Unidade 10 Geometria Espacial. Esfera

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1 Unidade 10 Geometria Espacial Esfera

2 Esfera Na série anterior, você estudou dois dos chamadas corpos redondos: o cilindro e o cone Estudaremos outro sólido que sem dúvida, aparece com extrema frequência no cotidiano: a esfera

3 Esfera Conceito: Considere um ponto P do espaço e um segmento de medida R Chama-se esfera com centro no ponto P e raio de medida R o conjunto dos pontos do espaço cuja distância ao ponto P menor do que ou igual a R

4 Superfície esférica Denomina-se superfície esférica de centro P e raio de medida R o conjunto dos pontos do espaço cuja distância ao ponto P é igual a R

5 Secção de uma esfera Se um plano α, intersecta uma esfera, determina sobre ela uma secção plana Essa secção é sempre um círculo Se um diâmetro da esfera estiver contido no plano α, a secção plana é denominada círculo máximo

6 Secção de uma esfera Para você fazer p 5 Na figura a seguir, o raio da esfera mede 10 cm, e a distância do centro desta ao plano β é igual a 8 cm Calcule a área da secção plana determinada pela intersecção do plano b com a esfera: ssim, a área de secção, determinada pela intersecção do planoβ e a esfera, é igual a πr π 6 6π cm d 8 10 Por 10 meio do Teorema de Pitágoras, 8 + d d 6cm temos :

7 ocê se lembra

8 Para você fazer p 6 Observe uma semiesfera de raio R, um cilindro circular reto de raio da base e altura medindo R e um cone circular reto cujo vértice coincide com a base do cilindro Considere ainda que esses sólidos estejam apoiados sobre um mesmo plano α

9 Para você fazer p 6 a) Imagine um plano b, paralelo ao plano a, que intersecta a semiesfera e o cilindro (consequentemente o cone) Que figuras planas o plano b determina na semiesfera e no sólido compreendido entre o cilindro e o cone? Plano β s figuras determinadas pelo plano b na semiesfera e no sólido compreendido entre o cilindro e o cone são, respectivamente, um círculo e uma coroa circular

10 Para você fazer p 6 b) Sendo h a distância entre os planos a e b, calcule, em função de h e R, as áreas das figuras planas descritas anteriormente Na semiesfera, temos que R h + r r R h ( R h ) ssim, a área do cículo determinado peloβ éπ No sólido compreendido entre o cilindro e o cone, a área da coroa é igual a ( π R h ) Mas, r h, pois o triângulo retângulo, cujos catetos medem r é semelhante ao triângulo retângulo isósceles, cujos catetos medem R e h, ( ssim, a área da coroa circular é igual aπ R h )

11 Para você fazer p 6 c) O que você observou em relação às áreas das duas figuras plana? Com base nessa observação, o que se pode concluir a respeito dos volumes da semiesfera e do sólido compreendido entre o cilindro e o cone? Resposta: s áreas do círculo e da coroa circular são iguais ssim, como o plano β é genérico, qualquer plano que intersectar a semiesfera e o sólido compreendido entre o cilindro e o cone determinará secções de mesma área Pelo Princípio de Cavalieri, os volumes dos dois sólidos são iguais

12 Para você fazer p 6 d) Encontre uma expressão que permita medir o volume da semiesfera Se os volumes dos dois sólidos são iguais, temos que : semiesfera cilindro cone semiesfera 1 π R R π R R semiesfera π R

13 olume da esfera O volume de um sólido é o espaço ocupado por ele Por exemplo: quando dizemos que o volume de um cilindro é igual a 1 metro cúbico significa que o espaço ocupado por ele é equivalente ao espaço ocupado por um cubo cujas arestas medem 1 metro Mas, como medir o espaço ocupado por uma esfera?

14 olume da esfera Com base do exercício anterior, concluímos que, para medir o volume de uma semiesfera, basta conhecer a medida de seu raio Como o volume de uma esfera é duas vezes o volume de uma semiesfera, temos que: esfera π R ou esfera πr 4

15 Para você fazer p 7 1) medida aproximada do raio da bola de futebol na figura a seguir é 11 cm Calcule o volume aproximado contido no interior dessa bola(utilize π,14) Sendo é igual 11cm a medida do raio da bola, seu volume a 4 esfera 4 πr esfera π cm

16 Para você fazer p 7 ) Se o volume de uma esfera mede 6π dm³, calcule a área da secção determinada por um plano que intersecta a esfera a dm de distância de seu centro Sendo R a medida do raio da esfera, temos 4 6π πr R 7 R dm Sendo r a medida do raio da secção, temos + r r 5 ssim, a área da secção é igual aπ r 5π dm

17 Para você fazer p 7 ) Mexerica, tangerina, bergamota, mimosa, seja qual for o nome pelo qual a identificamos, essa deliciosa fruta é apreciada por grande parte dos brasileiros Supondo-se que uma dessas frutas tem o formato próxima de uma esfera cujo raio mede cm e é composto por 1 gomos idênticos, calcule o volume aproximado de um desses gomos (Utilize π,14) O volume de cada gomo é aproximadamente igual a λ 9,4cm π

18 Área da superfície esférica Para calcular área da superfície esférica, a soma de n pirâmides até formar uma esfera, ou seja: R R n R n R R R R b esfera b esfera b b b b esfera pn p p p π sup 4 R esférica erfície π

19 Área da superfície esférica Exemplo de aplicação Suponha que tenhamos de colorir três bolas de isopor cujos raios medem 10cm, 8cm e 6cm Qual a medida da área total que deverá ser colorida? superfície esférica superfície esférica superfície esférica 4 πr 800πcm superfície esférica 4 π10 4 π π64+ 4 π6 + 4 π8 superfície esférica + 4 π6 400 π + 56π π Comoπ,14, a área a ser colorida é aproximadamente igual a 800,14 51cm

20 Para você fazer p 8 1) Determine o volume de uma esfera, sabendo-se que a área de sua superfície é igual a 144π cm² Sendo R a medida do raio da esfera, temos 144π R 6cm ssim, esfera o volume de esfera é igual 4 4 π R π 6 88πcm a 4πR

21 Para você fazer p 8 ) Os volumes de uma esfera, cujo raio mede R, e de um cilindro, cujo raio da base mede R e cuja altura mede h, são iguais a) Determine h em função da medida do R Se os volumes são iguais 4 h πr 4R πr h b) Calcule a medida da altura do cilindro, sabendo-se que o raio da esfera tem medida 9cm Se R 9, temos que 4R 49 h 1cm

22 Para você fazer p 8 ) Duas esferas maciças, cujos os raios medem 4cm e 8cm, são fundidas para moldar uma única esfera Calcule a medida do raio dessa nova esfera O volume da nova esfera é igual à soma dos volumes das outras duas Sendo R a medida do raio da nova esfera, temos : 4 πr R πr1 + πr πr π8 + π R 576 R 576 R 6 R 4 9cm

23 Resolução de tividade Página 5 e 9