Matemática D Extensivo V. 7
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- Domingos Esteves
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1 Extensivo. 7 Resolva Aula 5 5.0) g g a 5.01) E h R g 15 R g g R 15 R 5 R + R 5 5R R 5 R 5 h 6 5 π ) h 90π ) E 5π setor setor α círculo 60º 5π α 81π 60º 81π. α 60º. 5 π α 00º Aula 6 H. [ +. + B ] H B. [ ] H. [ ] 8 m 8000 litros tempo 1h0min 6000 s vazão l /s ) D perímetro 16 l 16 l R ( ) + ( ) R + R 16 R g h + R g g 5 1 π. T 1. π.. ( + 5) 6 π 0 mm cm 6 1
2 círculo π π. R π R l 16 B h h 6 h 16 h h h h h h 6 h h 6 cm 6.0) A π.h. (R + R. r + r ) π.9 756π. ( ) 7.01) D 6π H. π. R 6 π R 7 R π. 6π 7.0) E r r + 1 r 5 7.0) E 108 fuso 7 60º fuso α º 7 α 108 α 60º. 7 Aula 7 α 90º π rad Testes 5.01) R 0π π. R. g 0 π. g 0 g 5 g h + R 5 h + 16 h 1. 1 π π Aula 5. π R h 6 π π 5.0) C h R g 5 π π ) g 5 h R g h + R 5 R + R R 9 setor 15π setor α círculo 60º
3 15π α 5π 60º 5π. α 15π. 60º α 16º α 6 π rad 5 5.0) h M 6 R. 6 R 9 g h + R g g ) B cilindro + cone π. R. H + 1 π. R. h recipiente πr h 1 π. R 6. h 1 π. R 6. h 1. π. R. h 1. cilindro 5.07) C R 5 100π. ml πr. h 100 π. cm 5h 100 h 1 cm 5.08) A R h 5 g R + h g + 5 g π.. 6π setor π π π + 8π π 5.06) D cilindro π. R. h r R h/ h setor α círculo 60º 6π α 9π 60º 9π. α 6π. 60º x 0º a 5.09) A R r h h/ r R
4 tg 5º R 5.1) D 5.10) E 1 R R π. 9. 9π. hachurado cilindro cone π. r. r. π. r. r. π. r π.r 6 π. r π. r π.r recipiente π. R. H π. r. h π π. 1. 5π π π 5.11) E R h 8 π π 1 π π. R. 8 6 R. 8 R 18 R 18 R 5.1) C π,1 cone: h 8; R 6 g R + h g g 10 π π cilindro: h 15; R 6 π π total 60π + 180π 0π total 0.,1 total 75,60 número de latas 75, ,68 8 latas 5.1) A 16π π. R 16 π R 18 π π.. h h 8 18 π
5 5.15) B cone equilátero g R 1. π π ) A h R R h + R R h B π. R π. R. h R h π. R. h h R 1 R 5.19) cilindro π. R. H cone: r R π. h. h cone 1. π. r. H π.h ) E cone 1. π. R. H R/ cone 1. π. R. H 16 R h cilindro π. R. h h/ cone cone cones 1 8. π. R. H cilindro cone 1 π. R. h cone 1 π. R. h cone 1 π. R. h 5.0) B R h + g R h + g R h g (R h) g R Rh + h g cone 1 cilindro 5.17) D h 0. π R. g. π.r g R g h + R R 00 + R R 00 R 00 π. R. h R Rh + h h + R R R. h R h h R 18π π. R. h 18π R. h 8 R. R 8 R 51 R 8 h 6 5
6 6.01) B Aula ) h l. maior π. 81. maior AB 16 68π AB 7 8 AB 19π 68π pirâmide 1.. h pirâmide pirâmide ) E maior CD 8 68π CD 7 CD π tronco AB CD 19π π 168π maior menor 10 5 maior 8 menor 80 8 menor menor 10 tronco tronco perímetro 1 l h B h 6
7 6.0) maior menor 15 7 menor 7 maior 15 menor 0,16 maior menor 1,6% maior 6.06) D 1 B H h + x x + x x x + x x H 6 6. ( ).. H, g H + R g 5 16 g g 5 T π T 5π ) C T 5 π T t H h maior menor π t 15 5π 5 t 16 5 T π T 6π 7
8 6.07) 9R 6 R ; g 5 g h + R h + 16 h 60 B h h Os.: O resultado independe do tipo de pirâmide escolhido. 6.08) B ecção meridiana π. 16π π.. 5 0π B π 6π 9 9 L l B L l 9 9 l 9 l. 0π l 80 π 9 Perímetro g + R 18 g + R 9 g 9 R etor π. R. g setor 88º círculo 60º π. R. g 88º π. g 60º o π. R. g π. g R. 5. g 5R. (9 R) 5R 6 R o (tronco) l (tronco) 0π 80 9π (tronco) π T (tronco) (tronco) + + T (tronco) 100 π + 16π + 6π 9 9 T (tronco) 100 π + 1π + 6π 9 T (tronco) 08 π 9 8
9 6.09) ) E Em um aparelho, temos: isopor cuo monitor monitor paralelepípedo + tronco monitor [ Incorreto. eria correto se o sólido fosse um cilindro. 0. Incorreto. g 1 + R g 1 + R 0. Incorreto. 8000π litros 8π cm π. R. 1 R R 08. Correto. R 5 H 1 π π π litros 100π m 6.11) D 6.1) B + 0 ] monitor [ ] monitor 000 cuo isopor cm Em 00 aparelhos, encontramos: 00. (0000) cm 6 m v v v H h h h 7 v 8 v 8 7 tronco v tronco 8 7 tronco 19 7 v H h π 1 v π 8 v v 150π l v 150.,1 v 95 l 0 l 1 min 95 l x x 196,5 min x,7 horas (menor) (tronco) (menor) (maior) (menor) (menor) (maior) L l a x l l a x 9
10 Testes x a B x a. x a ) E 6.15) g h + r 16 h + 9 h 7 (maior) T (menor) π.. T (menor) T (menor) 1π T (maior) π.. ( + ) T (maior) 1π h 9 h 6 maior π π menor π.. 6 8π tronco 7π 8π 19π π 19 π π T (maior) T (menor) h x 6.16) A 6.1) A 1π 7 1π x x x III tronco menor III ( maior menor ) menor III maior menor maior menor H H menor 8 menor 8 10
11 6.18) B III. 8 III III 6.17) D III B H h ( ) 1 0 mm cm ) a) círculo π π. R π R l 16 B h h 6 h 16 h h h h h h 6 h h 6 cm (tronco) + 6π + 9π 5π (tronco) (maior) (menor) 5 π π. 6. G π.. g 5 6G g ( ) 15 G g g G 15 emelhança G g 6 G g G. (G 15) G G 0 0 G G 10 g 5 11
12 Assim, H 8 e h. 7.0) 7.01) A Logo, H tronco 8. ) π.h. (R + R. r + r ) π.. ( ) 8π A 1 8. B Aula 7 π. R 1. π R 10 R 10 R 5 7.0) A R 1 π π fuso fuso π fuso 96π 7.05) C secção 1π π. r 1 π r 1 Em OPQ, temos: d d 5 Distâncias polares Em BQP, otemos: d d 1 08 d 1 1 Em AQP, encontramos: d d 68 d ) B (0,5) 0 + r 0, r r 0,5 secção π. r secção 0, 5π Em OPC, temos: (x + ) x + x + x + x + 16 x 1 x R 5 π. 5 H., m 1
13 7.06) 7.09) final inicial + ola h + H. 1 h h 7.07) A R ) C esfera π. 1 π cunha α esfera 60 1 α π 60 π. α 60º π. α π α rad α 1,5 rad menor + maior,5 π. r + π. R 9.. r R (r + R ) 9 r + R 9 (I) 8 Além disso, r + R. r + R (II) Elevando ao cuo, encontramos: (r + R) r + r R + rr + R 7 8 rr. (r + R) + r + R 7 8 Usando I e II, otemos: rr rr 18 8 rr 1 (III) Com II e III, concluímos que: OPQ ~ BAQ PQ OP AQ AB 10 6 x x ) E r + R r 1 r. R 1 R 1 esfera π. R Cilindro equilátero: h. raio π. raio. h π. (R). R π. R. R 16πR 1
14 πr 16 πr ) E 7.11) D ola água que suiu π. R π R R 6. 7 R 1 π π Em OPB, encontramos: cos 5º r 1 7.1) B r 1 r 6 sen 5º h 1 h 1 h 6 1 π. r. h 7.1) B 1 1 π π Oserve que caem 5 olas de raio. cilindro 5 ola π π. 8 80π 160 π 80 π 7.15) D hemisfério π.r hemisfério π. hemisfério., ,8 custo: 100,8. 10, ,0 1
15 cilindro π ) C cilindro 1600π olinha π. olinha π número de doces 1600 π π ) E secção 5π π r 5 π r 5 R + r R + 5 R π. 6π OPQ ~ BAQ OP OQ AB BQ r 8 r 6 permanece cone esfera 7.19) permanece 1 π π. permanece 96π 6π permanece 60π 7.17) AOQ ~ QOP R (R ) + R R 8R R 59 R 7 AO OQ QO OP 6 h h h h calota π. R. h calota π. 6. calota π 1. π π 15
16 7.0) D pirâmide prisma ( a). h a. H a. h a. H h H h H 8.01) D secção 9π π r 9 π r R + R 5 5π π Aula 8 8.0) sólido cuo pirâmide ABCD 8.0) D sólido l. 1.. h sólido l. 1 sólido l l sólido l. l. l 1 a 1 h h pirâmide h 1 B 1. l. l 1 l 6 cuo l ) A F cuo + 6 pirâmide 8.0) A 16
17 l l ( ) Como as faces da pirâmide são triângulos equiláteros, a aresta lateral vale. Cálculo da altura tg 0º r l x é a metade da diagonal da ase. x l x. x 1 ( ) h + x h + 1 h 1 pirâmide 1.. h pirâmide 1 pirâmide.. 1 r l l r l 6 r. l r eja tamém que: sen 0º r OP 1 r OP OP r oltando ao sólido, otemos: F cuo + 6 pirâmide 8.06) D F F 1 Para ser tetraedro, P l. P O + OP l h + (r) (r ) h + r 1r h + r h 8r h r Como o círculo está inscrito, a aresta da ase l é calculada da forma seguinte. 17
18 8.07) F F a) Correto. 8.09) C maior 1 π π maior menor 6 x B 0 0 l 18π 16 menor x menor 18 πx 16 menor 16 πx 7 ) Incorreto. l 5 l l 0 0 l l l l 0 l l ' l '' 10 cuo 10 cuo ) Incorreto. r 8 6 r c) Correto. g r + h g g 10 d) Incorreto. cone 18π 18.,1 01,9 cuo 6 16 cone > cuo perímetro ) A loco paralelepípedo 0,. 1,5. 1,5 tuulação paralelepípedo ,8 0,8 sapata tronco H. ( + + ) 09,. ( ) 0,. 7,1 total 1,5 + 0,8 +,1,5 custo, perímetro
19 0. Incorreto. Eliminando o vértice D, com o corte EP, otemos o polígono ABCPE, que não é um hexágono. 0. Correto. 8.11) 15 a Correto. T Correto. R 0 esfera π. 0 esfera.,1. 00 esfera 50 cuo > 0. Correto Correto. pirâmide 1. h esfera pirâmide pirâmide )B I. erdadeira erdadeira. 6l 6a 9 tg 5º 5 a 1 5 a a Correto. h 0 l a l v a l a 8 7 II. erdadeira erdadeira. 1. h Incorreto. T a 6a a 6a 0 a. (a 6) 0 a 0 a 6 face 6 6. Incoreto. 8. h 8. h h Cálculo de OP 19
20 6 cos 0º OP OP 8.1) B OP 6 OP Cálculo de h 1. H 6 h + h III.Falsa alsa. g R π. R. g π. R. R π. R. Como π B R, temos 8.1) Correto. C 9, 9! ! 8 6!! ! 0. Incorreto. D n.( n ) 0. Correto. F 0. 0 A A 0 + F A Incorreto. esfera πr.,1r 1,56R cuo 6 R ( ) 1R esfera > cuo 16. Correto. cilindro: π. R. h cone: 1 1 π. R. h ) 15 a c k 1 9 a k; k; c 9k T 1 (a + ac + c) 1 k + 9k + 7k 156 9k 156 k k a ; 6; c 18 cuo paralelepípedo l l 16 l Correta. T Correta. h 6; R π. R. h π π 0. Correta. Diagonal do cuo D l D 6 0
21 tetraedro a ) 7 tetraedro ( ). 6 1 tetraedro tetraedro Correta. Base 01. Correto. A AB 0. Correto. amos supor que o cuo tenha aresta igual a. Cálculo de BC R + R BC BC Cálculo de B π π setor setor α círculo 60º 180π α π. (18 ) 60º α. π º. 180 π α 60º 16. Incorreta. H 5 B + 1 B 5 Cálculo de C 1. H C 5 + C 1
22 Cálculo de AC 8.18) A 150 6a 150 a 5 pirâmide 1.. h AC + 1 AC 5 0. Incorreto. C, mas CD BC. 08. Correto. DE E 16. Correto. A AE 8.17) Correto. l l l l 0 l. ( l ) 0 l ' 0 l '' l 0. Incorreto. 10 A 0 + F A F 0 + F 0. Incorreto. esfera π. R esfera H.,1. R,18R cuo (R) cuo 8R esfera < cuo 08. Correto. Cilindro raio: R altura: h π. R. h Cone raio: R geratriz: h π. R. h π. R. h H 5 AE. EF ) 5 ci π. r. r πr co 1 π. r. r πr E πr 01. Incorreto. co ci 6 0. Correto. 0. Correto. E ci co E πr πr E 6 πr πr E πr 08. Incorreto. 16. Correto.. Correto. 8.0) E h r. g ,8 h r. g (I) aemos que g r. g + r, então, usando I, temos: g r. g + r g rg r 0 Olhando a expressão acima como uma equação do o grau na variável g, encontramos os coeficientes seguintes. a 1 r c r r. 1 ( r ) 5r g r ± 5r g r r ± 5
23 g' r r 5 (negativo) Como BCD é equilátero, temos: g" r + r 5 g r.( 1 + 5) g r Queremos calcular h. r 8.1) 1 Note que h r h r. Utilizando I novamente, otemos: h r h rg g r r r h r h r Falso also. Como ABC é isósceles e retângulo em A, AC AB. BC + BC perímetro + + perímetro erdadeiro erdadeiro. sen 60º h h h 6 0. erdadeiro erdadeiro. ABC. 8 ABC a.. c R 8.. R 8R. R C πr C π. C π 08. erdadeiro erdadeiro. Pelo item 0, R. Pelo item 0, H 6. g H + R g ( 6 ) + ( ) g + 8 g π. R. g π. 16π 16. Falso also. 1. H
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