d 5) d 6) c 7) 8) a 9) a 10) d 11) 1) a 1) c 1) e 15) c RS 77 km 7 Passo Novo Fone/Fax: (55)

10 10 10 Cilindro Chama-se Cilindro de Revolução ou Cilindro Circular Reto ao sólido que se otém girando-se o retângulo em torno de um de seu lados. R = raio da ase g = geratriz H = altura do cilindro g=h Æ=R P=pR A =pr Al=pRg ou Al=pRH At=Al+A V=A xh ou V=A xg Exemplo: O volume de um cilindro de revolução é 567pcm e a sua geratriz mede 7cm. Calcule a área total do cilindro. V=A xg Þ r=9 At=Al+A Þ At=88pcm 11 Cone Chama-se Cone de Revolução ou Cone Circular Reto ao sólido que se otém girando-se um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos. RS 77 km 7 Passo Novo Fone/Fax: (55) R = raio da ase g = geratriz H = altura H +R =g Æ=R P=pR A =pr Al=pRg At=Al+A A.H Exemplo: Num cone de revolução, a área da ase é 6pcm e a área total é 96pcm. Calcule o volume do cone. A =pr Þ r=6cm At=Al+A Þ g=10 H +R =g Þ H=8cm V A.H = Þ V=96pcm

11 11 1 Esfera Chama-se esfera ao sólido que se otém girando-se um semi-círculo em torno do seu diâmetro. R = raio da esfera A = área da esfera volume da esfera Æ=R A=pR pr Acm = área da círculo máximo Acm=pR Exemplo: O volume da esfera é 88pcm. Calcule a área da superfície da esfera. V pr = Þ r=6cm A=pR Þ 1pcm Exercícios 1) Num cilindro circular reto de volume 6p, a altura mede, então o raio da ase mede a) 1 ) c) d) 6 e) 9 ) A área lateral de um cilindro de 6m de raio é igual a área da ase. A altura desse cilindro é a) ) c) 5 d) e) 5 ) De um cuo de aresta cm retiramos um cilindro de diâmetro cm. O volume do sólido resultante e, em cm, igual a a) 0 ) 6p c) 8 p d) 8 p e) 8 8p ) A área total de um cilindro reto de revolução é 18p e sua altura é 1. A área lateral do sólido é a) 19p ) 96p c) 6p d) 8p e) 6p 5) Um cone que tem raio cm e a altura igual ao diâmetro da ase, tem o volume de RS 77 km 7 Passo Novo Fone/Fax: (55)

12 1 a) pcm ) 1pcm c) 18pcm d) 5pcm e) 6pcm 6) A altura da um cone de revolução que tem área lateral igual a 15p e raio da ase igual a é a) 1 ) c) d) e)5 7) A área lateral de um cone circular reto é o doro da área de sua ase. A razão entre a geratriz e o raio do cone é a)1/ ) ½ c) 1 d) e) 8) Uma ampulheta pode ser considerada como formada por dois cones retos idênticos, unidos pelo vértice, inscritos em um cilindro reto. A razão entre o volume de um dos cones e o volume do cilindro é a) ½ ) 1/ c) ¼ d) 1/6 e) 1/8 9) A razão entre o volume e a área de uma esfera de raio p é a) /p ) p/ c) p/ d)p e) p/ 10) O volume de uma semiesfera de raio é a)16 )180 p c)7 p d)6 p e)18 p 11) Duas esferas de chumo, uma de raio cm e outra de raio cm, fundem-se formando uma nova esfera. O raio da nova esfera mede, em cm a),5 ) 5 c) 5 d) 5 e) 6 1) Uma panela cilíndrica de 0cm de diâmetro está completamente cheia de massa para doce, sem exceder a sua altura de 16cm, o número de doces, em formato de olinhas de cm de raio, que se podem oter com toda a massa é a) 00 ) 50 c) 00 d) 150 e) 100 Gaarito: 1) c ) ) c ) 5) c 6) d 7) d 8) d 9) c 10) d 11) c 1) d RS 77 km 7 Passo Novo Fone/Fax: (55)