Prova final de MATEMÁTICA - 3o ciclo a Chamada

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Adelina Andrade Câmara
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1 Prova final de MATMÁTICA - o ciclo 01-1 a Chamada Proposta de resolução Como sabemos que metade dos jovens são portugueses e não existem jovens com dupla nacionalidade, temos que a probabilidade de selecionar um jovem espanhol terá de ser inferior a 50 %, (5 % ou 0 % de acordo com as hipóteses apresentadas). Como saabemos que existem mais espanhóis que italianos, a probabilidade de selecionar um jovem espanhol terá de ser 0 % de acordo com as hipóteses apresentadas (se fosse 5 %, seria metade dos jovens espanhóis e italianos, o que significaria que existiam tantos espanhóis como italianos). Resposta: Opção 0 % 1.. Construindo uma tabela para identificar todos os pares de jovens compostos por um de cada tenda, que existem, temos Tenda 1 Tenda P P I PP P PI P I Assim, podemos concluir que escolhendo um jovem de cada tenda, existem 6 escolhas possíveis diferentes,e que em delas os jovens são da mesma nacionalidade, pelo que, recorrendo à Regra de Laplace temos que a probabilidade de os dois jovens escolhidos terem a mesma nacionalidade, é p = 6 = 1. Considerando que a média dos três números naturais é 11, e designando por k o número maior que 1 e menor que a, temos que 1 + k + a = k + a = k + a = k + a = 1 k + a = a = k Assim temos que como k > 1, e k + a =, sendo k e a números naturais, o maior valor de a pode tomar corresponde ao menor valor que a pode tomar, ou seja k = e a = = 0 Página 1 de 5

2 . Representando o conjunto A B na reta real, temos: Assim temos que A B =] 1, + [ ] 4,] =] 1,] Resposta: Opção ] 1,] 4. Verificando que o extremo inferior de cada intervalo pode ser obtido, somando ao extremo inferior do intervalo anterior o número de ordem desse termo, temos 1 o termo [1,] o termo [1 +,...] [,...] o termo [ +,...] [6,...] 4 o termo [6 + 4,...] [10,...] 5 o termo [10 + 5,...] [15,...] 6 o termo [15 + 6,...] [1,...] 7 o termo [1 + 7,...] [8,...] 8 o termo [8 + 8,...] [6,...] Verificando também que o extremo superior de cada intervalo pode ser obtido, somando ao extremo superior do intervalo anterior o número de ordem desse termo mais uma unidade, temos 1 o termo [1,] o termo [..., + + 1] [...,5] o termo [..., ] [...,9] 4 o termo [..., ] [...,14] 5 o termo [..., ] [...,0] 6 o termo [..., ] [...,7] 7 o termo [..., ] [...,5] 8 o termo [..., ] [...,44] Assim, podemos constatar que o oitavo termo desta sequência é o intervalo [6,44] 5. Usando as regras operatórias de potências, temos que: n = 1 1 n = n =k k Resposta: Opção 1 k 6. Simplificando a inequação, temos Resposta: Opção x > x < 4 x > x > x > Como c é o comprimento, em metros, do lado do quadrado [CD], temos que Como A = + B = c +, então assim temos que c é a área do quadrado [CD], ou seja, c = A [CD] (c + ) é a área do quadrado [AF G], ou seja, (c + ) = A [AF G] (c + ) c = A [AF G] A [CD] Logo, no contexto da situação descrita, (c + ) c representa a área, em metros quadrados, da parte relvada do terreno. Página de 5

3 A B 7.. Como [AGF ] é um quadrado, uma rotação de 90, de centro no ponto F transforma o ponto no c ponto G D c C G F 8. screvendo a equação na fórmula canónica, e usando a fórmula resolvente, vem: (x + ) = x + x x + x + 4 x x = 0 x + 4x x + 4 = 0 x + x + 4 = 0 (a =, b = e c = 4) x = ± 4( )(4) ( ) C.S.={ 1,} x = ± 4 + x = x = ± 6 4 x = 8 x = 1 x = x = + 6 x = 6 9. Resolvendo o sistema, vem x = x y = 6 x = + ( + ) y = y x = + x = + y = 6 x = y y = () 1 () 1 () + y y = 1 x = + x = + x = + 1 : 18 + y y = 1 y y = y = x = + x = x = 1 y = y = y = C.S = {(1, )} 10. Como y = k x y = k, temos que o produto das variáveis é constante, ou seja as a relação entre as x variáveis x e y é de proporcionalidade inversa e a constante de proporcionalidade é k Resposta: Opção As variáveis x e y são inversamente proporcionais e a constante de proporcionalidade é k Página de 5

4 11. Como o gráfico representa uma função de proporcionalidade inversa, sabemos que y = k x, k R \ {0} Como sabemos que o ponto (8,4) pertence ao gráfico da função, vem que 4 = k = k = k Assim, substituíndo k por e x por na expressão y = k x, podemos calcular a ordenada (y ) do ponto do gráfico de abcissa é: y = y = Temos que [BC] é uma aresta do cubo [BCDKLMN], pelo que o respetivo volume é V [BCDKLMN] = BC = a Por outro lado, como = BC = a, como [B] também é uma aresta do cubo B = a e ainda como [BL] também é uma aresta do cubo BI = 1 BL = 1 a = a, vem que o volume do paralelepípedo [F GHIJ] é V [F GHIJ] = B BI = a a a = a Logo, como o volume total do sólido, V T, é a soma dos volumes do cubo e do paralelepípedo temos que V T = a + a = a + a 1 () = a + a = 5a Igualando a expressão do volume total ao seu valor numérico (5), e resolvendo a equação, podemos determinar o valor exato de a: 5a = 5 5a = 5 a = 75 5 a = 15 a = Como o plano F GH contém a face [AF GH] do paralelepípedo, a aresta [HI] é perpendicular a esta face (como se pode observar na figura ao lado). Assim, uma reta que passe no ponto I e seja perpendicular ao plano F GH é a reta HI H A G F L I B K J C M N D Página 4 de 5

5 Como os triângulos [C] e [AD] têm um ângulo em comum, e são ambos retângulos, têm dois pares de ângulos com a mesma amplitude, o que é suficiente para afirmar que são semelhantes, pelo critério AA. Como os triângulos são semelhantes, podemos afirmar que a razão entre lados correspondentes é igual, ou seja, AD = A Logo, substituindo os valores dados, vem que: 0 = 40 5 = podemos calcular BC, recorrendo ao Teorema de Pitágoras: = = + BC 40 = + BC = BC 576 = BC 576 = BC 4 = BC BC>0 1.. Como CÂB = DÂ = 7 e A ˆBC = 90, temos que AĈB + CÂB + A ˆBC = 180 AĈB = 180 AĈB = AĈB = 5 Como o ângulo B é o ângulo inscrito na circunferência relativo ao arco P Q, temos que P Q = 5 = 106 Como a soma das amplitudes dos arcos P Q e P CQ é 60 podemos calcular a amplitude, em graus, do arco P CQ : P CQ + P Q = 60 P CQ = 60 P CQ = P CQ = Como [B] é um triângulo retângulo em B, e relativamente ao ângulo B, temos que [] é a hipotenusa, [BC] é o cateto adjacente e [] é o cateto oposto, pela definição das razões trigonométricas, temos que Resposta: Opção cos AĈB = sen AĈB = BC BC e cos AĈB = 14. Como o cubo é parcialmente mergulhado no recipiente com tinta, a uma das faces fica completamente pintada, outra mantém-se branca e as restantes 4 ficam parcialmente pintadas. Podemos rejeitar a Planificação A porque não tem nenhuma face completamente pintada. Podemos rejeitar a Planificação D porque a completamente pintada e a face totalmente branca são adjacentes e não opostas como no cubo mergulhado no recipiente. Podemos rejeitar a Planificação B porque a parte pintada das faces parcialmente pintadas não são adjacentes à face totalmente pintada como no cubo mergulhado no recipiente. A Planificação C cumpre todas as condições que as restantes não verificam, pelo que é a planificação do cubo depois de retirado do recipiente. Resposta: Opção Planificação C Página 5 de 5

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