Avaliação 2 - MA Gabarito

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Rodrigo Yan Felgueiras Beppler
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MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMÁTICA EM REDE NACIONAL Avaliação - MA1-015 - Gabarito Questão 01 [,00 ] Considere um cilindro sólido de altura R, cujas bases são dois círculos de raio R, do qual são

1 MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMÁTICA EM REDE NACIONAL Avaliação - MA Gabarito Questão 01 [,00 ] Considere um cilindro sólido de altura R, cujas bases são dois círculos de raio R, do qual são retirados dois cones sólidos de altura R e que têm por base as bases do cilindro, formando-se assim um sólido S. Considere ainda uma esfera de raio R, e que, assim como o sólido S, está sobre um plano. a) Prove que, intersectando a esfera e o sólido S por um plano paralelo ao plano que apoia estes sólidos, como na figura, obtém-se seções com mesma área. b) Supondo conhecidas as expressões do volume do cone e do cilindro, prove que o volume de uma esfera de raio R é dado por 4 πr. a) Vamos denotar por x a distância do plano ao vértice V dos cones e ao centro O da esfera. Suponhamos inicialmente o plano abaixo de V e O. Como na figura, os triângulos V C 1P 1 e V C P são semelhantes, Como V C 1 = x, C P = R e V C = R, temos C 1P 1 C P = V C1 V C. C 1P 1 R = x C1P1 = x. R

Com isso, a seção do sólido S é a coroa circular entre os círculos de raios x e R,, sua área é dada por Sessão S = πr πx = πr x ). A seção da esfera pelo plano será o círculo de raio CP da figura.

2 Com isso, a seção do sólido S é a coroa circular entre os círculos de raios x e R,, sua área é dada por Sessão S = πr πx = πr x ). A seção da esfera pelo plano será o círculo de raio CP da figura. Como o triângulo OC P é reto em C, temos OP = CP + OC, e, como OC = x e OP = R, R = CP + x, CP = R x. Com isso, a área da seção da esfera pelo plano será dada por Sessão esfera = πr x ) = Sessão S, como queríamos provar. O raciocínio é idêntico para planos acima do vértice e do centro da esfera, bastando alterar a figura. Para o plano que passa pelo vértice dos cones e pelo centro da esfera, as seções em ambos os sólidos serão círculos de raio R e, assim, terão mesma área. b) Pelo Princípio de Cavalieri, a esfera terá o mesmo volume do sólido S. Mas este sólido tem volume dado pelo volume do cilindro de base de raio R e altura R, subtraído de dois cones sólidos de base de raio R e altura R. Assim, ) Vol esfera = π R π R R R = πr πr = 6πR πr = 4 πr. Questão 0 [,00 ] Em um tetraedro ABCD, AB = x, CD = y e as demais arestas medem z. Determine a distância entre as arestas AB e CD em função de x, y e z. Sejam M e N pontos médios de AB e CD, respectivamente. Os triângulos ACB e ADB são congruentes LLL) e isósceles,, as alturas CM e DM são congruentes. Assim, o triângulo DMC é isósceles, e, como N é ponto médio de CD, MN será altura de DMC. Da mesma forma, MN é altura do triângulo isósceles ABN. Com isso, MN é o segmento da perpendicular comum às arestas AB e CD, a distância entre estes segmentos é MN. Vamos então calcular este comprimento. O triângulo AMD é retângulo em M,, denotando h = DM, z x ) = + h,

3 portanto h = z x Denotando d = MN, como DNM é um triângulo retângulo em N, temos h = d y ) +, e então Com isso, d = h y ) = h y 4, d = z x 4 y d = z x 4 y Questão 0 [,00 ] Sobre o lado BC de um quadrado ABCD marcam-se os pontos E e F tais que BE BC = 1 e CF BC = 1. Os segmentos 4 AF e ED intersectam-se em P. Determine a que fração da área do quadrado ABCD corresponde a área do triângulo BP E. Seja a a medida da aresta do quadrado. Assim, BE = 1 BC = a e CF = 1 4 BC = a Como E ˆF P = DÂP, F ÊP = A ˆDP alternos internos nos dois casos) e E ˆP F = D ˆP A opostos pelo vértice), os triângulos AP D e F P E são semelhantes. Denotando por h e H as alturas desses triângulos, relativas as lados EF e DA, respectivamente, temos h H = EF DA. Como DA = a e temos então e, portanto, EF = BC BE CF = a a a 4 = 5a 1, 5a h H = 1 a = 5 1, h = 5 1 H.

4 Mas h + H = a, H = a h e então que implica ou ainda h = 5 a h), 1 h h = a, 17 1 h = 5 1 a h = 5 17 a. Assim, a área de BP E é S = 1 BE h = 1 a 5 17 a = 5 10 a. Como a área de ABCD é a, a área do triângulo BP E é 5 da área de ABCD. 10 Questão 04 [,00 ] Um poliedro convexo com vértices possui apenas faces triangulares. Determine o número de arestas e faces deste poliedro. Vamos denotar por F o número de faces e A o número de arestas. Como este poliedro tem apenas faces triangulares, temos A = F isto é, cada face contabiliza arestas, sendo que, cada aresta é contada duas vezes, uma para cada face em que está contida). Com isso, A = F. Pelo Teorema de Euler, temos e, então, implicando F = 60. Com isso, temos A + F =, F + F = F = 0, A = 60 = 90. Questão 05 [,00 ] a) Usando apenas a identidade fundamental da trigonometria e as fórmulas de arcos duplos prove que: cosx) = cos x) 1, para todo x real. b) Sabendo que cos ) x = 1, calcule cosx).

5 a) Usando a relação fundamental da trigonometria e as fórmulas de arcos duplos temos que: cos x) + sen x) = 1 e Somando as equações anteriores segue que: cosx) = cos x) sen x). cosx) + 1 = cos x). Logo, cosx) = cos x) 1. b) Usando o item a) temos que: cosx) = cos ) ) ) x = cos x 1 1 = = 7 9.

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