MATEMÁTICA - 3o ciclo Áreas e Volumes (9 o ano) Propostas de resolução

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1 MATEMÁTICA - o ciclo Áreas e Volumes (9 o ano) Propostas de resolução Exercícios de provas nacionais e testes intermédios 1. Considerando a expressão para o volume, V, de um tronco de pirâmide quadrangular regular, V = h (L + L l + l ), temos para o tronco de pirâmide [ABCDEF GH], que L = AB = 8 cm e l = F G = cm Para determinar a medida h, consideramos o ponto K, o centro do quadrado [EF GH], e temos que IJ = IK + KJ, pelo que h = IJ IK Como IK é a altura da pirâmide [EF GHI], que tem volume 6 cm, podemos calcular IK recorrendo à expressão do volume da pirâmide: Substituindo os valores conhecidos, vem V [EF GHI] = 1 A b a = 1 F G IK 6 = 1 IK 6 = 9 IK 6 = IK 6 = IK = IK Logo, vem que h = IJ IK = 15 = 1 E assim, recorrendo à expressão do volume do tronco de pirâmide quadrangular para calcular o volume em cm, do tronco de pirâmide [ABCDEF GH], e arredondando o resultado às unidades, temos: V [ABCDEF GH] = 1 ( ) = 1 97 = cm Prova Final o Ciclo 015, Época especial Página 1 de 11

2 . Como a altura do prisma [LKNMHGJI] é da altura dos outros dois prismas, podemos considerar o sólido composto por 8 prismas com alturas e bases iguais entre si (como se ilustra na figura seguinte), e cujas bases são também iguais às bases dos três prismas descritos no enunciado, ou seja, bases com área s Assim, cada um destes 8 prismas tem 1 do volume do 8 sólido: 48 = 1 cm 8 Temos ainda que a altura de cada um destes 8 prismas é, CM = DE = 9 = cm Assim, o volume (V 8 ) de cada um destes 8 prismas pode ser calculado como V 8 = s CM, e substituindo os valores calculados antes vem V 8 = s CM 1 = s 1 = s D E C M Pelo que, arredondando a área s das bases dos prismas às décimas (em centímetros quadrados) é s = 1 10, cm Prova Final o Ciclo 015, a fase. O volume total do sólido (V T ) pode ser calculado como a soma dos volumes da semiesfera (V SE ) e do cilindro (V C ). Calculando o volume da semiesfera, temos: V SE = 4 πr = 4π 6 Podemos calcular A, a área da base do cilindro, como = 4π 7 6 = 4π 7 6 A = πr = π = 9π cm = 18π cm Assim, designado por BC a altura do cilindro, o volume do cilindro V C, é dado por Logo, como o volume total é 58 cm, temos que V T = V SE + V C V C = A h = 9π BC cm 58 = 18π + 9π BC 58 18π = 9π BC Pelo que o valor da altura do cilindro, BC, arredondado às décimas é de BC 8, 1 cm 58 18π 9π = BC Prova Final o Ciclo 015, 1 a fase 4. Como o terraço foi pavimentado com 400 ladrilhos quadrados, cada um com 9 dm de área, a área do terraço (A T ) é dada por A T = = 600 dm Como o mesmo terraço, pode ser pavimentado com 5 ladrilhos, iguais entre si, a área (A L ) de cada um destes ladrilhos pode ser calculada como A L = = 16 dm Como estes ladrilhos são quadrados, o comprimento dos lados (l L ) de cada um destes ladrilhos é l L = 16 = 4 dm Prova Final o Ciclo - 015, 1 a fase Página de 11

3 5. Tendo em conta os dados do enunciado podemos calcular A SC, a área do semicírculo, como A SC = πr = π 5 = 5π Podemos igualmente calcular A [ABC], a área do triângulo [ABC], observando que a medida da base é o dobro do raio (AC = r = 5 = 10 cm), pelo que A [ABC] = AC BD = 10 4 = 40 cm = 0 cm E assim, A S, a área sombreada é a diferença das áreas do semicírculo e do triângulo [ABC], pelo que, fazendo os cálculos e arredondando o resultado às décimas, vem: A S = A SC A [ABC] = 5π 0 19, cm Prova Final o Ciclo - 015, 1 a fase 6. O volume de um prisma com a altura da pirâmide é V 4 O volume da pirâmide é um terço do prisma anterior, ou seja, V = 4 = V V 1 Assim, temos que V V = V 1 V = V 1V = 1 1 Prova Final o Ciclo 014, a chamada 7. O volume total (V T ) do sólido pode ser calculado como a soma dos volumes do paralelepípedo retângulo (V P R ) e do prisma triangular (V P T ). Calculando o volume do paralelepípedo retângulo, temos: V P R = DE DJ CD = = 150 Calculando o volume do prisma triangular, considerando como base o triângulo [ABC] e a altura a medida da aresta [CI], como CI = DJ e AC = DE, vem Assim, temos que V P T = A [ABC] DJ = AC h Logo o volume total do sólido é 05 cm DJ = 15 6 V T = V P R + V P T = = = = 675 Prova Final o Ciclo 014, 1 a chamada Página de 11

4 8. Calculando o volume do cilindro (V Ci ), em decímetros cúbicos, cujo raio é 6 = dm (porque o diâmetro é 6), vem que: V Ci = A Base altura = π 6 = π 9 6 = 54π Logo temos que o volume do cone (V Co ), em decímetros cúbicos, é a diferença entre o volume total do sólido (V T ) e o volume do cilindro: V Co = V T V Ci = π 5, 5 Com o volume do cone é dado por: V Co = 1 A Base h 6 dm dm dm h 6 dm Substituindo os valores conhecidos na fórmula, determinamos o valor de h: 5, 5 = 1 π h 5, 5 = 9π h 5, 5 9π Assim, temos que o valor da altura do cone, arredondado às décimas é,7 dm. = h, 69 h Teste Intermédio 9 o ano Como o recipiente cilíndrico estava cheio, o volume de líquido que transbordou é igual ao volume do cubo, pelo que o volume de líquido que ficou no recipiente (V Final ) é a diferença entre o volume do cilindo (V Cilindro ) e o volume do cubo (V Cubo ): V Final = V Cilindro V Cubo Calculando o volume do cubo, como a aresta tem 6 cm de medida, temos: V Cubo = a = 6 = 16 cm Calculando o volume do cilindro, como a altura é igual á aresta do cubo (6 cm de medida) e a medida do raio da base é 5 cm, temos: V Cilindro = π r h = π , 4 cm Assim, calculando o volume de líquido que ficou no recipiente, e arredondando o resultado às unidades, vem: V Final 471, , 4 55 cm Prova Final o Ciclo - 01, a chamada 10. Como o volume do prisma é 4 cm e o cubo tem o mesmo volume do prisma, temos que a medida a, da aresta do cubo, em centímetros, arredondada às décimas, é tal que a = 4 Logo, Resposta: Opção C a = 4, 5 Prova Final o Ciclo - 01, 1 a chamada Página 4 de 11

5 Como os triângulos [ABC] e [CDE] são semelhantes, e os lados [BC] e [CD] são correspondentes (porque são os lados que se opõem ao ângulo reto, em cada um dos triângulos), então CD BC = 0, 5 é a razão de semelhança. Como o quociente das áreas de figuras semelhantes, é igual ao quadrado da razão de semelhança, vem que ( ) área do triângulo [CDE] CD área do triângulo [ABC] = = 0, 5 = 0, 5 BC Resposta: Opção B 11.. Como o triângulo [ABC] é retângulo em A (porque um dos lados coincide com o diâmetro da circunferência e o vértice oposto a esse lado está sobre a circunferência), usando o Teorema de Pitágoras e substituindo as medidas conhecidas, temos que: BC = AB + AC BC = BC = BC = 16 BC = 16 BC>0 Logo, como [BC] é um diâmetro do círculo, a medida do raio, r, é: 16 r = 5, 8 E assim, calculando a área do círculo de diâmetro [BC], em cm, e arredondando o resultado às unidades, vem A = πr π 5, cm Prova Final o Ciclo - 01, 1 a chamada 1. Como sabemos que JG = cm, que GK = cm e que F E = 10 cm, podemos calcular o volume do prisma [JGKLIH]: V [JGKLIH] = JG GK F E = 10 = 10 = 0 cm Como é conhecido o volume do sólido (V S = 90 cm ), podemos determinar o volume do paralelepípedo [ABCDEF GH]: V [ABCDEF GH] = V S V [JGKLIH] = 90 0 = 60 cm Como sabemos que F A = cm e que F E = 10 cm, e ainda o volume do paralelepípedo [ABCDEF GH], podemos calcular o comprimento do segmento [F G]: V [ABCDEF GH] = F A F E F G 60 = 10 F G 60 = 0 F G 60 0 = F G F G = 18 cm Como conhecemos o comprimento dos segmentos [F G] e [JG], podemos determinar o comprimento do segmento [F J] F J = F G JG = 18 = 16 cm Teste Intermédio 9 o ano Página 5 de 11

6 1. Temos que [BC] é uma aresta do cubo [BCDEKLMN], pelo que o respetivo volume é V [BCDEKLMN] = BC = a Por outro lado, como AB = BC = a, como [BE] também é uma aresta do cubo BE = a e ainda como [BL] também é uma aresta do cubo BI = 1 BL = 1 a = a, vem que o volume do paralelepípedo [ABEF GHIJ] é V [ABEF GHIJ] = AB BE BI = a a a = a Logo, como o volume total do sólido, V T, é a soma dos volumes do cubo e do paralelepípedo temos que V T = a + a = a + a 1 () = a + a = 5a Igualando a expressão do volume total ao seu valor numérico (5), e resolvendo a equação, podemos determinar o valor exato de a: 5a = 5 5a = 5 a = 75 5 a = 15 a = 15 Prova Final o Ciclo 01, 1 a chamada 14. Como o volume de uma pirâmide é um terço do volume do prisma com a mesma base e a mesma altura, temos que o volume da pirâmide a ser retirada é V [ABCDI] = V [ABCDEF GH] = 7 = 9 cm Assim, o volume do sólido que resulta da retirada da pirâmide do prisma, V F, pode ser calculado como a diferença dos volumes do prisma e da pirâmide: V F = V [ABCDEF GH] V [ABCDI] = 7 9 = 18 cm Teste Intermédio 9 o ano O volume do sólido [ABCDIJGH] pode ser obtido pela soma dos volumes do prisma de bases quadradas [ABCDEF GH] e do prisma triangular [EF GHIJ]: V [ABCDIJGH] = V [ABCDEF GH] + V [EF GHIJ] Como [ABCD] é um quadrado, então BC = AB = 8 cm, e AF = 4 cm, pelo que o volume do prisma é V [ABCDEF GH] = BC AB AF = = 56 cm Calculando a área da base do prisma triângular, por exemplo, a área do triângulo [F GJ], como F G = AB = 8 cm e F J = 7 cm, a área da base é A [F GJ] = F G F J = 8 7 = 56 = 8 cm E assim, como F E = BC = AB = 8 cm, o volume do prisma triângular é V [EF GHI] = A [F GJ] F E = 8 8 = 4 cm E, somando os volumes dos dois prismas, temos o volume do sólido: V [ABCDIJGH] = V [ABCDEF GH] + V [EF GHIJ] = = 480 cm Prova Final o Ciclo 011, Época especial Página 6 de 11

7 16. Como [EF GH] é um quadrado, e F G = AB = 4 m, então, temos que GH = F G = 4 m e assim, recorrendo ao Teorema de Pitágoras, podemos calcular o diâmetro d da base do cone: d = F G + GH d = d = d = d>0 d = m E assim temos que o raio, r, da base do cone é r =, 8 m Calculando a medida da área da base do cone temos A = π r π, 8 5, 16 m Como a medida da altura do cone é IJ = m, calculando o volume do cone temos V C = 1 A IJ = 1 5, 16 = 5, 16 m Como [ABCD] é um quadrado, então BC = AB = 4, temos que o volume do prisma é dado por V P = AB BC BG = 4 4 BG = 16 BG m Como o volume total do sólido é 57 m, vem que V C + V P = 57 5, BG = BG = 57 5, 16 BG = 1, BG = 1, 99 m Assim a altura do prisma (BG) em metros, arredondada às unidades é m 17. Temos que o volume do cilindro é V ci = A b h = 1h Da mesma forma, o volume do cone é V co = 1 A b h = 1 1 h = 4h E assim o volume total do sólido é V T = V ci + V co = 1h + 4h = 16h Prova Final o Ciclo 011, a chamada Substituindo o valor do volume total do sólido podemos determinar, em metros, o valor de h, que é a altura do cilindro: V T = 4 16h = 4 h = 4 h =, 15 m 16 Prova Final o Ciclo 011, 1 a chamada 18. Como o volume da pirâmide [HDP C] é 10 cm, então o volume da pirâmide [ABCDH] é 0 cm, porque as duas pirâmides têm a mesma altura e a base da pirâmide [ABCDH] tem o dobro da área da base da pirâmide [HDP C] (A [ABCD] = A [DP C] ) V [ABCDH] = V [HDP C] = 10 = 0 cm Como o paralelepípedo [ABCDEF GH] e a pirâmide [ABCDH] têm a mesma base e a mesma altura, o volume do paralelepípedo é o triplo do volume da pirâmide: V [ABCDEF GH] = V [ABCDH] = 0 = 60 cm Exame Nacional o Ciclo - 011, 1 a chamada Página 7 de 11

8 19. Como as bases dos três modelos é igual e como o volume do modelo maior é igual à soma dos volumes dos dois modelos menores, então a soma das alturas dos dois modelos menores é igual à altura do modelo maior. Assim, o gasto adicional de 50 cm para forrar os dois modelos menores é justificado pela área adicional de duas bases quadradas (uma base da do sólido menor e outra do sólido intermédio). Assim, podemos calcular a área das bases dos sólidos, A B, dividindo a área em excesso por : A B = 50 = 5 cm E como as bases são quadrados a medida da aresta da base dos modelos, a, em centímetros é a = A B = 5 = 5 cm Teste Intermédio 8 o ano Os triângulos [AED] e [EBC] têm alturas iguais (como EB = DC e [ABCD] é um trapézio retângulo então ED = BC), e a base do triângulo [EBC] é o dobro da base do triângulo [AED], porque se AE = 1 AB então AB = AE = AE + AE = AE + ED, logo ED = AE E assim, temos que a área do triângulo [EBC] é o dobro da área do triângulo [AED]: A [EBC] = A [AED] Como os triângulos [EBC] e [ECD] têm a mesma área, temos que a área do trapézio [ABCD], A [ABCD], pode ser escrita como A [ABCD] = A [AED] + A [EBC] + A [ECD] = A [AED] + A [AED] + A [AED] = 5 A [AED] Como a área do trapézio [ABCD] é 0 cm, vem que A [ABCD] = 0 5 A [AED] = 0 A [AED] = 0 5 A [AED] = 4 cm E assim, a área sombreada A S é A S = A [AED] + A [EBC] = A [AED] + A [EAD] = A [AED] = 4 = 1 cm Resposta: Opção B Teste Intermédio 9 o ano Página 8 de 11

9 1. Calculando a altura da pirâmide [EF GHI], h, representada a tracejado, como a diferença da altura da pirâmide [ABCDI] e da altura do tronco de pirâmide, temos h = 80 0 = 50 cm E assim o volume da pirâmide [EF GHI] é D A 48 B 40 C V [EF GHI] = 1 A [EF GH] h = = cm E o volume da pirâmide [ABCDI] é H E 0 F G 5 V [ABCDI] = 1 A [ABCD] alt = = cm Assim, o volume do tronco de pirâmide, V T, pode ser calculado como a diferença dos volumes das duas pirâmides V T = V [ABCDI] V [EF GHI] = = cm I. Como a base do prisma [ABCDEF GH] é um quadrado, o volume do prisma é V [ABCDEF GH] = AB BF = 1 19 = 11 cm Prova Final o Ciclo 010, a chamada Como a base da pirâmide [EF GHI] tem a área igual à base do prisma, o volume da pirâmide é V [EF GHI] = 1 AB IJ = = 8 cm E o volume do sólido pode ser calculado como a soma dos volumes do prisma e da pirâmide, pelo que o Volume do sólido é. Como o volume do paralelepípedo é dado por V S = V [ABCDEF GH] + V [EF GHI] = = 549 cm V [ABCDEF GH] = AB BC AE substituindo os valores conhecidos, podemos calcular a medida de AE em mestro: 0, 4 = 1, 0, 5 AE 0, 4 = 0, 6 AE 0, 4 0, 6 Prova Final o Ciclo 010, 1 a chamada = AE AE = 0, 4 m Teste Intermédio 8 o ano Como AB = BC = 10 e E e F são pontos médios de [AB] e [BC], respetivamente, então vem que EB = BF = AB = 10 = 5 E assim, calculando a área do triângulo [BEF ], vem A [BEF ] = EB BF = 5 5 Observando que os triângulos [BEF ] e [DGH] são congruentes, podemos calcular a área da região sombreada como a diferença entre as áreas do quadrado [ABCD] e dos triângulos [BEF ] e [DGH]: Resposta: Opção B = 5 A [AEF CGH] = A [ABCD] A [EBF ] = = = 75 Teste Intermédio 9 o ano Página 9 de 11

10 5. O volume, em centímetros cúbicos, da parte de cimento (V ) da floreira pode ser obtido como a diferença dos volumes do cubo e do o prisma quadrangular: V = V cubo V prisma = AB EF GO = = = cm 6. Como DA = DC = m, então temos que a área da base da pirâmide [ACDH], é A [ACD] = = m Prova Final o Ciclo 009, a chamada Como a altura DH = 5m, então calculando o volume da pirâmide [ACDH], e arredindando o resultado às décimas, vem V [ACDH] = 1 A [ACD] DH = 1 5 = 10, m 7. Como o hexágono [ABCDEF ] é a base de um prisma regular, é um héxagono regular, pelo que pode ser dividido em 6 triângulos congruentes, e assim, a sua área pode ser calculada como 6 vezes a área do triângulo [BCO], do qual são conhecidas as medidas da base e da altura A [ABCDEF ] = 6 A [BCO] = 6 BC OM = 6 Exame Nacional o Ciclo - 009, 1 a chamada = 6 m E assim, podemos determinar a capacidade da piscina, em metros cúbicos, calculando o volume do prisma. Arredondando o resultado às décimas, vem V [ABCDEF GHIJKL] = A [ABCDEF ] BH = 6 1, 5 15, 6 m A F B O M E C D Teste Intermédio 9 o ano Como todos os prismas têm a base quadrangular cuja área é, considerando o prisma referente ao primeiro lugar em conjunto com o prisma referente ao segundo lugar, a altura dos dois prisma, relativamente à altura do prisma referente ao primeiro lugar, será + 1 = = 1 1 Ou seja, o volume dos dois prismas menores (considerados em conjunto) é igual ao volume do prisma maior. Como o volume total do pódio é 15, então o volume do prisma maior (V 1 ) é V 1 = 15 E o volume do prisma referente ao. o lugar (V ) é do volume do prisma maior, porque a área das bases é igual, ou seja V = V 1 = 15 = 15 = 5 Página 10 de 11

11 8.. Como o volume (V ) de um prisma pode ser calculado como o produto da área da base (A b ) pela altura (h), temos V = A b h Como, todos os prismas têm área da base igual a, ou seja A b =, temos que V = A b h V = h V h = Resposta: Opção A Teste Intermédio 8 o ano A área da região sombreada pode ser calculada como a diferença das áreas do quadrado [ACDF ] e do triângulo [ABE] Como a medida do lado do quadrado [ACDF ] é 4, a área do quadrado é A [ACDF ] = 4 = 16 Como B é o ponto médio do segmento de reta [AC], e AC = 4, então AB = AC triângulo [ABE] é igual a AF =, pelo que a área do triângulo é E assim, a área sombreada (A S ) é A [ABE] = AB AF = 4 = 4 A S = A [ACDF ] A [ABE] = 16 4 = 1 = 4 =,e a altura do 0. Calculando a área da base do prisma, ou seja do triângulo ABE, temos que: A [ABE] = AB BE = 00 4 = 600 cm Teste Intermédio 8 o ano E assim, considerando a aresta [BC] como a altura do prisma e calculando o volume do prisma, em centímetros cúbicos, vem: V [ABCDEF ] = A [ABE] BC = = cm Exame Nacional o Ciclo - 008, a chamada 1. Como EF = cm e a pirâmide [EF GHI] tem altura 5 cm, o volume da pirâmide é: D C V [EF GHI] = 1 A [EF GH] h = 1 5 = 15 cm A B Como AB = 1 cm e a pirâmide [ABCDI] tem altura = 0 cm, então o seu volume é: 15 cm V [ABCDI] = 1 A [ABCD] alt = = 960 cm H G Assim, o volume do tronco de pirâmide, V T, pode ser calculado como a diferença dos volumes das duas pirâmides E F 5 cm V T = V [ABCDI] V [EF GHI] = = 945 cm I Exame Nacional o Ciclo - 008, 1 a chamada Página 11 de 11